8.4 Матричні операції
- Page ID
- 54535
Алгебра відноситься до вашої здатності маніпулювати змінними і невідомими на основі правил і властивостей. Матрична алгебра надзвичайно схожа на алгебру, яку ви вже знаєте для чисел з кількома важливими відмінностями. У чому ж ці відмінності?
Алгебра з матрицями
Додавання і віднімання
Дві матриці одного порядку можна скласти шляхом підсумовування записів у відповідних позиціях.
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 7 & 7 & 7 \\ 7 & 7 & 7 \end{array}\right]\)
Дві матриці одного порядку можна відняти, віднімаючи записи у відповідних позиціях.
\(\left[\begin{array}{ccc}10 & 9 & 8 \\ 7 & 6 & 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]\)
множення
Ви можете знайти добуток матриці\(A\) та матриці,\(B\) якщо кількість стовпців у матриці\(A\) відповідає кількості рядків у матриці\(B\). Ще один спосіб запам'ятати це, коли ви пишете порядки матриці\(A\) і матриці\(B\) поруч один з одним, вони повинні бути з'єднані одним і тим же номером. Отримана матриця має кількість рядків з першої матриці і кількість стовпців з другої матриці.
\((2 \times 3) \cdot(3 \times 5)=(2 \times 5)\)
Для обчислення першого запису отриманої\(2 \times 5\) матриці слід зіставити перший рядок з першої матриці та перший стовпець другої матриці. Арифметична операція об'єднання цих чисел ідентична взяттю крапкового добутку між двома векторами.
- Запис у першому рядку першого стовпчика нової матриці обчислюється як\(1 \cdot 0+4 \cdot 2+3 \cdot 1=11\).
- - запис у другому рядку перший стовпець нової матриці обчислюється як\(5 \cdot 0+6 \cdot 2+9 \cdot 1=21\)
- - запис у першому рядку другий стовпець нової матриці обчислюється як\(1 \cdot 1+4 \cdot 0+3 \cdot 1=4\)
- - Запис у другому рядку другий стовпець нової матриці обчислюється як\(5 \cdot 1+6 \cdot 0+9 \cdot 1=14\)
Продовжуйте цю схему, і ви виявите, що рішення цього множення:
С=\(\left[\begin{array}{ccccc} 11 & 4 & 12 & 9 & 7 \\ 21 & 14 & 42 & 17 & 15 \end{array}\right]\)
Інші властивості матричної алгебри
- Комутативність утримується для додавання матриць. Це означає, що коли матриці\(A\) і\(B\) можуть бути додані (коли вони мають відповідні порядки), то:\(A+B=B+A\)
- Комутативність взагалі не дотримується для множення матриць.
- Асоціативність тримається як для множення, так і для додавання. \((A B) C=A(B C),(A+B)+C=A+(B+C)\)
- Розподіл по додаванню та відніманню утримань. \(A(B \pm C)=A B \pm A C\)
Приклади
Раніше вас запитали, які відмінності між матричною та регулярною алгеброю. Основна відмінність матричної алгебри від регулярної алгебри з числами полягає в тому, що матриці не мають комутативної властивості для множення. Є й інші складності, які мають матриці, але багато хто з них випливають з того, що для більшості матриць\(A B \neq B A\).
Показати комутативне майно не має шляхом демонстрації\(A B \neq B A\)
\(A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 12\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0\end{array}\right]\)
\(A B=\left[\begin{array}{ccc}30 & 22 & -1 \\ 5 & 9 & 3 \\ 58 & 62 & 7\end{array}\right]\)
\(B A=\left[\begin{array}{ccc}9 & 12 & 20 \\ 6 & 5 & 28 \\ 3 & 2 & 32\end{array}\right]\)
Обчислити наступну матричну арифметику:\(10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B\).
\(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}12 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]\)
Коли матриця множиться на скаляр (наприклад, з\(2 A\)), помножте кожен запис у матриці на скаляр.
\(2 A=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 8 & 10\end{array}\right]\)
\(-3 C=\left[\begin{array}{cc}-36 & 0 \\ -3 & -9\end{array}\right]\)
\(2 A-3 C=\left[\begin{array}{cc}-34 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right]\)
Оскільки асоціативне властивість тримає, ви можете або розподілити десять, або помножити на матрицю\(B\) далі.
\((2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}16 & -22 & -60 \\ 4 & 8 & 12\end{array}\right]\)
\(10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}160 & -220 & -600 \\ 40 & 80 & 120\end{array}\right]\)
Використовуйте калькулятор для введення та обчислення наступних операцій з матрицею.
\(\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}54 & 65 & 12 \\ 235 & 322 & 167 \\ 413 & 512 & 123\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}163 & 212 & 466 \\ 91 & 221 & 184 \\ 42 & 55 & 42\end{array}\right] \\ A^{T} \cdot B \cdot A-100 A & \end{array}\)
Більшість графічних калькуляторів, таких як TI-84, можуть виконувати операції над матрицями. Знайдіть, де можна ввести матриці і ввести дві матриці.
Потім наберіть відповідну операцію і побачите результат. TI-84 має вбудовану кнопку транспонування.
Фактичні числа на цій керованій практиці менш важливі, ніж знання, що ваш калькулятор може виконувати всі матричні алгебри, продемонстровані в цій концепції. Корисно повністю знати можливості наявних у вашому розпорядженні інструментів, але це не повинно замінювати знання, чому калькулятор робить те, що робить.
Множення матриць може бути використано як перетворення в системі координат. Розглянемо трикутник з координатами (0, 0) (1, 2) і (1, 0) наступну матрицю:
\ left [\ begin {масив} {cc}
\ cos 90^ {\ цирк} &\ sin 90^ {\ circ}\
-\ sin 90 &\ cos 90
\ end {масив}\ право]
Як виглядає нова картинка?
Матриця спрощує стати:
\(\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]\)
При застосуванні до кожної точки як перетворення створюється нова точка. Зверніть увагу, що\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\) це матриця, що представляє кожну вихідну точку і\(\left[x^{\prime} y^{\prime}\right]\) є новою точкою. The\(x^{\prime}\) читається\({ }^{a} x\) як «простий» і є поширеним способом позначення результату після перетворення.
\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}x^{\prime} & y^{\prime}\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-2 & 1\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, як перетворення матриці обертає графіки проти годинникової стрілки\(90^{\circ}\).
\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-y & x\end{array}\right]\)
Перетворення матриці, застосоване в наступному порядку, обертає графік за годинниковою стрілкою\(90^{\circ}\).
\(\left[\begin{array}{cc}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y \\ -x\end{array}\right]\)
Зробіть #1 - #11 без вашого калькулятора.
\(A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\ 3 & 8\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 6\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}14 & 6 \\ 1 & 2\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]\)
1. Знайти\(A C\). Якщо немає можливості, поясніть.
2. Знайти\(B A\). Якщо немає можливості, поясніть.
3. Знайти\(C A\). Якщо немає можливості, поясніть.
4. Знайти\(4 B^{T}\). Якщо немає можливості, поясніть.
5. Знайти\(A+C\). Якщо немає можливості, поясніть.
6. Знайти\(D-A\). Якщо немає можливості, поясніть.
7. Знайти\(2(A+C-D)\). Якщо немає можливості, поясніть.
8. Знайти\((A+C) B\). Якщо немає можливості, поясніть.
9. Знайти\(B(A+C)\). Якщо немає можливості, поясніть.
10. Покажіть, що\(A(C+D)=A C+A D\)
11. Покажіть, що\(A(C-D)=A C-A D\).
Практикуйте використання калькулятора для #12 - #15.
\(E=\left[\begin{array}{ccc}312 & 59 & 34 \\ 342 & 156 & 189 \\ 783 & 23 & 133\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{ccc}33 & 72 & 21 \\ 93 & 41 & 94 \\ 62 & 75 & 72\end{array}\right], G=\left[\begin{array}{ccc}11 & 735 & 67 \\ 93 & 456 & 2 \\ 94 & 34 & 0\end{array}\right]\)
12. Знайти\(E+F+G\)
13. Знайти\(2 E\)
14. Знайти\(4 F\)
15. Знайти\((E+F) G\)