Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1.5: Парні та непарні ідентичності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54823

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функції симетричні по відношенню до осі y або про початок.

    Ви і ваш друг разом у класі математики. Вам подобається багато говорити поза класом про всі цікаві теми, які ви охоплюєте в класі. Останнім часом ви охоплювали функції трига та коло одиниць. Як з'ясовується, триг-функції певних кутів досить легко запам'ятати. Тим не менш, ви і ваш друг бажають, щоб був простий спосіб «ярлик» обчислень, так що якщо ви знали функцію трига для кута, ви могли б пов'язати його з функцією trig для іншого кута; насправді дає вам більше винагороди за знання першої функції трига.

    Ви вивчаєте деякі нотатки і починаєте записувати функції trig випадковим чином. Ви врешті-решт записуєте:

    \(\cos \left(\dfrac{\pi}{18}\right)\)

    Чи є спосіб, що якби ви знали, як це обчислити, ви б автоматично знали відповідь під іншим кутом?

    Парна функція - це функція, де значення функції, що діє на аргумент, збігається зі значенням функції при дії на негатив аргументу. Або, коротше кажучи:

    \(f(x)=f(−x)\)

    Так, наприклад, якщо\(f(x)\) якась функція, яка навіть, то\(f(2)\) має таку ж відповідь, як\(f(-2)\). \(f(5)\)має ту ж відповідь\(f(-5)\), що і так далі.

    На відміну від цього, непарна функція - це функція, де негатив відповіді функції збігається з функцією, що діє на негативний аргумент. У математичному плані це:

    \(−f(x)=f(−x)\)

    Якщо функція була негативною, то\(f(-2) = -f(2)\)\(f(-5) = -f(5)\), і так далі.

    Функції є парними або непарними залежно від того, як виглядає кінцева поведінка графічного представлення. Наприклад,\(y=x^2\) вважається парною функцією, оскільки кінці параболи обидва вказують у одному напрямку, а параболи симетричні щодо\(y\) осі −. \(y=x^3\)вважається непарною функцією з протилежної причини. Кінці кубічної функції вказують у протилежних напрямках, тому парабола не симетрична щодо\(y\) осі −. А як щодо функцій trig? Вони не мають експонентів, щоб дати нам парну або непарну підказку (коли ступінь парна, функція парна, коли ступінь непарна, функція непарна).

    \(\dfrac{\text { Even Function }}{y=(-x)^{2}=x^{2}} \quad \dfrac{\text { Odd Function }}{y=(-x)^{3}=-x^{3}}\)

    Розглянемо синус. Почніть з\(\sin(−x)\). Чи буде вона дорівнює\(\sin x\) або\(−\sin x\)? Підключіть пару значень, щоб побачити.

    \(\begin{aligned} \sin(−30^{\circ} )&=\sin 330^{\circ} =−\dfrac{1}{2}=−\sin 30^{\circ} \\ \sin(−135^{\circ} ) &=\sin 225^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}=−\sin 135^{\circ}\end{aligned}\)

    З цього ми бачимо, що синус непарний. \(\sin(−x)=−\sin x\)Тому при будь-якому значенні\(x\). Для косинуса ми підключимо пару значень, щоб визначити, парний чи непарний.

    \(\begin{aligned} \cos(−30^{\circ} )&=\cos 330^{\circ} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ} \\ \cos(−135^{\circ} ) &=\cos 225^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ}\end{aligned}\)

    Це говорить нам про те, що косинус рівний. \(\cos(−x)= \cos x\)Тому при будь-якому значенні\(x\). Інші чотири тригонометричні функції такі:

    \(\begin{aligned} \tan(−x)&=−\tan x \\ \csc(−x)&=−\csc x \\ \sec(−x)&=\sec x \\ \cot(−x)&=−\cot x \end{aligned}\)

    Зверніть увагу, що косеканс непарний, як синус, а секанс навіть як косинус.

    Пошук парних і непарних ідентичностей

    1. Знайти\(\sin x\)

    Якщо\(\cos(−x)=\dfrac{3}{4}\) і\(\tan(−x)=−\dfrac{\sqrt{7}}{3}\), знайдіть\(\sin x\).

    Ми знаємо, що синус непарний. Косинус рівний, значить\(\cos x=\dfrac{3}{4}\). Тангенс непарний, так що\(\tan x=\dfrac{\sqrt{7}}{3}\). Тому синус позитивний і\(\sin x=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\).

    2. Знайти гріх (-x)

    Якщо\(\sin(x)=.25\), знайдіть\(\sin(−x)\)

    Так як синус є непарною функцією,\(\sin(−\theta )=−\sin(\theta )\).

    Тому,\(\sin(−x)=−\sin(x)=−.25\)

    3. Знайти cos (-x)

    Якщо\(\cos(x)=.75\), знайдіть\(\cos(−x)\)

    Так як косинус є парною функцією,\(\cos(x)=\cos(−x)\).

    Тому,\(\cos(−x)=.75\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас попросили обчислити\(\cos\left(\dfrac{\pi }{18}\right)\).

    Рішення

    Оскільки тепер ви знаєте, що косинус - це парна функція, ви дізнаєтесь косинус негативного кута автоматично, якщо знаєте косинус позитивного кута.

    Тому, оскільки\(\cos\left(\dfrac{\pi}{18}\right)=.9848\), ви автоматично це знаєте\(\cos\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)=\cos\left(\dfrac{17\pi}{18}\right)=.9848\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Які два кути мають значення для косинуса\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)?

    Рішення

    На одиничному колі кути\(30^{\circ}\) і\(330^{\circ}\) обидва мають\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) як своє значення для косинуса. \(330^{\circ}\)можна переписати як\(−30^{\circ}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), знайдіть\(sec(−\theta )\)

    Рішення

    Є 2 способи задуматися над цією проблемою. Оскільки\(\cos\theta =\cos−\theta\), ви могли б сказати\(\sec(−\theta )=\dfrac{1}{\cos(−\theta )}=\dfrac{1}{cos(\theta )}\) Або ви могли б залишити функцію косинуса такою, якою вона є, і сказати, що\(\sec(−\theta )=\sec(\theta )=\dfrac{1}{\cos\theta}\). Але так чи інакше, відповідь\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Якщо\(cot\theta =−\sqrt{3}\) знайти\(cot−\theta\)

    Рішення

    З тих пір\(\cot(−\theta )=−cot(\theta )\), якщо\(\cot \theta =−\sqrt{3}\) тоді\(−\cot(−\theta )=−\sqrt{3}\). Тому,\(\cot(−\theta )=\sqrt{3}\).

    Рецензія

    Визначте, чи є кожна функція парною чи непарною.

    1. \(y=\sin(x)\)
    2. \(y=\cos(x)\)
    3. \(y=\cot(x)\)
    4. \(y=x^4\)
    5. \(y=x\)
    6. Якщо\(\sin(x)=.3\), що таке\(\sin(−x)\)?
    7. Якщо\(\cos(x)=.5\), що таке\(\cos(−x)\)?
    8. Якщо\(\tan(x)=.1\), що таке\(\tan(−x)\)?
    9. Якщо\(\cot(x)=.3\), що таке\(\cot(−x)\)?
    10. Якщо\(\csc(x)=.3\), що таке\(\csc(−x)\)?
    11. Якщо\(\sec(x)=2\), що таке\(\sec(−x)\)?
    12. Якщо\(\sin(x)=−.2\), що таке\(\sin(−x)\)?
    13. Якщо\(\cos(x)=−.25\), що таке\(\sec(−x)\)?
    14. Якщо\(\csc(x)=4\), що таке\(\sin(−x)\)?
    15. Якщо\(\tan(x)=−.2\), що таке\(\cot(−x)\)?
    16. Якщо\(\sin(x)=−.5\) і\(\cos(x)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), що таке\(\cot(−x)\)?
    17. Якщо\(\cos(x)=−.5\) і\(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), що таке\(\tan(−x)\)?
    18. Якщо\(\cos(x)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) і\(\tan(x)=−1\), що таке\(\sin(−x)\)?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.1.

    Лексика

    Термін Визначення
    парна функція Парна функція - це функція з графом, яка симетрична по відношенню до осі y і має властивість that\(f(−x)=f(x)\).
    Непарна функція Непарна функція - це функція з властивістю that\(f(−x)=−f(x)\). Непарні функції мають обертальну симетрію щодо походження.