8.9 Зворотні матриці
- Page ID
- 54558
Два числа є мультиплікативними оберненнями, якщо їх добуток дорівнює 1. Кожне число, крім числа 0, має мультиплікативний зворотний. Для матриць дві матриці є оберненнями один одного, якщо вони множаться на матрицю ідентичності.
Які види матриць не мають інверсів?
Інверси матриць
Мультиплікативні інверси - це два числа або матриці, добуток яких один або матриця ідентичності. Розглянемо матрицю\(A\), яка має зворотну\(A^{-1}\). Як знайти матрицю,\(A^{-1}\) якщо у вас просто є матриця\(A\)?
A=\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1\\
0 & 2 & -1
\ end {масив}\ право], A^ {-1} =?
Відповідь полягає в тому, що ви збільшуєте матрицю\(A\) з ідентифікаційною матрицею та зменшення рядків.
\(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} R_{1} \cdot-1+R_{2} & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ R_{2}+R_{3} & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] \\ R_{2} \div-2 & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] \end{aligned}\)
\(R_{3} \div-3 \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-3+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
Матриця праворуч - це зворотна матриця\(A^{-1}\).
\(A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
Дроби зазвичай неминучі при обчисленні інверсів.
Одна з причин, чому інверси настільки потужні, полягає в тому, що вони дозволяють вирішувати системи рівнянь з тією ж логікою, що і ви вирішуєте одне лінійне рівняння. Розглянемо наступну систему, засновану на коефіцієнтах матриці\(A\) зверху.
\(\begin{aligned} x+2 y+3 z &=96 \\ x+0 y+z &=36 \\ 0 x+2 y-z &=-12 \end{aligned}\)
Записавши цю систему у вигляді матричного рівняння, ви отримаєте:
\(\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
\(A \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
Якби це було нормальне лінійне рівняння, де у вас була постійна раз змінна дорівнює константі, ви б помножили обидві сторони на мультиплікативний зворотний коефіцієнт. Те ж саме зробіть в цьому випадку.
\(A^{-1} \cdot A \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
Все, що залишилося, це для вас, щоб підставити в і виконати множення матриці, щоб отримати рішення.
\(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \cdot 96+\frac{4}{3} \cdot 36+\frac{1}{3} \cdot(-12) \\ \frac{1}{6} \cdot 96-\frac{1}{6} \cdot 36+\frac{1}{3} \cdot(-12) \\ \frac{1}{3} \cdot 96-\frac{1}{3} \cdot 36-\frac{1}{3} \cdot(-12)\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12 \\ 6 \\ 24\end{array}\right]\)
Приклади
Раніше вас запитали, які типи матриць не мають інверсів. Неквадратні матриці, як правило, не мають зворотних. Квадратні матриці, які мають детермінанти, рівні нулю, не мають зворотних.
Знайдіть обернену наступну матрицю.
\(\left[\begin{array}{cc}1 & 6 \\ 4 & 24\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & 24 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-4+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ll|ll}1 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 1\end{array}\right]\)
Ця матриця не є оборотною, оскільки її рядки не лінійно незалежні. Щоб перевірити, чи є квадратна матриця зворотною, перевірте, чи є детермінант нулем. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця не обертається, оскільки рядки не лінійно незалежні.
Підтвердіть матрицю\(A\) і\(A^{-1}\) є зворотними шляхом обчислень\(A^{-1} \cdot A\) і\(A \cdot A^{-1}\).
\(A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right], A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
\(A^{-1} \cdot A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]\)
\(a_{11}=-\frac{1}{3} \cdot 1+\frac{4}{3} \cdot 1+\frac{1}{3} \cdot 0=1\)
\(a_{22}=\frac{1}{6} \cdot 2-\frac{1}{6} \cdot 0+\frac{1}{3} \cdot 2=1\)
\(a_{33}=\frac{1}{3} \cdot 3-\frac{1}{3} \cdot 1-\frac{1}{3}(-1)=1\)
Зверніть увагу, що інші записи виявляються нульовими. Це залишається для вас, щоб підтвердити.
Використовуйте калькулятор для обчислення\(A^{-1}\), обчислення\(A^{-1} \cdot A\), обчислення\(A \cdot A^{-1}\) та обчислення
\(A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
Почніть з введення просто матриці\(A\) в калькулятор.
Для обчислення матриці\(A^{-1}\) використовуйте зворотну кнопку, запрограмовану в калькулятор. Не намагайтеся підняти матрицю до негативного показника. Це не вийде.
Зверніть увагу, що калькулятор може повертати десяткові версії дробів і не покаже всю матрицю на її обмеженому дисплеї. Вам доведеться прокрутити вправо, щоб підтвердити, що\(A^{-1}\) відповідає тому, що ви вже знайшли. Після того, як ви знайшли,\(A^{-1}\) продовжуйте і зберігайте його як матрицю,\(B\) так що вам не потрібно вводити записи.
\(A^{-1} \cdot A=B \cdot A\)
\(A \cdot A^{-1}=A \cdot B\)
\(A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]=B \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]=B \cdot C\)
Потрібно створити матрицю\(C=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)
Можливість ефективного використання калькулятора повинна поліпшити ваше розуміння матриць і дозволити вам перевірити всю роботу, яку ви виконуєте вручну.
Матриця ідентичності буває власною зворотною. Знайдіть іншу матрицю, яка є власною зворотною.
Гельмерт придумав дуже розумну матрицю, яка виявляється своєю власною зворотною. Ось\(2 \times 2\) і\(3 \times 3\) версії.
\(\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\)
Знайдіть обернену кожної з наступних матриць, якщо це можливо. Не забудьте зробити деякі вручну, а деякі з калькулятором.
1. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)
2. \(\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)
3. \(\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
4. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
5. \(\left[\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 2 & -2\end{array}\right]\)
6. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 6 & 3\end{array}\right]\)
7. \(\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]\)
8. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 5 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array}\right]\)
9. \(\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 6 & 8 & 0\end{array}\right]\)
10. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 8 & 0\end{array}\right]\)
11. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & -12 \\ -1 & -5 & -2 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\)
12. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)
13. Показати, що\(2 \times 2\) матриця Гельмерта є власною зворотною:\(\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\)
14. Показати, що\(3 \times 3\) матриця Гельмерта є власною зворотною:\(\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\)
15. Неквадратні матриці іноді мають ліві зворотні, де\(A^{-1} \cdot A=I\), або праві зворотні, де\(A \cdot A^{-1}=I\). Чому неквадратні матриці не можуть мати «регулярні» зворотні?