2.5.7: Площа сектора

Половина радіуса в квадраті разів дорівнює куту в радіанах.

Під час обіду з друзями одного дня ви вирішите отримати пиріг. У шкільній їдальні продається пироги, якщо ви купуєте весь пиріг замість окремого скибочки. Так як ви і ваші друзі плануєте з'їсти весь пиріг в будь-якому випадку, ви із задоволенням зробите покупку.

Ви вирішите відрізати собі шматочок. Коли ви вийняли свій розділ пирога, один з ваших друзів заперечує, що ви вирізали більше, ніж ваша справедлива частка. Якщо радіус пирога шість дюймів, а кут, утворений кінцем клина пирога$30^{\circ}$, є, яка площа вашого пирога шматок? Це більше, ніж ваша справедлива частка, якщо є п'ять людей (включаючи вас), що розділяють пиріг?

Площа сектору

Однією з найпоширеніших геометричних формул є площа кола:

$A=\pi r^2$

У плані кутового повороту це площа, створена$2\pi$ радіанами.

$2\pi \text{ rad}=\pi r^2 \text{ area}$

Половина кола, або$\pi$ радіанове обертання створить переріз, або сектор кола, рівний половині площі або:

$\dfrac{1}{2} \pi r^2$

Таким чином, кут 1 радіан буде визначати площу сектора, рівну:

Малюнок$\PageIndex{1}$

$1=\dfrac{1}{2}r^2$

З цього ми можемо визначити площу сектора, створеного будь-яким кутом,$\theta$ радіанами, бути:

$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$

Знаходження району

1. Культури часто вирощують за допомогою техніки, яка називається центровим зрошенням, що призводить до кругової форми полів.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Ось супутниковий знімок, зроблений над полями в Канзасі, які використовують цей тип зрошувальної системи.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Якщо зрошувальна труба довжиною 450 м, якою площею можна зрошувати після обертання$\dfrac{2\pi }{3}$ радіанів?

Малюнок$\PageIndex{4}$

Використовуючи формулу:

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}r^2\theta \\ A&=\dfrac{1}{2}(450)^2\left(\dfrac{2\pi }{3}\right)\end{aligned}$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Площа становить приблизно 212 058 квадратних метрів.

2. У пончика посередині отвір радіусом 1 см, а відстань від центру отвору до зовнішнього краю пончика - 3 см. Яка площа сектора 14 пончика?

Малюнок$\PageIndex{6}$

Формула для площі сектора є$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$. За допомогою цієї формули знайти площу сектора від центру назовні дає:

$\begin{aligned} A &=\dfrac{1}{2}r^2 \theta \\ A &=\dfrac{1}{2}3^2 \dfrac{\pi }{2}\\ A&=\dfrac{9\pi }{4} \end{aligned}$

Тепер необхідно відняти площу сектора, який є частиною отвору, а значить, не частиною пончика:

$\begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2}r^2 \theta \\ A &=\dfrac{1}{2} (1)^2 \dfrac{\pi }{2}\\ A&=\pi 4 \end{aligned}$

Площа сектора пончиків:$A=\dfrac{9\pi }{4}−\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{8\pi }{4}=2\pi$

3. Водій подорожує круговою доріжкою, яка має радіус дії 70 метрів. Якщо кут від стартової лінії до її поточної позиції дорівнює$\dfrac{\pi }{3}$ радіанам, яка площа сектора простежується її автомобілем?

Малюнок$\PageIndex{7}$

Площа сектору становить:$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$. Це призводить нас до:

$\begin{aligned} A &=\dfrac{1}{2}r^2\theta \\ A &=\dfrac{1}{2}(70)^2 \dfrac{\pi }{3}\\ A&\approx 73.3 \text{ meters} \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас запитали, яка площа вашого шматка пирога.

Рішення

Тепер ви знаєте, що рівняння для площі кола, зметеного деяким кутом, таке:

$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$

Застосовуючи це до шматочка пирога, у вас є область:

$A=\dfrac{1}{2}\times 62\times \dfrac{\pi }{6}=3\pi$

А загальна площа пирога становить:

$\pi r^2=36\pi$

Щоб дізнатися, яка ваша справедлива порція пирога, помножте загальну площу на вашу дріб:

$\dfrac{1}{5} \times 36\pi =7.2\pi$

А оскільки шматок, який ви взяли, має розмір лише 3\ pi, ви точно не берете занадто багато!

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо радіус сектора становить 5 футів, а сектор змітає кут$43^{\circ}$, знайдіть область сектора.

Рішення

Оскільки ви це знаєте$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$, ви можете вирішити для області (не забудьте перетворити градуси кута в радіани):

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}r^2\theta \\ A&=\dfrac{1}{2} (25)(.75) \\ A&=9.375 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо пиріг клин має площу 15 квадратних дюймів, а пиріг має радіус 9 дюймів, знайдіть кут, змітається сектором.

Рішення

Оскільки ви це знаєте$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$, ви можете вирішити для кута, змітається сектором (не забувайте, що кут буде вимірюватися в радіанах):

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}r^2\theta \\ 15&=\dfrac{1}{2} (81)(\theta ) \\ \theta &=\dfrac{(2)(15)}{81} \\ \theta &=.37 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Якщо у вас є шматок круглого торта, який має площу 20 квадратних дюймів, і ви знаєте, що шматок змітає кут$25^{\circ}$, знайдіть радіус торта.

Рішення

Оскільки ви це знаєте$A=\dfrac{1}{2}r^2\theta$, ви можете вирішити для радіуса пирога (не забудьте перетворити градуси кута в радіани):

$\begin{aligned} A&=\dfrac{1}{2}r^2\theta \\ 20&=\dfrac{1}{2}(r^2)(.436) \\ r^2&=\dfrac{(2)(20)}{.436 }\\ r^2&=91.743 \\ r&=9.58 \end{aligned}$

Рецензія

1. Якщо радіус сектора становить 8 дюймів, а центральний кут сектора -$40^{\circ}$, знайдіть площу сектора.
2. Якщо радіус сектора становить 12 дюймів, а центральний кут сектора -$\dfrac{\pi }{6}$ радіани, знайдіть площу сектора.
3. Якщо радіус сектора становить 6 дюймів, а центральний кут сектора -$140^{\circ}$, знайдіть площу сектора.
4. Якщо радіус сектора становить 5 дюймів, а центральний кут сектора -$\dfrac{5\pi }{3}$ радіани, знайдіть площу сектора.
5. Якщо радіус сектора становить 10 дюймів, а центральний кут сектора -$100^{\circ}$, знайдіть площу сектора.
6. Якщо пиріг клин має площу 10 квадратних дюймів, а пиріг має радіус 6 дюймів, знайдіть кут, змітається сектором.
7. Якщо пиріг клин має площу 15 квадратних дюймів, а пиріг має радіус 4 дюйми, знайдіть кут, змітається сектором.
8. Якщо пиріг клин має площу 12 квадратних дюймів, а пиріг має радіус 3 дюйми, знайдіть кут, змітається сектором.
9. Якщо у вас є шматок круглого торта, який має площу 20 квадратних дюймів, і ви знаєте, що шматок змітає кут$\dfrac{\pi }{3}$ радіанів, знайдіть радіус пирога.
10. Якщо у вас є шматок круглого пирога, який має площу 100 квадратних дюймів, і ви знаєте, що шматок змітає кут$50^{\circ}$, знайти радіус торта.
11. Якщо у вас є шматок круглого пирога, який має площу 35 квадратних дюймів, і ви знаєте, що шматок змітає кут$\dfrac{2\pi }{5}$ радіанів, знайдіть радіус пирога.
12. Якщо у вас є шматок круглого торта, який має площу 20 квадратних дюймів, і ви знаєте, що шматок змітає кут$30^{\circ}$, знайдіть радіус торта.

Піца має радіус 10 в. Використовуйте цю інформацію, щоб відповісти на питання 13-15.

13. Зріз видаляється. Довжина скоринки відсутнього скибочки становить 3 дюйма. Яка площа відсутнього зрізу?
14. Ви їсте три штуки з центральним кутом$\dfrac{4\pi }{5}$. Яку площу піци ви їли?
15. Велика піца має радіус дії 12 дюймів. Яка площа половини великої піци?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.6.

Лексика

Термін	Визначення
Сектор	Сектор кола - це частина кола, що міститься між двома радіусами кола. Сектори можна вимірювати в градусах.

Додаткові ресурси

Відео: Довжина дуги і площа сектора

Практика: Область сектору