8.8 Правило Крамера
- Page ID
- 54550
Система рівнянь може бути представлена і розв'язана в цілому за допомогою матриць і детермінант. Цей метод може бути значно ефективнішим, ніж усунення змінних у рівняннях. Що означає, щоб метод рішення був більш ефективним? Чи є Правило Крамера найефективнішим засобом розв'язання системи рівнянь?
Використання правила Крамера
Детермінант визначається, здавалося б, довільним чином, однак, коли ви дивитеся на загальне рішення для\(2 \times 2\) матриці, аргументація, чому вона визначається таким чином, очевидна
\(a x+b y=e\)
\(c x+d y=f\)
Коли ви вирішуєте систему вище для\(y\) і\(x\), ви отримуєте наступне:
\(y=\frac{a f-c e}{a d-b c}\)
\(x=\frac{b f-d e}{a d-b c}\)
Зауважимо, що система може бути представлена матрицею, а розв'язки можуть бути записані у вигляді співвідношень двох детермінант. Визначником в знаменнику є матриця коефіцієнтів. Правило Крамера стверджує, що для двох рівнянь чисельником\(x\) рішення є визначник нової матриці, стовпці якої складаються з\(y\) коефіцієнтів і коефіцієнтів розв'язку. Чисельник\(y\) розв'язку є визначником нової матриці, що складається з\(x\) коефіцієнтів і коефіцієнтів розв'язку.
\(\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}e \\ f\end{array}\right]\)
\(x=\frac{\left|\begin{array}{ll}e & b \\ f & d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & e \\ c & f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}\)
Це фантастичне поліпшення в порівнянні з вирішенням систем з використанням заміщення або ліквідації. Правило Крамера також працює з матрицями більшого порядку. Для системи з 3 змінних і 3 рівнянь міркування ідентичні.
\(a x+b y+c z=j\)
\(d x+e y+f z=k\)
\(g x+h y+i z=l\)
Систему можна представити у вигляді матриці.
\(\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}j \\ k \\ l\end{array}\right]\)
Три розв'язки можуть бути представлені у вигляді співвідношення детермінант.
\(x=\frac{\left|\begin{array}{lll}j & b & c \\ k & e & f \\ l & h & i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|}\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{lll}a & j & c \\ d & k & f \\ g & l & i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|}\)
\(z=\frac{\left|\begin{array}{lll}a & b & j \\ d & e & k \\ g & h & l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|}\)
Пам'ятайте, що оцінка детермінант\(3 \times 3\) матриць за допомогою правила Сарруса дуже ефективна.
Приклади
Раніше вас запитали про ефективні рішення. Ви бачили, що використання традиційного скорочення рядків для вирішення системи рівнянь може зайняти деякий час і витратити багато паперу. Ефективність частково означає, що потрібно менше часу і простору. Якби це було все, що означало ефективність, то не було б сенсу вирішувати системи двох рівнянь з двома невідомими за допомогою матриць, оскільки рішення можна було знайти швидше за допомогою підстановки. Однак інша частина ефективності - це мінімізація кількості рішень, які повинні бути прийняті. Комп'ютер дуже добре вміє додавати, віднімати та множити числа, але не дуже добре вирішує, чи\(y\) буде краще усунути чи усунути.\(x\) Ось чому певний алгоритм з використанням матриць і Правил Крамера є більш ефективним.
Представляємо наступну систему рівнянь як матричне рівняння і вирішуємо за допомогою Правила Крамера.
\(\begin{aligned} y-13 &=-3 x \\ x &=19-4 y \end{aligned}\)
Спочатку запишіть кожне рівняння в стандартній формі.
\(3 x+y=13\)
\(x+4 y=19\)
Потім запишіть у вигляді матриці коефіцієнтів на змінну матрицю, рівну матриці розв'язку.
\(\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}13 \\ 19\end{array}\right]\)
\(x=\frac{\left|\begin{array}{ll}e & b \\ f & d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ll}13 & 1 \\ 19 & 4\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right|}=\frac{13 \cdot 4-19 \cdot 1}{3 \cdot 4-1 \cdot 1}=\frac{33}{11}=3\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{ll}3 & 13 \\ 1 & 19\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right|}=\frac{3 \cdot 19-13}{11}=\frac{44}{11}=4\)
Що\(y\) дорівнює в наступній системі?
\(x+2 y-z=0\)
\(7 x-0 y+z=14\)
\(0 x+y+z=10\)
Якщо ви спробували вирішити цю проблему за допомогою усунення, вона взяла б на себе сторінку написання та переписування для вирішення. Правило Крамера прискорює процес вирішення.
\(\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 7 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 14 \\ 10\end{array}\right]\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{lll}a & j & c \\ d & k & f \\ g & l & i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right|}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 7 & 14 & 1 \\ 0 & 10 & 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 7 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|}=\frac{14+0+(-70)-0-10-0}{0+0+(-7)-0-1-14}=\frac{-66}{-22}=3\)
Вирішіть наступну систему за допомогою правила Крамера.
\(\begin{aligned} 5 x+12 y &=72 \\ 18 x-12 y &=108 \end{aligned}\)
\(x=\frac{\left|\begin{array}{cc}72 & 12 \\ 108 & -12\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5 & 12 \\ 18 & -12\end{array}\right|}=\frac{72 \cdot(-12)-12 \cdot 108}{5 \cdot(-12)-12 \cdot 18}=\frac{-2160}{-276}=\frac{180}{23}\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{cc}5 & 72 \\ 18 & 108\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5 & 12 \\ 18 & -12\end{array}\right|}=\frac{5 \cdot 108-72 \cdot 18}{-276}=\frac{-756}{-276}=\frac{63}{23}\)
Яке значення\(z\) в наступній системі?
\(3 x+2 y+z=7\)
\(4 x+0 y+z=6\)
\(6 x-y+0 z=5\)
\(z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 7 \\ 4 & 0 & 6 \\ 6 & -1 & 5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & 0\end{array}\right|}=\frac{0+2 \cdot 6 \cdot 6+7 \cdot 4 \cdot(-1)-0-(-1) \cdot 6 \cdot 3-5 \cdot 4 \cdot 2}{0+2 \cdot 1 \cdot 6+1 \cdot 4 \cdot(-1)-0-(-1) \cdot 1 \cdot 3-0}\)
\(=\frac{22}{11}\)
\(=2\)
Вирішіть наступні системи рівнянь, використовуючи Правило Крамера. Якщо одного рішення не існує, поясніть.
\[\begin{array}{c} 4 x-2 y &=-20 \\ x-3 y &=-15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+5 y=33 \\ -x-2 y=-13 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} x+4 y=11 \\ 3 x+12 y=33 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} -3 x+y=-7 \\ -x+4 y=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+y &=6 \\ -6 x-2 y &=10 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(x\) in the following system: \\ 2 x-y+z &=4 \\ 4 x+7 y-z &=38 \\ -x+3 y+2 z &=23 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(y\) in the following system: \\ 4 x+y-z &=-16 \\ -3 x+4 y+z &=18 \\ x+y-3 z &=-17 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(z\) in the following system: \\ 3 x+2 y-3 z &=7 \\ -x+5 y+2 z &=29 \\ x+2 y+z &=15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(x\) in the following system: \\ 2 x+y-2 z &=-5 \\ -4 x-2 y+3 z &=2 \\ 3 x+y-z &=3 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(y\) in the following system: \\ -x+3 y+z &=11 \\ 3 x+y+2 z &=27 \\ 5 x-y-z &=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} Use Cramer's Rule to solve for \(z\) in the following system: \\ 3 x+2 y+4 z &=21 \\ -2 x+3 y+z &=-11 \\ x+2 y-3 z &=-3 \end{array}\]
Вирішіть наступні системи рівнянь, використовуючи Правило Крамера. Практикуйте використання калькулятора, щоб допомогти хоча б з однією проблемою. Якщо одного рішення не існує, поясніть.
\[\begin{array}{c} -x+2 y-6 z &=4 \\ 8 x+5 y+3 z &=-8 \\ 2 x-4 y+12 z &=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 3 x+5 y+8 z &=37 \\ -6 x+3 y+z &=42 \\ x+3 y-2 z &=5 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 4 x+y-6 z &=-38 \\ 2 x+7 y+8 z &=108 \\ -3 x+2 y-3 z &=-15 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} 6 x+3 y-2 z &=-22 \\ -4 x-2 y+4 z &=28 \\ 3 x+3 y+2 z &=7 \end{array}\]
\[\begin{array}{c} \text { When using Cramer's Rule to solve a system of equations you will occasionally find that the determinant of the coefficient matrix is zero. When this happens, how can you tell whether your system has no solution or infinite solutions }\end{array}\]