1.10:45-45-90 Прямі трикутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54796

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Час катета\(\sqrt{2}\) дорівнює гіпотенузі.

45-45-90 Прямі трикутники

Прямокутний трикутник з конгруентними ніжками та гострими кутами - це рівнобедрений прямокутний трикутник. Цей трикутник ще називають трикутником 45-45-90 (названий на честь кутових мір).

F-D_D031961d691E6F7822CDФД8647А351С573 FFE2D391BE3A66C33F43D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

\(\Delta ABC\)є прямокутним трикутником з\(m\angle A=90^{\circ}\),\(\overline{AB} \cong \overline{AC}\) і\(m\angle B=m\angle C=45^{\circ}\).

45-45-90 Теорема: Якщо прямокутний трикутник рівнобедрений, то його сторони знаходяться в співвідношенні\(x:x:x\sqrt{2}\). Для будь-якого рівнобедреного прямокутного трикутника катети є\(x\) і гіпотенуза завжди\(x\sqrt{2}\).

Що робити, якщо вам дали рівнобедрений прямокутний трикутник і довжину однієї з його сторін? Як ви могли з'ясувати довжини його інших сторін?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайти довжину\(x\).

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення.

Тут нам дається гіпотенуза. Вирішити для\(x\) в співвідношенні.

\(\begin{aligned} x\sqrt{2} =16\\ x=16\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти довжину\(x\), де\(x\) - гіпотенуза трикутника 45-45-90 з довжинами катетів\(5\sqrt{3}\).

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення.

\(x=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{6}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть довжину відсутньої сторони.

F-д_99ф1д287 АБД 14Б0Б76СБ8421Е384А4А41А2А8С7Е039ДФ7Б976Е95А7455+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення. \(TV=6\)тому що вона дорівнює\(ST\). Отже,\(SV=6 \cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть довжину відсутньої сторони.

F-D_ЕА АЕ0Д6Ф4193383Б52Д89 А7Д0326Е67ЕЕЕ7Д47Б2Ф2Д971С16+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення. \(AB=9\sqrt{2}\)тому що вона дорівнює\(AC\). Отже,\(BC=9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=9\cdot 2=18\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Квадрат має діагональ довжиною 10, які довжини сторін?

Рішення

Намалюйте малюнок.

F-D_3D3F24CCCA5492Б908 СД 782520Е 20675Д 3Д ЕДЕ898C3F64A71392B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Ми знаємо, що половина квадрата - це трикутник 45-45-90, отже\(10=s\sqrt{2}\).

\(\begin{aligned} s\sqrt{2}&=10 \\ s&=10\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \end{aligned}\)

Рецензія

У рівнобедреному прямокутному трикутнику, якщо катет дорівнює 4, то гіпотенуза дорівнює __________.
У рівнобедреному прямокутному трикутнику, якщо катет дорівнює x, то гіпотенуза дорівнює __________.
Квадрат має сторони довжиною 15. Яка довжина діагоналі?
Діагональ квадрата дорівнює 22. Яка довжина кожної сторони?

Для питань 5-11 знайдіть довжини відсутніх сторін. Спростити всі радикали.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)
Малюнок\(\PageIndex{6}\)
Малюнок\(\PageIndex{7}\)
Малюнок\(\PageIndex{8}\)
Малюнок\(\PageIndex{9}\)
Малюнок\(\PageIndex{10}\)
Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.5.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
45-45-90 Теорема	Для будь-якого рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо катети мають довжину x одиниць, гіпотенуза завжди\(x\sqrt{2}\).
45-45-90 Трикутник	Трикутник 45-45-90 - це спеціальний прямокутний трикутник з кутами\(45^{\circ}\)\(45^{\circ}\), і\(90^{\circ}\).
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
Радикальний	Знак √, або квадратний корінь.