3.1.4: Піфагорійська ідентичність

Синус в квадраті плюс косинус в квадраті дорівнює одиниці.

Теорема Піфагора працює над прямими трикутниками. Якщо ви вважаєте координату x точки вздовж одиничного кола косинусом, а координату y точки синусом, а відстань до початку - 1, то теорема Піфагора негайно дає ідентичність:

$\begin{aligned} y^2+x^2&=1 \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x&=1\end{aligned}$

Спостережливий студент може здогадатися, що інші ідентичності Піфагора існують з рештою тригонометричних функцій. Чи є$\tan ^2 x+\cot ^2 x=1$ законною особистістю?

Доказом ідентичності Піфагора для синуса і косинуса є, по суті, просто малювання прямокутного трикутника в одиничному колі, ідентифікуючи косинус як координату x, синус як координату y і 1 як гіпотенузу.

Малюнок$\PageIndex{1}$

$\cos ^2 x+\sin ^2 x=1$

або

$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$

Дві інші ідентичності Піфагора:

• $1+\cot ^2 x=\csc ^2 x$
• $\tan ^2 x+1=\sec ^2 x$

Щоб вивести ці дві ідентичності Піфагора, розділіть початкову піфагорійську ідентичність на$\sin ^2 x$ і$\cos ^2 x$ відповідно.

Щоб вивести піфагорійську ідентичність,$1+\cot ^2 x=\csc ^2 x$ розділіть на$\sin ^2 x$ і спростіть.

$\begin{aligned} \dfrac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}&=\dfrac{1}{\sin ^2 x}\\ 1+\cot ^2 x&=\csc ^2 x \end{aligned}$

Аналогічно, щоб вивести піфагорійську ідентичність$\tan ^2 x+1=\sec ^2 x$, розділіть на$\cos ^2 x$ і спростіть.

$\begin{aligned}\dfrac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} &=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\\ \tan ^2 x+1 &=\sec ^2 x \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, чи$\tan ^2 x+\cot ^2 x=1$ є законною особистістю. Кофункції не завжди пов'язані безпосередньо через піфагорійську ідентичність.

$\tan ^2 x+\cot ^2 x \neq 1$

Рішення

Візуально прямокутний трикутник, що з'єднує дотичну і січну, також можна спостерігати в одиничному колі. Більшість людей не знають, що тангенс називається «дотичною», оскільки він відноситься до відстані дотичної лінії від точки на одиничному колі до$x$ осі. Подивіться на картинку нижче і подумайте, чому має сенс, що$\tan x$ і$\sec x$ так позначено. $\tan x=\dfrac{opp}{adj}$. Так як прилегла сторона дорівнює 1 (радіус кола),$\tan x$ просто дорівнює протилежній стороні. Подібну логіку можна пояснити і розміщення$\sec x$.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростіть наступний вираз:$\dfrac{\sin x(\csc x−\sin x)}{1−\sin x}$.

Рішення

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ dfrac {\ sin x\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\\\
=\ dfrac {1-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\
&=\ dfrac {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
&= 1+\ sin x
\ кінець {вирівняний}\)

Зверніть увагу, що факторинг піфагорійської ідентичності є одним з найпотужніших і поширених додатків.

Приклад$\PageIndex{3}$

Доведіть наступну тригонометричну ідентичність:$(\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x)=2$

Рішення

Згрупуйте терміни та застосуйте іншу форму двох двох піфагорійських ідентичностей, які є$1+\cot ^2 x=\csc ^2 x$ і$\tan ^2 x+1=\sec ^2 x$.

$\begin{aligned} (\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x) &=\sec ^2 x−\tan ^2 x+\csc ^2 x−\cot ^2 x \\&=1+1\\&=2\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростіть наступний вираз. Примітка:$\sec ^2 x=\dfrac{1}{\cos ^2 x}$

Рішення

$(\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})$

$\begin{aligned} (\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})&=\sec ^2 x\cdot \cos ^2 x−(\sin ^2 x+\cos ^2 x) \\ &=1−1 \\&=0\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростіть наступний вираз.

$(\cos t−\sin t)^2+(cost+\sin t)^2$

Рішення

Зверніть увагу, що спочатку вираз не збігається з піфагорійською ідентичністю.

$\begin{aligned} (\cos t−\sin t)^2+(\cos t+\sin t)^2&=\cos^2t−2\cos t \sin t+sin^2t+cos^2t+2 \cos t \sin t+\sin^2 t\\&=1−2\cos t \sin t+1+2\cos t \sin t \\&=2\end{aligned}$

Рецензія

1. Доведіть кожне з наступних дій:
2. $(1−\cos ^2 x)(1+\cot ^2 x)=1$
3. $\cos x(1−\sin ^2 x)=cos^3 x$
4. $\sin ^2 x=(1−\cos x)(1+\cos x)$
5. $\sin x=\dfrac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\csc x}$
6. $sin^4x−cos^4x=\sin ^2 x−\cos ^2 x$
7. $\sin ^2 x cos ^3x=(\sin ^2 x− \sin^4x)(\cos x)$

Максимально спрощуйте кожен вираз.

7. $\tan^3x \csc^3x$
8. $\dfrac{\csc^2x−1}{sec^2x}$
9. $\dfrac{1−\sin ^2 x}{1+\sin x}$
10. $\sqrt{1−\cos ^2 x}$
11. $\dfrac{\sin ^2 x−sin^4 x}{\cos ^2 x}$
12. $(1+\tan ^2 x)(\sec ^2 x)$
13. $\dfrac{\sin ^2 x+\tan ^2 x+\cos ^2 x}{\sec x}$
14. $\dfrac{1+\tan ^2 x}{\csc ^2 x}$
15. $\dfrac{1−\sin ^2 x}{\cos x}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.2.

Лексика

Термін	Визначення
ідентичність	Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
Піфагорійська ідентичність	Піфагорійська ідентичність - це зв'язок, що показує, що синус кута в квадраті плюс косинус кута в квадраті дорівнює одиниці.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана$a^2+b^2=c^2$, де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.

Додаткові ресурси

Відео: Взаємні, часткові та Піфагорійська ідентичності

Практика: Піфагорійська ідентичність