3.1.2: Ідентичність коефіцієнтів

Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус.

Ви працюєте в класі математики одного дня, коли ваш друг нахиляється і запитує вас, що ви отримали за синус і косинус певного кута.

«Я дістався і$\dfrac{1}{2}$ за синус, і$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ за косинус. Чому?» запитаєте ви.

«Схоже, я повинен обчислити функцію дотичної для того ж кута, який ви тільки що зробили, але я не можу згадати співвідношення для дотичної. Що мені робити?» каже він.

Чи знаєте ви, як ви можете допомогти своєму другові знайти відповідь, навіть якщо і ви, і він не пам'ятаєте стосунків по дотичній?

Ідентичності коефіцієнтів

Визначення функцій трига привели нас до взаємних ідентичностей, які можна побачити в Концепції про цю тему. Вони також ведуть нас до іншого набору ідентичностей, часткових ідентичностей.

Розглянемо спочатку синус, косинус і тангенс функції. Для кутів повороту (не обов'язково в одиничному колі) ці функції визначаються наступним чином:

$\begin{aligned}\sin \theta&=\dfrac{y}{r}\\ \cos \theta&=\dfrac{x}{r}\\ \tan \theta &=\dfrac{y}{x}\end{aligned}$

З огляду на ці визначення, ми можемо показати$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$, що до тих пір, поки$\cos \theta \neq 0$:

$\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}}=\dfrac{y}{r}\times \dfrac{r}{x}=\dfrac{y}{x}=\tan \theta$.

Таким чином, рівняння$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ є ідентичністю, яку ми можемо використовувати для пошуку значення тангенсної функції, враховуючи значення синуса і косинуса.

Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з факторними ідентичностями.

1. Знайти значення$\tan \theta$?

Якщо$\cos \theta =\dfrac{5}{13}$ і$\sin \theta =\dfrac{12}{13}$, яка цінність$\tan \theta$?

$\tan \theta =\dfrac{12}{5}$

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{13}\times \dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}$

2. Покажіть, що$\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$\cos \theta \sin \theta =\dfrac{\dfrac{x}{r}}{\dfrac{y}{r}}=\dfrac{x}{r}\times\dfrac{r}{y}=\dfrac{x}{y}=\cot \theta$

3. Що таке цінність$\cot \theta$?

Якщо$\cos \theta =\dfrac{7}{25}$ і$\sin \theta =\dfrac{24}{25}$, яка цінність$\cot \theta$?

$\cot \theta =\dfrac{7}{24}$

$\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\dfrac{\dfrac{7}{25}}{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{7}{25}\times \dfrac{25}{24}=\dfrac{7}{24}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, чи можете ви допомогти своєму другові знайти відповідь.

Рішення

Так як ви тепер знаєте, що:

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$

ви можете використовувати ці знання, щоб допомогти своєму другові зі значеннями синуса і косинуса, які ви вимірювали для себе раніше:

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо$\cos \theta =\dfrac{17}{145}$ і$\sin \theta =\dfrac{144}{145}$, яка цінність$\tan \theta$?

Рішення

$\tan \theta =\dfrac{144}{17}$. Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{144}{145}}{\dfrac{17}{145}}=\dfrac{144}{145} \times \dfrac{145}{17}=\dfrac{144}{17}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо$\sin \theta =\dfrac{63}{65}$ і$\cos \theta =\dfrac{16}{65}$, яка цінність$\tan \theta$?

Рішення

$\tan \theta =\dfrac{63}{16}$. Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\dfrac{\dfrac{63}{65}}{\dfrac{16}{65}}=\dfrac{63}{65}\times \dfrac{65}{16}=\dfrac{63}{16}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо$\tan \theta =\dfrac{40}{9}$ і$\cos \theta =\dfrac{9}{41}$, яка цінність$\sin \theta$?

Рішення

$\sin \theta =\dfrac{40}{41}$. Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

$\begin{aligned} \tan \theta &= \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \sin \theta &=(\tan \theta )(\cos \theta ) \\ \sin \theta&=\dfrac{40}{9}\times \dfrac{9}{41} \\ \sin \theta &=\dfrac{40}{41}\end{aligned}$

Рецензія

Заповніть кожну заготовку тригонометричною функцією.

1. $\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}$
2. $\cos \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}$
3. $\cot \theta = \dfrac{?}{\sin \theta}$
4. $\cos \theta =(\cot \theta )\cdot (?)$
5. Якщо$\cos \theta =\dfrac{5}{13}$ і$\sin \theta =\dfrac{1}{13}$, яка цінність$\tan \theta$?
6. Якщо$\sin \theta =\dfrac{3}{5}$ і$\cos \theta =\dfrac{4}{5}$, яка цінність$\tan \theta$?
7. Якщо$\cos \theta =\dfrac{7}{25}$ і$\sin \theta =\dfrac{24}{25}$, яка цінність$\tan \theta$?
8. Якщо$\sin \theta =\dfrac{12}{37}$ і$\cos \theta =\dfrac{35}{37}$, яка цінність$\tan \theta$?
9. Якщо$\cos \theta =\dfrac{20}{29}$ і$\sin \theta =\dfrac{21}{29}$, яка цінність$\tan \theta$?
10. Якщо$\sin \theta =\dfrac{39}{89}$ і$\cos \theta =\dfrac{80}{89}$, яка цінність$\tan \theta$?
11. Якщо$\cos \theta =\dfrac{48}{73}$ і$\sin \theta =\dfrac{55}{73}$, яка цінність$\tan \theta$?
12. Якщо$\sin \theta =\dfrac{65}{97}$ і$\cos \theta =\dfrac{72}{97}$, яка цінність$\tan \theta$?
13. Якщо$\cos \theta =\dfrac{1}{2}$ і$\cot \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, яка цінність$\sin \theta$?
14. Якщо$\tan \theta =0$ і$\cos \theta =−1$, яка цінність$\sin \theta$?
15. Якщо$\cot \theta =−1$ і$\sin \theta =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, яка цінність$\cos \theta$?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.23.

Лексика

Термін	Визначення
Ідентичність коефіцієнта	Коефіцієнтна ідентичність - це ідентичність, що стосується тангенса кута до синуса кута, поділеного на косинус кута.

Додаткові ресурси

Відео: Взаємні, часткові та Піфагорійська ідентичності