8.4 Матричні операції

Алгебра відноситься до вашої здатності маніпулювати змінними і невідомими на основі правил і властивостей. Матрична алгебра надзвичайно схожа на алгебру, яку ви вже знаєте для чисел з кількома важливими відмінностями. У чому ж ці відмінності?

Алгебра з матрицями

Додавання і віднімання

Дві матриці одного порядку можна скласти шляхом підсумовування записів у відповідних позиціях.

$\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 7 & 7 & 7 \\ 7 & 7 & 7 \end{array}\right]$

Дві матриці одного порядку можна відняти, віднімаючи записи у відповідних позиціях.

$\left[\begin{array}{ccc}10 & 9 & 8 \\ 7 & 6 & 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]$

множення

Ви можете знайти добуток матриці$A$ та матриці,$B$ якщо кількість стовпців у матриці$A$ відповідає кількості рядків у матриці$B$. Ще один спосіб запам'ятати це, коли ви пишете порядки матриці$A$ і матриці$B$ поруч один з одним, вони повинні бути з'єднані одним і тим же номером. Отримана матриця має кількість рядків з першої матриці і кількість стовпців з другої матриці.

$(2 \times 3) \cdot(3 \times 5)=(2 \times 5)$

Для обчислення першого запису отриманої$2 \times 5$ матриці слід зіставити перший рядок з першої матриці та перший стовпець другої матриці. Арифметична операція об'єднання цих чисел ідентична взяттю крапкового добутку між двома векторами.

• Запис у першому рядку першого стовпчика нової матриці обчислюється як$1 \cdot 0+4 \cdot 2+3 \cdot 1=11$.
• - запис у другому рядку перший стовпець нової матриці обчислюється як$5 \cdot 0+6 \cdot 2+9 \cdot 1=21$
• - запис у першому рядку другий стовпець нової матриці обчислюється як$1 \cdot 1+4 \cdot 0+3 \cdot 1=4$
• - Запис у другому рядку другий стовпець нової матриці обчислюється як$5 \cdot 1+6 \cdot 0+9 \cdot 1=14$

Продовжуйте цю схему, і ви виявите, що рішення цього множення:

С=$\left[\begin{array}{ccccc} 11 & 4 & 12 & 9 & 7 \\ 21 & 14 & 42 & 17 & 15 \end{array}\right]$

Інші властивості матричної алгебри

• Комутативність утримується для додавання матриць. Це означає, що коли матриці$A$ і$B$ можуть бути додані (коли вони мають відповідні порядки), то:$A+B=B+A$
• Комутативність взагалі не дотримується для множення матриць.
• Асоціативність тримається як для множення, так і для додавання. $(A B) C=A(B C),(A+B)+C=A+(B+C)$
• Розподіл по додаванню та відніманню утримань. $A(B \pm C)=A B \pm A C$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, які відмінності між матричною та регулярною алгеброю. Основна відмінність матричної алгебри від регулярної алгебри з числами полягає в тому, що матриці не мають комутативної властивості для множення. Є й інші складності, які мають матриці, але багато хто з них випливають з того, що для більшості матриць$A B \neq B A$.

Приклад 2

Показати комутативне майно не має шляхом демонстрації$A B \neq B A$

$A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 12\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0\end{array}\right]$

$A B=\left[\begin{array}{ccc}30 & 22 & -1 \\ 5 & 9 & 3 \\ 58 & 62 & 7\end{array}\right]$

$B A=\left[\begin{array}{ccc}9 & 12 & 20 \\ 6 & 5 & 28 \\ 3 & 2 & 32\end{array}\right]$

Приклад 3

Обчислити наступну матричну арифметику:$10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B$.

$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}12 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$

Коли матриця множиться на скаляр (наприклад, з$2 A$), помножте кожен запис у матриці на скаляр.

$2 A=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 8 & 10\end{array}\right]$

$-3 C=\left[\begin{array}{cc}-36 & 0 \\ -3 & -9\end{array}\right]$

$2 A-3 C=\left[\begin{array}{cc}-34 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right]$

Оскільки асоціативне властивість тримає, ви можете або розподілити десять, або помножити на матрицю$B$ далі.

$(2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}16 & -22 & -60 \\ 4 & 8 & 12\end{array}\right]$

$10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}160 & -220 & -600 \\ 40 & 80 & 120\end{array}\right]$

Приклад 4

Використовуйте калькулятор для введення та обчислення наступних операцій з матрицею.

$\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}54 & 65 & 12 \\ 235 & 322 & 167 \\ 413 & 512 & 123\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}163 & 212 & 466 \\ 91 & 221 & 184 \\ 42 & 55 & 42\end{array}\right] \\ A^{T} \cdot B \cdot A-100 A & \end{array}$

Більшість графічних калькуляторів, таких як TI-84, можуть виконувати операції над матрицями. Знайдіть, де можна ввести матриці і ввести дві матриці.

Потім наберіть відповідну операцію і побачите результат. TI-84 має вбудовану кнопку транспонування.

Фактичні числа на цій керованій практиці менш важливі, ніж знання, що ваш калькулятор може виконувати всі матричні алгебри, продемонстровані в цій концепції. Корисно повністю знати можливості наявних у вашому розпорядженні інструментів, але це не повинно замінювати знання, чому калькулятор робить те, що робить.

Приклад 5

Множення матриць може бути використано як перетворення в системі координат. Розглянемо трикутник з координатами (0, 0) (1, 2) і (1, 0) наступну матрицю:

\ left [\ begin {масив} {cc}

\ cos 90^ {\ цирк} &\ sin 90^ {\ circ}\

-\ sin 90 &\ cos 90

\ end {масив}\ право]

Як виглядає нова картинка?

Матриця спрощує стати:

$\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]$

При застосуванні до кожної точки як перетворення створюється нова точка. Зверніть увагу, що$\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]$ це матриця, що представляє кожну вихідну точку і$\left[x^{\prime} y^{\prime}\right]$ є новою точкою. The$x^{\prime}$ читається${ }^{a} x$ як «простий» і є поширеним способом позначення результату після перетворення.

$\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}x^{\prime} & y^{\prime}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-2 & 1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]$

Зверніть увагу, як перетворення матриці обертає графіки проти годинникової стрілки$90^{\circ}$.

$\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-y & x\end{array}\right]$

Перетворення матриці, застосоване в наступному порядку, обертає графік за годинниковою стрілкою$90^{\circ}$.

$\left[\begin{array}{cc}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y \\ -x\end{array}\right]$

Рецензія

Зробіть #1 - #11 без вашого калькулятора.

$A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\ 3 & 8\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 6\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}14 & 6 \\ 1 & 2\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$

1. Знайти$A C$. Якщо немає можливості, поясніть.

2. Знайти$B A$. Якщо немає можливості, поясніть.

3. Знайти$C A$. Якщо немає можливості, поясніть.

4. Знайти$4 B^{T}$. Якщо немає можливості, поясніть.

5. Знайти$A+C$. Якщо немає можливості, поясніть.

6. Знайти$D-A$. Якщо немає можливості, поясніть.

7. Знайти$2(A+C-D)$. Якщо немає можливості, поясніть.

8. Знайти$(A+C) B$. Якщо немає можливості, поясніть.

9. Знайти$B(A+C)$. Якщо немає можливості, поясніть.

10. Покажіть, що$A(C+D)=A C+A D$

11. Покажіть, що$A(C-D)=A C-A D$.

Практикуйте використання калькулятора для #12 - #15.

$E=\left[\begin{array}{ccc}312 & 59 & 34 \\ 342 & 156 & 189 \\ 783 & 23 & 133\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{ccc}33 & 72 & 21 \\ 93 & 41 & 94 \\ 62 & 75 & 72\end{array}\right], G=\left[\begin{array}{ccc}11 & 735 & 67 \\ 93 & 456 & 2 \\ 94 & 34 & 0\end{array}\right]$

12. Знайти$E+F+G$

13. Знайти$2 E$

14. Знайти$4 F$

15. Знайти$(E+F) G$