8.5 Операції з рядками та форми ешелону рядків
- Page ID
- 54534
Застосування рядкових операцій для зменшення матриці - це процедурний навик, який вимагає багато письма, перезапису та ретельної арифметики. Розплата за можливість перетворити матрицю в спрощену форму стане зрозумілою пізніше. На даний момент, що означає спрощена форма для матриці?
Заголовок рядків операцій і рядків ешелон форми
Є всього три операції, які дозволено впливати на матриці. Вони являють собою точно такі ж операції, які дозволені при вирішенні системи рівнянь.
Додайте кратний одному рядку до іншого рядка.
Масштабування рядка шляхом множення на ненульову константу.
Поміняти місцями два ряди.
Використовуючи ці три операції, ваша робота полягає в спрощенні матриць у формі ешелону рядків. Рядова форма ешелону повинна відповідати трьом вимогам.
1. Провідний коефіцієнт кожного ряду повинен бути одиницею.
2. Усі записи у стовпці нижче початкового повинні бути нульовими.
3. Всі рядки, які просто містять нулі, знаходяться в нижній частині матриці.
Ось кілька прикладів матриць у вигляді рядкового ешелону:
\(\left[\begin{array}{cc}1 & 14 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)
Зменшена форма ешелону ряду також має одне додаткове положення в порівнянні з формою ешелону рядка.
4. Кожен провідний коефіцієнт 1 повинен бути єдиним ненульовим елементом у цьому стовпці.
Ось кілька прикладів матриць у скороченому рядковому ешелоні:
\(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\)
Введення матриці в скорочену форму ешелону рядка є результатом виконання ліквідації Гауса-Йордана. Процес, проілюстрований у цій концепції, названий на честь цих двох математиків.
Щоб поставити матрицю в зменшену форму ешелону рядків, використовуйте операції рядків для зміни матриці. Візьмемо наступну матрицю:
\(\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)
На кожному кроці зменшення матриці буде використана лише одна з трьох рядкових операцій. Буде введена специфічна стенографія.
\(\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)
\(3 R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 6 & 15\end{array}\right]\)
\(-2 R_{1}+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}3 & 7 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
\(-7 R_{2}+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
\(\frac{1}{3} R \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, що\(3 R_{2}\) значення вказує на те, що другий рядок матриці масштабується на коефіцієнт\(3 .\) The\(-2 R_{1}+R_{2}\) перед третьою матрицею вказує на те, що другий рядок має два рази віднімається від нього перший рядок.
Рядок, що зменшує\(2 \times 2\) матрицю, щоб стати матрицею ідентичності, ілюструє той факт, що рядки вихідної матриці лінійно незалежні.
Приклади
Раніше вас запитали, що означає для спрощення матриці. Існує дві форми матриці, які найбільш спрощені. Найважливішим є зменшена форма ешелону ряду, яка слідує за чотирма положеннями з розділу керівництва. Прикладом матриці в скороченому вигляді ешелону рядків є:
\(\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 2 & 43 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 98 & 5\end{array}\right]\)
Покладіть наступну матрицю в зменшену форму ешелону рядка.
\(\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-\frac{1}{2}+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]\)
\(R_{3} \div 4 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{1} \div 2, R_{2} \div 3 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{3} \cdot-\frac{1}{3}+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, що дві операції були використані в четвертому рядку для отримання четвертої матриці. Це прийнятно, коли операції не заважають або не взаємодіють один з одним.
Знову ж таки, скорочення рядків\(3 \times 3\) матриці, щоб стати матрицею ідентичності - це лише вправа, яка ілюструє той факт, що рядки були лінійно незалежними.
Зменшіть наступну матрицю до зменшеної форми ешелону рядків.
\(\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 8\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{lll}0 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 8\end{array}\right]\)
Перемикач рядків\(\rightarrow\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right]\)
\(R_{1} \div 2 \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot \frac{1}{4} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4}\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-3+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{4}\end{array}\right]\)
Зменшіть наступну матрицю до форми ешелону рядків.
\(\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 2 & 4 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 2 & 4 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)
\(R_{1} \div 3, R_{2} \div 2 \rightarrow\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-1+R_{2} \rightarrow\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 5 & 17\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot-5+R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 7\end{array}\right]\)
Перемикач\(R_{2}\) і\(R_{3} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 7 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)
\(R_{2} \div 7 \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-2+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)
Зменшіть наступну матрицю до зменшеної форми ешелону рядків.
\(\left[\begin{array}{cccc}3 & 4 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{cccc}3 & 4 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{1} \cdot 5 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot 3 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 15 & -3 & 0 & 3\end{array}\right]\)
\(R_{2}-R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}15 & 20 & 5 & 0 \\ 0 & -23 & -5 & -3\end{array}\right]\)
\(R_{1} \div 15 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -23 & -5 & 3\end{array}\right]\)
\(R_{2} \div-23 \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{23} & -\frac{3}{23}\end{array}\right]\)
\(R_{2} \cdot-\frac{4}{3}+R_{1} \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & \frac{1}{23} & \frac{4}{23} \\ 0 & 1 & \frac{5}{23} & -\frac{3}{23}\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, як фракції були уникнені до останнього кроку. Додавання та віднімання великих чисел у матриці легше обробляти, ніж додавання та віднімання малих чисел, тому що тоді вам не потрібно знаходити спільний знаменник.
1. Наведіть приклад матриці в рядковій формі ешелону.
2. Наведіть приклад матриці у вигляді скороченого рядка ешелону.
3. Які три операції рядків вам дозволено виконувати при зменшенні матриці?
4. Якщо квадратна матриця зводиться до матриці ідентичності, що це означає про рядки вихідної матриці?
Використовуйте наступну матрицю для\(5-6\)
\(A=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -4 & -12 \\ 4 & 4 & 12 \\ -11 & -12 & -35\end{array}\right]\)
5. Зменшити матрицю\(A\) до форми ешелону рядків.
6. Зменшити матрицю\(A\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(A\) лінійно незалежні?
Використовуйте наступну матрицю для\(7-8\).
\(B=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right]\)
7. Зменшити матрицю\(B\) до форми ешелону рядків.
8. Зменшити матрицю\(B\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(B\) лінійно незалежні?
Використовуйте наступну матрицю для\(9-10 .\)
\(C=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & -1 & -1 \\ 3 & 6 & -3 & 1 \\ 6 & 12 & -7 & 0\end{array}\right]\)
9. Зменшити матрицю\(C\) до форми ешелону рядків.
10. Зменшити матрицю\(C\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(C\) лінійно незалежні?
Використовуйте наступну матрицю для\(11-12\).
\(D=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)
11. Зменшити матрицю\(D\) до форми ешелону рядків.
12. Зменшити матрицю\(D\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(D\) лінійно незалежні?
Використовуйте наступну матрицю для\(13-14\)
\(E=\left[\begin{array}{ccc}-5 & -6 & -12 \\ -1 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right]\)
13. Зменшити матрицю\(E\) до форми ешелону рядків.
14. Зменшити матрицю\(E\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(E\) лінійно незалежні?
Використовуйте наступну матрицю для\(15-16 .\)
\(F=\left[\begin{array}{ccc}-23 & 6 & 3 \\ 2 & -\frac{1}{2} & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)
15. Зменшити матрицю\(F\) до форми ешелону рядків.
16. Зменшити матрицю\(F\) до зменшеної форми ешелону рядків. Чи рядки матриці\(F\) лінійно незалежні?