Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1.4: Піфагорійська ідентичність

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54822

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Синус в квадраті плюс косинус в квадраті дорівнює одиниці.

    Теорема Піфагора працює над прямими трикутниками. Якщо ви вважаєте координату x точки вздовж одиничного кола косинусом, а координату y точки синусом, а відстань до початку - 1, то теорема Піфагора негайно дає ідентичність:

    \(\begin{aligned} y^2+x^2&=1 \\ \sin ^2 x+\cos ^2 x&=1\end{aligned}\)

    Спостережливий студент може здогадатися, що інші ідентичності Піфагора існують з рештою тригонометричних функцій. Чи є\(\tan ^2 x+\cot ^2 x=1\) законною особистістю?

    Доказом ідентичності Піфагора для синуса і косинуса є, по суті, просто малювання прямокутного трикутника в одиничному колі, ідентифікуючи косинус як координату x, синус як координату y і 1 як гіпотенузу.

    F-D_40A5046cd8E0F363CEA ECB6B23FE92 ЕС50459AA06C5b62954DFA574A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    \(\cos ^2 x+\sin ^2 x=1\)

    або

    \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\)

    Дві інші ідентичності Піфагора:

    • \(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\)
    • \(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\)

    Щоб вивести ці дві ідентичності Піфагора, розділіть початкову піфагорійську ідентичність на\(\sin ^2 x\) і\(\cos ^2 x\) відповідно.

    Щоб вивести піфагорійську ідентичність,\(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\) розділіть на\(\sin ^2 x\) і спростіть.

    \(\begin{aligned} \dfrac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}&=\dfrac{1}{\sin ^2 x}\\ 1+\cot ^2 x&=\csc ^2 x \end{aligned}\)

    Аналогічно, щоб вивести піфагорійську ідентичність\(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\), розділіть на\(\cos ^2 x\) і спростіть.

    \(\begin{aligned}\dfrac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}+\dfrac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} &=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\\ \tan ^2 x+1 &=\sec ^2 x \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи\(\tan ^2 x+\cot ^2 x=1\) є законною особистістю. Кофункції не завжди пов'язані безпосередньо через піфагорійську ідентичність.

    \(\tan ^2 x+\cot ^2 x \neq 1\)

    Рішення

    Візуально прямокутний трикутник, що з'єднує дотичну і січну, також можна спостерігати в одиничному колі. Більшість людей не знають, що тангенс називається «дотичною», оскільки він відноситься до відстані дотичної лінії від точки на одиничному колі до\(x\) осі. Подивіться на картинку нижче і подумайте, чому має сенс, що\(\tan x\) і\(\sec x\) так позначено. \(\tan x=\dfrac{opp}{adj}\). Так як прилегла сторона дорівнює 1 (радіус кола),\(\tan x\) просто дорівнює протилежній стороні. Подібну логіку можна пояснити і розміщення\(\sec x\).

    F-D_CB9E3050991D44F808A779AB9AB92869902BD56D7F87CA4B4E08CF43A7E+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Спростіть наступний вираз:\(\dfrac{\sin x(\csc x−\sin x)}{1−\sin x}\).

    Рішення

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ dfrac {\ sin x (\ csc x-\ sin x)} {1-\ sin x} &=\ dfrac {\ sin x\ cdot\ csc x-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\\\
    =\ dfrac {1-\ sin ^ {2} x} {1-\ sin x}\
    &=\ dfrac {(1-\ sin x) (1+\ sin x)} {1-\ sin x}\\
    &= 1+\ sin x
    \ кінець {вирівняний}\)

    Зверніть увагу, що факторинг піфагорійської ідентичності є одним з найпотужніших і поширених додатків.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Доведіть наступну тригонометричну ідентичність:\((\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x)=2\)

    Рішення

    Згрупуйте терміни та застосуйте іншу форму двох двох піфагорійських ідентичностей, які є\(1+\cot ^2 x=\csc ^2 x\) і\(\tan ^2 x+1=\sec ^2 x\).

    \(\begin{aligned} (\sec ^2 x+\csc ^2 x)−(\tan ^2 x+\cot ^2 x) &=\sec ^2 x−\tan ^2 x+\csc ^2 x−\cot ^2 x \\&=1+1\\&=2\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Спростіть наступний вираз. Примітка:\(\sec ^2 x=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\)

    Рішення

    \((\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})\)

    \(\begin{aligned} (\sec ^2 x)(1−\sin ^2 x)−(\dfrac{\sin x}{\csc x}+\dfrac{\cos x}{\sec x})&=\sec ^2 x\cdot \cos ^2 x−(\sin ^2 x+\cos ^2 x) \\ &=1−1 \\&=0\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Спростіть наступний вираз.

    \((\cos t−\sin t)^2+(cost+\sin t)^2\)

    Рішення

    Зверніть увагу, що спочатку вираз не збігається з піфагорійською ідентичністю.

    \(\begin{aligned} (\cos t−\sin t)^2+(\cos t+\sin t)^2&=\cos^2t−2\cos t \sin t+sin^2t+cos^2t+2 \cos t \sin t+\sin^2 t\\&=1−2\cos t \sin t+1+2\cos t \sin t \\&=2\end{aligned}\)

    Рецензія

    1. Доведіть кожне з наступних дій:
    2. \((1−\cos ^2 x)(1+\cot ^2 x)=1\)
    3. \(\cos x(1−\sin ^2 x)=cos^3 x\)
    4. \(\sin ^2 x=(1−\cos x)(1+\cos x)\)
    5. \(\sin x=\dfrac{\sin ^2 x+\cos ^2 x}{\csc x}\)
    6. \(sin^4x−cos^4x=\sin ^2 x−\cos ^2 x\)
    7. \(\sin ^2 x cos ^3x=(\sin ^2 x− \sin^4x)(\cos x)\)

    Максимально спрощуйте кожен вираз.

    1. \(\tan^3x \csc^3x\)
    2. \(\dfrac{\csc^2x−1}{sec^2x}\)
    3. \(\dfrac{1−\sin ^2 x}{1+\sin x}\)
    4. \(\sqrt{1−\cos ^2 x}\)
    5. \(\dfrac{\sin ^2 x−sin^4 x}{\cos ^2 x}\)
    6. \((1+\tan ^2 x)(\sec ^2 x)\)
    7. \(\dfrac{\sin ^2 x+\tan ^2 x+\cos ^2 x}{\sec x}\)
    8. \(\dfrac{1+\tan ^2 x}{\csc ^2 x}\)
    9. \(\dfrac{1−\sin ^2 x}{\cos x}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    ідентичність Ідентичність - це математичне речення за участю символу «=», яке завжди вірно для змінних в областях виразів з обох сторін.
    Піфагорійська ідентичність Піфагорійська ідентичність - це зв'язок, що показує, що синус кута в квадраті плюс косинус кута в квадраті дорівнює одиниці.
    Теорема Піфагора Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.