2.5.2: Перетворення між градусами та радіанами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54766

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перетворення між радіанами і градусами.

Більшість людей знайомі з вимірюванням кутів в градусах. Легко зобразити кути на кшталт\(30^{\circ} \),\(45^{\circ} \) або\(90^{\circ}\) і те, що\(360^{\circ} \) складає ціле коло. Понад 2000 років тому вавилоняни використовували базову систему числення 60 і розділили коло на 360 рівних частин. Це стало стандартом, і саме так більшість людей думають про кути сьогодні.

Однак існує безліч одиниць, за допомогою яких можна виміряти кути. Наприклад, градіан був винайдений разом з метричною системою і він ділить коло на 400 рівних частин. Розміри цих різних одиниць дуже умовні.

Радіан - це одиниця виміру кутів, яка заснована на властивостях кіл. Це робить його більш значущим, ніж градієни або градуси. Скільки радіанів складають коло?

Радіани і градуси

Радіан визначається як центральний кут, де довжина підтягнутої дуги дорівнює тій же довжині, що і радіус.

Ще один спосіб думати про радіанах - через окружність кола. Окружність кола з радіусом\(r\) дорівнює\(2\pi r\). Трохи більше шести радіусів (рівно\(2\pi \) радіусів) розтягнулося б навколо будь-якого кола.

Щоб визначити радіан через градуси, прирівняйте окружність, виміряну в градусах, до кола, виміряного в радіанах.

\(360 \text{ degrees}=2\pi \text{ radians}\), так\(\dfrac{180}{\pi} \text{ degrees}=1 \text{ radian}\)

Альтернативно;\(360 \text{degrees}=2\pi \) радіани, тому 1 градус =\(\dfrac{\pi}{180}\) радіани

Коефіцієнт перетворення градусів в радіани:\(\dfrac{\pi}{180^{\circ}}\)

Коефіцієнт перетворення радіанів в градуси:\(\dfrac{180^{\circ} }{\pi}\)

Якщо кут не має одиниць, передбачається, що він знаходиться в радіанах.

Якби ви конвертували\(150^{\circ}\) в радіани, ви б\(150^{\circ} \) помножили на правильний коефіцієнт перетворення. Ви отримаєте:

\(150^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}} =\dfrac{15\pi }{18}=\dfrac{5\pi }{6} \text{ radians}\)

Ви можете перевірити свою роботу, переконавшись, що одиниці ступеня відображаються як на чисельнику, так і на знаменнику.

Якщо ви повинні були перетворити\(\dfrac{\pi }{6}\) радіани в градуси, ви б помножили\ pi 6 на правильний коефіцієнт перетворення. Ви б отримали \(\dfrac{\pi }{6}\cdot \dfrac{180^{\circ} }{\pi }=\dfrac{180^{\circ} }{6}=30^{\circ}\)

Примітка\ pi з'являється як в чисельнику, так і в знаменнику і\ pi\ pi =1.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, скільки радіанів складають коло.

Рішення

Точно\(2\pi \) радіани описують дугу окружності. Це пояснюється тим, що\(2\pi\) радіуси обертаються по колу будь-якого кола.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Перетворення\((6\pi )^{\circ} \) в радіани.

Рішення

Не обманюйте себе тільки тому, що це має\(\pi \). Це число приблизно\(19^{\circ}\).

\((6\pi )^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ} }=\dfrac{6\pi^2}{180}=\dfrac{\pi^2}{3}\)

Дуже незвично коли-небудь мати\(\dfrac{\pi}{2}\) термін, але це може статися.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Перетворення\(\dfrac{5\pi }{6}\) в градуси.

Рішення

\(\dfrac{5\pi }{6} \cdot \dfrac{180^{\circ} }{\pi }=\dfrac{5\cdot 30^{\circ} }{1}=150^{\circ}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Перетворення\(210^{\circ} \) в радіани.

Рішення

\(210^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ} }=\dfrac{7\cdot 30\cdot \pi }{6\cdot 30}=\dfrac{7 \pi}{6}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Намалюйте\(\dfrac{\pi}{2}\) кут, попередньо намалювавши\(2\pi\) кут, зменшивши його вдвічі і зменшивши результат вдвічі. Нагадаємо, що\(\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ} \).

Рішення

Рецензія

Знайдіть радіанову міру кожного кута.

1. \(120^{\circ}\)

2. \(300^{\circ}\)

3. \(90^{\circ}\)

4. \(330^{\circ}\)

5. \(270^{\circ}\)

6. \(45^{\circ}\)

7. \((5\pi )^{\circ}\)

Знайдіть градусну міру кожного кута.

8. \(\dfrac{7 \pi}{6}\)

9. \(\dfrac{5 \pi}{4}\)

10. \(\dfrac{3 \pi}{2}\)

11. \(\dfrac{5\pi }{3}\)

12. \(\pi\)

13. \(\dfrac{\pi }{6}\)

14. \(3\)

15. Поясніть, чому, якщо вам дано кут в градусах і ви помножите його на\(\dfrac{\pi}{180}\) ви отримаєте той же кут в радіанах.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.1.

Лексика

Термін	Визначення
підтягнута дуга	Підтягнута дуга - це частина кола між двома променями, які складають центральний кут.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Радіан і Ступінь перетворення - Огляд

Практика: Перетворення між градусами та радіанами