2.5.2: Перетворення між градусами та радіанами
- Page ID
- 54766
Перетворення між радіанами і градусами.
Більшість людей знайомі з вимірюванням кутів в градусах. Легко зобразити кути на кшталт\(30^{\circ} \),\(45^{\circ} \) або\(90^{\circ}\) і те, що\(360^{\circ} \) складає ціле коло. Понад 2000 років тому вавилоняни використовували базову систему числення 60 і розділили коло на 360 рівних частин. Це стало стандартом, і саме так більшість людей думають про кути сьогодні.
Однак існує безліч одиниць, за допомогою яких можна виміряти кути. Наприклад, градіан був винайдений разом з метричною системою і він ділить коло на 400 рівних частин. Розміри цих різних одиниць дуже умовні.
Радіан - це одиниця виміру кутів, яка заснована на властивостях кіл. Це робить його більш значущим, ніж градієни або градуси. Скільки радіанів складають коло?
Радіани і градуси
Радіан визначається як центральний кут, де довжина підтягнутої дуги дорівнює тій же довжині, що і радіус.
![F-D_9ADC2BE726146F1F11F00138A5 КАД333Ф913BA549A23F6E825F39893+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15262/f-d_9adc2be726146f1f11f00138a5cad333f913ba549a23f6e825f39893%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Ще один спосіб думати про радіанах - через окружність кола. Окружність кола з радіусом\(r\) дорівнює\(2\pi r\). Трохи більше шести радіусів (рівно\(2\pi \) радіусів) розтягнулося б навколо будь-якого кола.
Щоб визначити радіан через градуси, прирівняйте окружність, виміряну в градусах, до кола, виміряного в радіанах.
\(360 \text{ degrees}=2\pi \text{ radians}\), так\(\dfrac{180}{\pi} \text{ degrees}=1 \text{ radian}\)
Альтернативно;\(360 \text{degrees}=2\pi \) радіани, тому 1 градус =\(\dfrac{\pi}{180}\) радіани
Коефіцієнт перетворення градусів в радіани:\(\dfrac{\pi}{180^{\circ}}\)
Коефіцієнт перетворення радіанів в градуси:\(\dfrac{180^{\circ} }{\pi}\)
Якщо кут не має одиниць, передбачається, що він знаходиться в радіанах.
Якби ви конвертували\(150^{\circ}\) в радіани, ви б\(150^{\circ} \) помножили на правильний коефіцієнт перетворення. Ви отримаєте:
\(150^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}} =\dfrac{15\pi }{18}=\dfrac{5\pi }{6} \text{ radians}\)
Ви можете перевірити свою роботу, переконавшись, що одиниці ступеня відображаються як на чисельнику, так і на знаменнику.
Якщо ви повинні були перетворити\(\dfrac{\pi }{6}\) радіани в градуси, ви б помножили\ pi 6 на правильний коефіцієнт перетворення. Ви б отримали \(\dfrac{\pi }{6}\cdot \dfrac{180^{\circ} }{\pi }=\dfrac{180^{\circ} }{6}=30^{\circ}\)
Примітка\ pi з'являється як в чисельнику, так і в знаменнику і\ pi\ pi =1.
Раніше вас запитали, скільки радіанів складають коло.
Рішення
Точно\(2\pi \) радіани описують дугу окружності. Це пояснюється тим, що\(2\pi\) радіуси обертаються по колу будь-якого кола.
Перетворення\((6\pi )^{\circ} \) в радіани.
Рішення
Не обманюйте себе тільки тому, що це має\(\pi \). Це число приблизно\(19^{\circ}\).
\((6\pi )^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ} }=\dfrac{6\pi^2}{180}=\dfrac{\pi^2}{3}\)
Дуже незвично коли-небудь мати\(\dfrac{\pi}{2}\) термін, але це може статися.
Перетворення\(\dfrac{5\pi }{6}\) в градуси.
Рішення
\(\dfrac{5\pi }{6} \cdot \dfrac{180^{\circ} }{\pi }=\dfrac{5\cdot 30^{\circ} }{1}=150^{\circ}\)
Перетворення\(210^{\circ} \) в радіани.
Рішення
\(210^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ} }=\dfrac{7\cdot 30\cdot \pi }{6\cdot 30}=\dfrac{7 \pi}{6}\)
Намалюйте\(\dfrac{\pi}{2}\) кут, попередньо намалювавши\(2\pi\) кут, зменшивши його вдвічі і зменшивши результат вдвічі. Нагадаємо, що\(\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ} \).
Рішення
![F-D_F0be253714F10CF22F371A233AB4C5A18A6AC20A869883F62C9D251e+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/15263/f-d_f0be253714f10cf22f371a233ab4c5a18a6ac20a869883f62c9d251e%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY%252BIMAGE_THUMB_POSTCARD_TINY.png)
Рецензія
Знайдіть радіанову міру кожного кута.
1. \(120^{\circ}\)
2. \(300^{\circ}\)
3. \(90^{\circ}\)
4. \(330^{\circ}\)
5. \(270^{\circ}\)
6. \(45^{\circ}\)
7. \((5\pi )^{\circ}\)
Знайдіть градусну міру кожного кута.
8. \(\dfrac{7 \pi}{6}\)
9. \(\dfrac{5 \pi}{4}\)
10. \(\dfrac{3 \pi}{2}\)
11. \(\dfrac{5\pi }{3}\)
12. \(\pi\)
13. \(\dfrac{\pi }{6}\)
14. \(3\)
15. Поясніть, чому, якщо вам дано кут в градусах і ви помножите його на\(\dfrac{\pi}{180}\) ви отримаєте той же кут в радіанах.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.1.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
підтягнута дуга | Підтягнута дуга - це частина кола між двома променями, які складають центральний кут. |
Додаткові ресурси
Відео: Радіан і Ступінь перетворення - Огляд
Практика: Перетворення між градусами та радіанами