Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1.2: Ідентичність коефіцієнтів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54841

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус.

    Ви працюєте в класі математики одного дня, коли ваш друг нахиляється і запитує вас, що ви отримали за синус і косинус певного кута.

    «Я дістався і\(\dfrac{1}{2}\) за синус, і\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) за косинус. Чому?» запитаєте ви.

    «Схоже, я повинен обчислити функцію дотичної для того ж кута, який ви тільки що зробили, але я не можу згадати співвідношення для дотичної. Що мені робити?» каже він.

    Чи знаєте ви, як ви можете допомогти своєму другові знайти відповідь, навіть якщо і ви, і він не пам'ятаєте стосунків по дотичній?

    Ідентичності коефіцієнтів

    Визначення функцій трига привели нас до взаємних ідентичностей, які можна побачити в Концепції про цю тему. Вони також ведуть нас до іншого набору ідентичностей, часткових ідентичностей.

    Розглянемо спочатку синус, косинус і тангенс функції. Для кутів повороту (не обов'язково в одиничному колі) ці функції визначаються наступним чином:

    \(\begin{aligned}\sin \theta&=\dfrac{y}{r}\\ \cos \theta&=\dfrac{x}{r}\\ \tan \theta &=\dfrac{y}{x}\end{aligned}\)

    З огляду на ці визначення, ми можемо показати\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\), що до тих пір, поки\(\cos \theta \neq 0\):

    \(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}}=\dfrac{y}{r}\times \dfrac{r}{x}=\dfrac{y}{x}=\tan \theta\).

    Таким чином, рівняння\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\) є ідентичністю, яку ми можемо використовувати для пошуку значення тангенсної функції, враховуючи значення синуса і косинуса.

    Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з факторними ідентичностями.

    1. Знайти значення\(\tan \theta\)?

    Якщо\(\cos \theta =\dfrac{5}{13}\) і\(\sin \theta =\dfrac{12}{13}\), яка цінність\(\tan \theta \)?

    \(\tan \theta =\dfrac{12}{5}\)

    \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}}=\dfrac{12}{13}\times \dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}\)

    2. Покажіть, що\(\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

    \(\cos \theta \sin \theta =\dfrac{\dfrac{x}{r}}{\dfrac{y}{r}}=\dfrac{x}{r}\times\dfrac{r}{y}=\dfrac{x}{y}=\cot \theta\)

    3. Що таке цінність\(\cot \theta\)?

    Якщо\(\cos \theta =\dfrac{7}{25}\) і\(\sin \theta =\dfrac{24}{25}\), яка цінність\(\cot \theta\)?

    \(\cot \theta =\dfrac{7}{24}\)

    \(\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\dfrac{\dfrac{7}{25}}{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{7}{25}\times \dfrac{25}{24}=\dfrac{7}{24}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи можете ви допомогти своєму другові знайти відповідь.

    Рішення

    Так як ви тепер знаєте, що:

    \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

    ви можете використовувати ці знання, щоб допомогти своєму другові зі значеннями синуса і косинуса, які ви вимірювали для себе раніше:

    \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Якщо\(\cos \theta =\dfrac{17}{145}\) і\(\sin \theta =\dfrac{144}{145}\), яка цінність\(\tan \theta\)?

    Рішення

    \(\tan \theta =\dfrac{144}{17}\). Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

    \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} =\dfrac{\dfrac{144}{145}}{\dfrac{17}{145}}=\dfrac{144}{145} \times \dfrac{145}{17}=\dfrac{144}{17}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(\sin \theta =\dfrac{63}{65}\) і\(\cos \theta =\dfrac{16}{65}\), яка цінність\(\tan \theta\)?

    Рішення

    \(\tan \theta =\dfrac{63}{16}\). Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

    \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\dfrac{\dfrac{63}{65}}{\dfrac{16}{65}}=\dfrac{63}{65}\times \dfrac{65}{16}=\dfrac{63}{16}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Якщо\(\tan \theta =\dfrac{40}{9}\) і\(\cos \theta =\dfrac{9}{41}\), яка цінність\(\sin \theta\)?

    Рішення

    \(\sin \theta =\dfrac{40}{41}\). Ми бачимо це з співвідношення для тангенсної функції:

    \(\begin{aligned} \tan \theta &= \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \sin \theta &=(\tan \theta )(\cos \theta ) \\ \sin \theta&=\dfrac{40}{9}\times \dfrac{9}{41} \\ \sin \theta &=\dfrac{40}{41}\end{aligned}\)

    Рецензія

    Заповніть кожну заготовку тригонометричною функцією.

    1. \(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}\)
    2. \(\cos \theta =\dfrac{\sin \theta}{?}\)
    3. \(\cot \theta = \dfrac{?}{\sin \theta}\)
    4. \(\cos \theta =(\cot \theta )\cdot (?)\)
    5. Якщо\(\cos \theta =\dfrac{5}{13}\) і\(\sin \theta =\dfrac{1}{13}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    6. Якщо\(\sin \theta =\dfrac{3}{5}\) і\(\cos \theta =\dfrac{4}{5}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    7. Якщо\(\cos \theta =\dfrac{7}{25}\) і\(\sin \theta =\dfrac{24}{25}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    8. Якщо\(\sin \theta =\dfrac{12}{37}\) і\(\cos \theta =\dfrac{35}{37}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    9. Якщо\(\cos \theta =\dfrac{20}{29}\) і\(\sin \theta =\dfrac{21}{29}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    10. Якщо\(\sin \theta =\dfrac{39}{89}\) і\(\cos \theta =\dfrac{80}{89}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    11. Якщо\(\cos \theta =\dfrac{48}{73}\) і\(\sin \theta =\dfrac{55}{73}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    12. Якщо\( \sin \theta =\dfrac{65}{97}\) і\(\cos \theta =\dfrac{72}{97}\), яка цінність\(\tan \theta \)?
    13. Якщо\(\cos \theta =\dfrac{1}{2}\) і\(\cot \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), яка цінність\(\sin \theta \)?
    14. Якщо\(\tan \theta =0\) і\(\cos \theta =−1\), яка цінність\(\sin \theta\)?
    15. Якщо\(\cot \theta =−1\) і\(\sin \theta =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), яка цінність\(\cos \theta \)?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.23.

    Лексика

    Термін Визначення
    Ідентичність коефіцієнта Коефіцієнтна ідентичність - це ідентичність, що стосується тангенса кута до синуса кута, поділеного на косинус кута.