2.5.8: Довжина хорди

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.5.7: Площа сектора
- 2.6: Графіки синуса і косинуса

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Двічі радіус умножує синус половини кута в радіанах.

Вас попросили допомогти молодшим учням у вашій школі з класом фізичного виховання. Під час роботи одного дня вас просять взяти парашут, з яким студенти можуть грати. Коли студенти грають, один з них ходить через невелику частину парашута, а не під ним, як вона повинна. Якщо жолоб має форму кола з радіусом 6 метрів, а шлях, який студент пройшов через жолоб $50^{\circ}$ , покрив кут, яка довжина шляху вона пройшла через парашут?

Ви можете згадати з ваших досліджень геометрії, що акорд - це сегмент, який починається і закінчується на колі.

F-д_Ф 8631744 Е410526D47 де 89Е 731061872868809 FF84433АААААА0ЕЕЕ2+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихітка_jpg — Малюнок $\PageIndex{1}$

$\overline{AB}$ це акорд в колі.

Ми можемо обчислити довжину будь-якої хорди, якщо знаємо міру кута і довжину радіуса. Оскільки кожна кінцева точка хорди знаходиться на колі, відстань від центру до A та B збігається з довжиною радіуса.

F-д_ФДА 746Е73385Е476Е8759Е 59Ф47Б461Д568к372А25943Д0Ф7С391566+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок $\PageIndex{2}$

Далі, якщо ми розділимо кут, бісектриса кута повинна бути перпендикулярною хорді і бісекція його (ми залишимо доказ цього вашому класу Geometry). Це утворює прямокутний трикутник.

Ф-Д_7ЕС880А0626Б7724016Б64Д48825АДБ011Д5А327Е6АФФБ38С666662E518+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок $\PageIndex{3}$

Тепер ми можемо використовувати просте синусоїдальне співвідношення, щоб знайти половину акорди, званої c тут, і подвоїти результат, щоб знайти довжину акорду.

$\begin{aligned} \sin\dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{c}{r} \\ c&=r\times \sin\dfrac{\theta}{2}\end{aligned}$

Отже, довжина хорди дорівнює:

$2c=2r \sin\dfrac{\theta}{2}$

Пошук довжини акорду

1. Знайдіть довжину хорди кола радіусом 8 см і центральним кутом $110^{\circ}$ . Приблизний ваш відповідь до найближчого мм.

Ф-Д_59ФФ4ДФ Б27Ф31С1АЕ 41БКБК202ФА25867 БЕБ9АФ63А270Б108БА87+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок $\PageIndex{4}$

Спочатку ми повинні перетворити кутову міру в радіани:

$110\times \dfrac{\pi }{180}=\dfrac{11\pi }{18}$

Використовуючи формулу, половина довжини хорди повинна дорівнювати радіусу кола, що дорівнює синусу половини кута.

$\begin{aligned} \dfrac{11\pi }{18}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{11\pi }{36} \\ 8\times \sin \dfrac{11\pi }{36} \end{aligned}$

Помножте цей результат на 2.

Ф-Д_4609 ФБД 627ФД7Ф04Б535Ф2БФ9Е2Б16159ЕАААААЕ4Б2072Ф03Б27А1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Так, довжина хорди становить приблизно 13,1 см.

2. Знайти довжину хорди кола радіусом 2 м, що має центральний кут $90^{\circ}$ .

F-д_4Б604 плоский 55д921 ДДБ7473А77Е1132А51С9Ф448ФБ57А499ДДБД146+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок $\PageIndex{6}$

Спочатку перетворіть кут в радіани:

$90\times \dfrac{\pi }{180}=\dfrac{\pi }{2}$

$\dfrac{\pi }{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi }{4} \\ 2\times \sin \dfrac{\pi }{4}$

Помножте цей результат на 2.

Таким чином, відповідь становить приблизно 2,83 метра.

3. Знайти довжину хорди кола радіусом 1 м і центральним кутом $170^{\circ}$ .

Ф-Д_Б3ДФ 05А 8Е24624Ф85А25579Е660Д41845Е4ДБКБС5А5Ф8838А6Ф5Д74+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок $\PageIndex{7}$

Спочатку ми повинні перетворити кутову міру в радіани:

$170\times \dfrac{\pi }{180}=\dfrac{17\pi }{18}$

$\begin{aligned} \dfrac{17\pi }{18} \times \dfrac{1}{2}&= \dfrac{17\pi }{36} \\1\times \sin \dfrac{17\pi }{36}&=.996\end{aligned}$

Помножте цей результат на 2.

Отже, довжина дуги приблизно дорівнює 1,992

Зверніть увагу, що довжина хорди становить майже 2 метри, що було б діаметром кола. Якби кут був 180 градусів, хорда була б просто відстань по всьому колу, що проходить через середину, яка є діаметром.

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, яка довжина шляху вона пройшла через парашут.

Рішення

За допомогою рівняння довжини хорди в руці можна обчислити відстань, яку студент пробіг через парашут:

Спочатку перетворіть міру в градусах в радіани:

$50\times \dfrac{\pi }{180} \approx .27\pi$

$2r \sin \dfrac{\theta}{2}=(2)(6)\sin \dfrac{.27\pi }{2}=12 \sin.135\pi \approx 4.94 \text{ meters}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Якщо ви запускаєте шматок струни через пончик, який ви їсте, і радіус між кінцевими точками струни до центру пончика становить 4 дюйми, як довго це рядок, якщо кут змітається акордом $20^{\circ}$ ?

Рішення

Ви можете використовувати рівняння $C=2r\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ для вирішення цієї проблеми: (Не забудьте перетворити кути в радіани)

$\begin{aligned} C&=2r\sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \\ C&=(2)(4)\sin\left(\dfrac{.349}{2}\right) \\ C&=8(.1736) \\ C&=1.388 \text{ inches}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Ви їсте вечерю одну ніч з сім'єю в місцевому італійському ресторані. Шматок спагетті робить акорд по всій вашій тарілці. Ви знаєте, що довжина пасма спагетті становить 5 дюймів, а радіус пластини - 7 дюймів. Який кут змітає акорд?

Рішення

Так як радіус пластини і довжина хорди відомі, можна вирішити для кута:

\ (\ почати {вирівняний}
C & = 2 r\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ тета} {2}\ вправо)\
\ dfrac {C} {2 r} &=\ sin\ ліворуч (\ dfrac {\ тета} {2}\ справа)\\ sin ^ {-1}
\ ліво (\ dfrac {c} {2 r}\ праворуч) &=\ dfrac {c} {2 r}\ праворуч) &=\ dфракція {\ тета} {2}
\\ sin ^ {-1}\ ліворуч (\ dfrac {5} {14}\ праворуч) &=\ dfrac {\ тета} {2}\\
.365&=\ dfrac {\ тета} {2}\
\ тета&=.73
\ кінець {вирівняний}\)

Кут, що охоплюється спагетті, становить 0,73 радіана.

Приклад $\PageIndex{4}$

Якщо ви намалюєте акорд по колу і зробите акорд поперек нього, який має довжину 15 дюймів, змітаючи кут $\pi$ радіанів, який радіус кола ви намалювали?

Рішення

Використовуючи рівняння для довжини хорди:

$\begin{aligned} c&=2r \sin(\dfrac{\theta }{2}) \\ 15&=(2r)\sin(\dfrac{\pi }{2}) \\ r&=7.5 \end{aligned}$

Як бачите, радіус кола дорівнює 7,5 дюймів. Це те, що слід очікувати, так як акорд змітає кут $\pi$ . Це означає, що він змітає половину кола, так що хорда фактично йде по всьому діаметру кола. Так якщо хорда йде по діаметру і має довжину 15 дюймів, то радіус кола повинен бути 7,5 дюймів.

Рецензія

Знайти довжину хорди кола радіусом 1 м і центральним кутом $100^{\circ}$ .
Знайти довжину хорди кола радіусом 8 км і центральним кутом $130^{\circ}$ .
Знайти довжину хорди кола з радіусом 4 в і центральним кутом $45^{\circ}$ .
Знайти довжину хорди кола з радіусом 3 фути і центральним кутом $32^{\circ}$ .
Знайдіть довжину хорди кола радіусом 2 см і центральним кутом $112^{\circ}$ .
Знайти довжину хорди кола з радіусом 7 в і центральним кутом $135^{\circ}$ .

Вирішіть для відсутньої змінної в кожному колі.

Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$
Малюнок $\PageIndex{11}$
Малюнок $\PageIndex{12}$
Малюнок $\PageIndex{13}$

Використовуйте картинку нижче для питань 13-15.

F-D_2A1F103878 CDD34C55CA9A6AC 67111db94d330d2FBAE68C2344F9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{13}$

Припустимо, ви знали довжину хорди, довжину радіуса і центральний кут вищевказаного кола. Опишіть один із способів знайти довжину червоного відрізка за допомогою теореми Піфагора.
Припустимо, ви знали довжину хорди, довжину радіуса і центральний кут вищевказаного кола. Опишіть один із способів знайти довжину червоного відрізка за допомогою косинуса.
Що потрібно знати для того, щоб знайти площу відрізка (ділянку кола між хордою і краєм кола)? Опишіть, як знайти площу цього регіону.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.7.

Лексика

Термін	Визначення
Акорд	Хорда - це пряма лінія по колу, що перетинає коло в двох місцях, але не проходить через центр кола.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Акорди

Практика: Довжина акорду

Пошук довжини акорду

Приклад2.5.8.1\PageIndex{1}

Приклад2.5.8.2\PageIndex{2}

Приклад2.5.8.3\PageIndex{3}

Приклад2.5.8.4\PageIndex{4}

Рецензія

Огляд (Відповіді)

Лексика

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Приклад $\PageIndex{1}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Приклад $\PageIndex{4}$