Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.9 Зворотні матриці

  • Page ID
    54558
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Два числа є мультиплікативними оберненнями, якщо їх добуток дорівнює 1. Кожне число, крім числа 0, має мультиплікативний зворотний. Для матриць дві матриці є оберненнями один одного, якщо вони множаться на матрицю ідентичності.

    Які види матриць не мають інверсів?

    Інверси матриць

    Мультиплікативні інверси - це два числа або матриці, добуток яких один або матриця ідентичності. Розглянемо матрицю\(A\), яка має зворотну\(A^{-1}\). Як знайти матрицю,\(A^{-1}\) якщо у вас просто є матриця\(A\)?

    A=\ лівий [\ begin {масив} {ccc}

    1 & 2 & 3\\

    1 & 0 & 1\\

    0 & 2 & -1

    \ end {масив}\ право], A^ {-1} =?

    Відповідь полягає в тому, що ви збільшуєте матрицю\(A\) з ідентифікаційною матрицею та зменшення рядків.

    \(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(\begin{aligned} R_{1} \cdot-1+R_{2} & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ R_{2}+R_{3} & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] \\ R_{2} \div-2 & \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] \end{aligned}\)

    \(R_{3} \div-3 \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    \(R_{3} \cdot-3+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    \(R_{3} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    \(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    Матриця праворуч - це зворотна матриця\(A^{-1}\).

    \(A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    Дроби зазвичай неминучі при обчисленні інверсів.

    Одна з причин, чому інверси настільки потужні, полягає в тому, що вони дозволяють вирішувати системи рівнянь з тією ж логікою, що і ви вирішуєте одне лінійне рівняння. Розглянемо наступну систему, засновану на коефіцієнтах матриці\(A\) зверху.

    \(\begin{aligned} x+2 y+3 z &=96 \\ x+0 y+z &=36 \\ 0 x+2 y-z &=-12 \end{aligned}\)

    Записавши цю систему у вигляді матричного рівняння, ви отримаєте:

    \(\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    \(A \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    Якби це було нормальне лінійне рівняння, де у вас була постійна раз змінна дорівнює константі, ви б помножили обидві сторони на мультиплікативний зворотний коефіцієнт. Те ж саме зробіть в цьому випадку.

    \(A^{-1} \cdot A \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    Все, що залишилося, це для вас, щоб підставити в і виконати множення матриці, щоб отримати рішення.

    \(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3} \cdot 96+\frac{4}{3} \cdot 36+\frac{1}{3} \cdot(-12) \\ \frac{1}{6} \cdot 96-\frac{1}{6} \cdot 36+\frac{1}{3} \cdot(-12) \\ \frac{1}{3} \cdot 96-\frac{1}{3} \cdot 36-\frac{1}{3} \cdot(-12)\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12 \\ 6 \\ 24\end{array}\right]\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, які типи матриць не мають інверсів. Неквадратні матриці, як правило, не мають зворотних. Квадратні матриці, які мають детермінанти, рівні нулю, не мають зворотних.

    Приклад 2

    Знайдіть обернену наступну матрицю.

    \(\left[\begin{array}{cc}1 & 6 \\ 4 & 24\end{array}\right]\)

    \(\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & 24 & 0 & 1\end{array}\right]\)

    \(R_{1} \cdot-4+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ll|ll}1 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 1\end{array}\right]\)

    Ця матриця не є оборотною, оскільки її рядки не лінійно незалежні. Щоб перевірити, чи є квадратна матриця зворотною, перевірте, чи є детермінант нулем. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця не обертається, оскільки рядки не лінійно незалежні.

    Приклад 3

    Підтвердіть матрицю\(A\) і\(A^{-1}\) є зворотними шляхом обчислень\(A^{-1} \cdot A\) і\(A \cdot A^{-1}\).

    \(A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right], A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

    \(A^{-1} \cdot A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]\)

    \(a_{11}=-\frac{1}{3} \cdot 1+\frac{4}{3} \cdot 1+\frac{1}{3} \cdot 0=1\)

    \(a_{22}=\frac{1}{6} \cdot 2-\frac{1}{6} \cdot 0+\frac{1}{3} \cdot 2=1\)

    \(a_{33}=\frac{1}{3} \cdot 3-\frac{1}{3} \cdot 1-\frac{1}{3}(-1)=1\)

    Зверніть увагу, що інші записи виявляються нульовими. Це залишається для вас, щоб підтвердити.

    Приклад 4

    Використовуйте калькулятор для обчислення\(A^{-1}\), обчислення\(A^{-1} \cdot A\), обчислення\(A \cdot A^{-1}\) та обчислення

    \(A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    Почніть з введення просто матриці\(A\) в калькулятор.

    Для обчислення матриці\(A^{-1}\) використовуйте зворотну кнопку, запрограмовану в калькулятор. Не намагайтеся підняти матрицю до негативного показника. Це не вийде.

    Зверніть увагу, що калькулятор може повертати десяткові версії дробів і не покаже всю матрицю на її обмеженому дисплеї. Вам доведеться прокрутити вправо, щоб підтвердити, що\(A^{-1}\) відповідає тому, що ви вже знайшли. Після того, як ви знайшли,\(A^{-1}\) продовжуйте і зберігайте його як матрицю,\(B\) так що вам не потрібно вводити записи.

    \(A^{-1} \cdot A=B \cdot A\)

    \(A \cdot A^{-1}=A \cdot B\)

    \(A^{-1} \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]=B \cdot\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]=B \cdot C\)

    Потрібно створити матрицю\(C=\left[\begin{array}{c}96 \\ 36 \\ -12\end{array}\right]\)

    Можливість ефективного використання калькулятора повинна поліпшити ваше розуміння матриць і дозволити вам перевірити всю роботу, яку ви виконуєте вручну.

    Приклад 5

    Матриця ідентичності буває власною зворотною. Знайдіть іншу матрицю, яка є власною зворотною.

    Гельмерт придумав дуже розумну матрицю, яка виявляється своєю власною зворотною. Ось\(2 \times 2\) і\(3 \times 3\) версії.

    \(\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\)

    Рецензія

    Знайдіть обернену кожної з наступних матриць, якщо це можливо. Не забудьте зробити деякі вручну, а деякі з калькулятором.

    1. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)

    2. \(\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)

    3. \(\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)

    4. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)

    5. \(\left[\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 2 & -2\end{array}\right]\)

    6. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 6 & 3\end{array}\right]\)

    7. \(\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]\)

    8. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 5 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array}\right]\)

    9. \(\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 6 & 8 & 0\end{array}\right]\)

    10. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 8 & 0\end{array}\right]\)

    11. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & -12 \\ -1 & -5 & -2 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\)

    12. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)

    13. Показати, що\(2 \times 2\) матриця Гельмерта є власною зворотною:\(\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\)

    14. Показати, що\(3 \times 3\) матриця Гельмерта є власною зворотною:\(\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right]\)

    15. Неквадратні матриці іноді мають ліві зворотні, де\(A^{-1} \cdot A=I\), або праві зворотні, де\(A \cdot A^{-1}=I\). Чому неквадратні матриці не можуть мати «регулярні» зворотні?

    • Was this article helpful?