8.9 Зворотні матриці
- Last updated
- Oct 27, 2022
- Save as PDF
Два числа є мультиплікативними оберненнями, якщо їх добуток дорівнює 1. Кожне число, крім числа 0, має мультиплікативний зворотний. Для матриць дві матриці є оберненнями один одного, якщо вони множаться на матрицю ідентичності.
Які види матриць не мають інверсів?
Інверси матриць
Мультиплікативні інверси - це два числа або матриці, добуток яких один або матриця ідентичності. Розглянемо матрицюA, яка має зворотнуA−1. Як знайти матрицю,A−1 якщо у вас просто є матрицяA?
A=\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1\\
0 & 2 & -1
\ end {масив}\ право], A^ {-1} =?
Відповідь полягає в тому, що ви збільшуєте матрицюA з ідентифікаційною матрицею та зменшення рядків.
[12310010101002−1001]
R1⋅−1+R2→[1231000−2−2−11002−1001]R2+R3→[1231000−2−2−11000−3−111]R2÷−2→[12310001112−12000−3−111]
R3÷−3→[12310001112−12000113−13−13]
R3⋅−3+R1→[12001101112−12000113−13−13]
R3⋅−1+R2→[12001101016−161300113−13−13]
R2⋅−2+R1→[100−13431301016−161300113−13−13]
Матриця праворуч - це зворотна матрицяA−1.
A−1=[−13431316−161313−13−13]
Дроби зазвичай неминучі при обчисленні інверсів.
Одна з причин, чому інверси настільки потужні, полягає в тому, що вони дозволяють вирішувати системи рівнянь з тією ж логікою, що і ви вирішуєте одне лінійне рівняння. Розглянемо наступну систему, засновану на коефіцієнтах матриціA зверху.
x+2y+3z=96x+0y+z=360x+2y−z=−12
Записавши цю систему у вигляді матричного рівняння, ви отримаєте:
[12310102−1]⋅[xyz]=[9636−12]
A⋅[xyz]=[9636−12]
Якби це було нормальне лінійне рівняння, де у вас була постійна раз змінна дорівнює константі, ви б помножили обидві сторони на мультиплікативний зворотний коефіцієнт. Те ж саме зробіть в цьому випадку.
A−1⋅A⋅[xyz]=A−1⋅[9636−12]
[xyz]=A−1⋅[9636−12]
Все, що залишилося, це для вас, щоб підставити в і виконати множення матриці, щоб отримати рішення.
[xyz]=A−1⋅[9636−12]
[xyz]=[−13431316−161313−13−13]⋅[9636−12]
[xyz]=[−13⋅96+43⋅36+13⋅(−12)16⋅96−16⋅36+13⋅(−12)13⋅96−13⋅36−13⋅(−12)]
[xyz]=[12624]
Приклади
Раніше вас запитали, які типи матриць не мають інверсів. Неквадратні матриці, як правило, не мають зворотних. Квадратні матриці, які мають детермінанти, рівні нулю, не мають зворотних.
Знайдіть обернену наступну матрицю.
[16424]
[161042401]
R1⋅−4+R2→[161000−41]
Ця матриця не є оборотною, оскільки її рядки не лінійно незалежні. Щоб перевірити, чи є квадратна матриця зворотною, перевірте, чи є детермінант нулем. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця не обертається, оскільки рядки не лінійно незалежні.
Підтвердіть матрицюA іA−1 є зворотними шляхом обчисленьA−1⋅A іA⋅A−1.
A=[12310102−1],A−1=[−13431316−161313−13−13]
A−1⋅A=[−13431316−161313−13−13]⋅[12310102−1]
a11=−13⋅1+43⋅1+13⋅0=1
a22=16⋅2−16⋅0+13⋅2=1
a33=13⋅3−13⋅1−13(−1)=1
Зверніть увагу, що інші записи виявляються нульовими. Це залишається для вас, щоб підтвердити.
Використовуйте калькулятор для обчисленняA−1, обчисленняA−1⋅A, обчисленняA⋅A−1 та обчислення
A−1⋅[9636−12]
Почніть з введення просто матриціA в калькулятор.
Для обчислення матриціA−1 використовуйте зворотну кнопку, запрограмовану в калькулятор. Не намагайтеся підняти матрицю до негативного показника. Це не вийде.
Зверніть увагу, що калькулятор може повертати десяткові версії дробів і не покаже всю матрицю на її обмеженому дисплеї. Вам доведеться прокрутити вправо, щоб підтвердити, щоA−1 відповідає тому, що ви вже знайшли. Після того, як ви знайшли,A−1 продовжуйте і зберігайте його як матрицю,B так що вам не потрібно вводити записи.
A−1⋅A=B⋅A
A⋅A−1=A⋅B
A−1⋅[9636−12]=B⋅[9636−12]=B⋅C
Потрібно створити матрицюC=[9636−12]
Можливість ефективного використання калькулятора повинна поліпшити ваше розуміння матриць і дозволити вам перевірити всю роботу, яку ви виконуєте вручну.
Матриця ідентичності буває власною зворотною. Знайдіть іншу матрицю, яка є власною зворотною.
Гельмерт придумав дуже розумну матрицю, яка виявляється своєю власною зворотною. Ось2×2 і3×3 версії.
[1√21√21√2−1√2],[1√31√31√31√2−1√201√61√6−2√6]
Знайдіть обернену кожної з наступних матриць, якщо це можливо. Не забудьте зробити деякі вручну, а деякі з калькулятором.
1. [4523]
2. [−3625]
3. [−1220]
4. [1601]
5. [652−2]
6. [4263]
7. [−13−4421125]
8. [45890103−2]
9. [07−12−31680]
10. [42−3245180]
11. [−2−6−12−1−5−2234]
12. [−263240−821]
13. Показати, що2×2 матриця Гельмерта є власною зворотною:[1√21√21√2−1√2]
14. Показати, що3×3 матриця Гельмерта є власною зворотною:[1√31√31√31√2−1√201√61√6−2√6]
15. Неквадратні матриці іноді мають ліві зворотні, деA−1⋅A=I, або праві зворотні, деA⋅A−1=I. Чому неквадратні матриці не можуть мати «регулярні» зворотні?