8.3 Матриці для представлення даних
- Page ID
- 54543
Матриця являє собою прямокутний масив чисел, що представляють дані в самих різних формах. Комп'ютери дуже сильно працюють з матрицями, оскільки операції з матрицями ефективні з пам'яттю. Матриці можуть представляти статистичні дані з числами, а також графічні дані з картинками.
Як ви можете використовувати матрицю для написання наступного зображення як щось, що комп'ютер може розпізнати і працювати з?
Вступ до матриць
Матриця - це засіб ефективного та ефективного зберігання інформації. Рядки та стовпці означають щось дуже конкретне, а розташування числа так само важливо, як і його значення. Нижче наведено всі приклади матриць:
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right]\)
Записи в матриці можуть бути записані за допомогою дужок типу [], але їх також можна описати окремо, використовуючи набір з 2 індексних індексів\(i\)\(j\), які означають номер рядка та номер стовпця. Крім того, матриця може бути названа тільки з великої літери, як\(A\).
А =\(\left[a_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)
Квадратні матриці мають таку ж кількість рядків, як і стовпці. Порядок матриці описує кількість рядків і кількість стовпців у матриці. Наступна матриця, як кажуть, має порядок,\(2 \times 3\) оскільки вона має два рядки та три стовпці. \(1 \times 1\)Матриця - це просто звичайне число.
\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]\)
Симетрична матриця - це особливий тип квадратної матриці, яка має симетрію відображення по всій основній діагоналі. Матриця ідентичності є прикладом симетричної матриці.
Матриця ідентичності порядку\(n \times n\) має нулі скрізь, крім основної діагоналі, де вона має одиниці. Так само, як число 1 має важливу властивість з числами, ідентифікаційна матриця будь-якого порядку також має особливі властивості.
[1],\(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\)
Коли ви перетворюєте рядки матриці в стовпці нової матриці, дві матриці
транспозиції один одного. Верхній індекс\(T\) розшифровується як транспонувати. Іноді за допомогою
Транспонування матриці корисніше, ніж використання самої матриці.
\(\begin{array}{l} A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right] \\ A^{T}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right] \end{array}\)
Трикутна матриця - це не матриця у формі трикутника. Швидше, нижня трикутна матриця - це квадратна матриця, де кожен запис нижче діагоналі дорівнює нулю. Верхня трикутна матриця - це квадратна матриця, де кожен запис над діагоналлю дорівнює нулю. Далі наведена нижня трикутна матриця. Коли ви працюєте з розв'язуванням матриць, шукайте трикутні матриці, оскільки їх набагато легше вирішити.
\(\left[\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right]\)
Діагональна матриця як верхня, так і нижня трикутна, що означає, що всі записи, крім тих, що вздовж діагоналі, нуль. Матриця ідентичності є окремим випадком діагональної матриці.
Приклади
Раніше вас запитали, як ви можете використовувати матрицю для запису наступного зображення як щось, що комп'ютер може розпізнати і з чим працювати.
Записавши кожен порожнистий квадрат як 0, а порожній квадрат як 1, комп'ютер міг прочитати картинку:
Коли ви використовуєте комп'ютери для маніпулювання зображеннями, комп'ютер просто маніпулює цифрами. При цьому, якщо поміняти місцями нулі і одиниці, то вийде негативне зображення.
Реальні фотографії та комп'ютерні зображення мають матриці, які набагато більші та містять більше чисел, ніж просто нуль і один, щоб врахувати більше кольорів.
Кейт керує трьома пекарнями, і кожна пекарня продає бублики та кекси. Ряди представляють пекарні, а стовпчики - бублики (зліва) і мафіни (праворуч), що продаються. Дайте відповідь на наступні питання про продажі Кейт.
К=\(\left[\begin{array}{cc} 144 & 192 \\ 115 & 127 \\ 27 & 34\end{array}\right]\)
1. Що являє собою 127?
a. 127 представляє кількість кексів, які Кейт продала у своєму другому місці. Ви знаєте це тому, що він знаходиться в стовпчику здоби і другому ряду.
2. Скільки всього маффінів продала Кейт?
а Загальна кількість проданих кексів дорівнює сумі правої колонки. \(192+127+34=353\)
3. Скільки бубликів Кейт продала на своєму першому місці?
a Кейт продала 144 бублика на своєму першому місці.
4. Яке місце робить погано?
а Третя локація робить набагато гірше, ніж інші дві локації.
Визначте порядок наступних матриць
\(A=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 4 & 7\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}21 & 45 & 1 \\ 34 & 1 & 5\end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc}25 & 235 \\ 562 & 562 \\ 4 & 413 \\ 454 & 33 \\ 1 & 141\end{array}\right]\)
\(A\)є\(1 \times 4, B\)\(2 \times 3, C\) є\(5 \times 2\). Зверніть увагу, що\(4 \times 1,3 \times 2,2 \times 5\) не однакові замовлення і були б невірними.
Випишіть\(5 \times 4\) матрицю, записи якої\(a_{i j}=\frac{i+j}{j}\)
\(\left[\begin{array}{ccccc} 2 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & \frac{5}{4} & \frac{6}{5} \\ 3 & 2 & \frac{5}{3} & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} \\ 4 & \frac{5}{2} & 2 & \frac{7}{4} & \frac{8}{5} \\ 5 & 3 & \frac{7}{3} & 2 & frac{9}{5} \end{array}\right]\)
Створіть\(3 \times 3\) матрицю для кожного з наступних дій:
a. діагональна матриця
Можлива відповідь:
\(\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]\)
б. нижній трикутний
Можлива відповідь:
\(\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]\)
c. симетричний
Можлива відповідь
\(\left[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 14 \\ 1 & 14 & 5\end{array}\right]\)
d. ідентичність:
Відповідь:
\(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, що хоча матриця ідентичності технічно працює для всіх частин цієї проблеми, вона не виділяє відмінностей між кожним визначенням.
Викладіть порядок кожної з наступних матриць:
1. \(A=\left[\begin{array}{llll}4 & 2 & 4 & 7 \\ 5 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]\)
2. \(B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 34 & 1\end{array}\right]\)
3. \(C=\left[\begin{array}{cc}2 & 62 \\ 14 & 3 \\ 4 & 3 \\ 1 & 11\end{array}\right]\)
4. \(D=\left[\begin{array}{ccc}12 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0\end{array}\right]\)
5. \(E=\left[\begin{array}{ll}1 & 11\end{array}\right]\)
6. Наведемо приклад\(1 \times 1\) матриці.
7. Наведемо приклад\(3 \times 2\) матриці.
8. Якщо симетрична матриця також нижча трикутна, який тип матриці це?
9. Випишіть\(2 \times 3\) матрицю, записи якої є\(a_{i j}=i-j\).
Морган працював три тижні протягом літа, заробляючи гроші по понеділках, вівторках, середах, четвергах і п'ятницях. Наступна матриця представляє його заробіток.
\(\left[\begin{array}{lll} 24 & 22 & 32 \\ 25 & 28 & 30 \\ 30 & 28 & 32 \\ 10 & 15 & 19 \\ 35 & 32 & 30 \end{array}\right]\)
10. Що являють собою рядки і стовпці?
11. Скільки грошей заробив Морган за перший тиждень?
12. Скільки грошей заробляв Морган по вівторках?
13. Який день тижня був найприбутковішим?
14. Який день тижня був найменш прибутковим?
15. Наступна матриця? Поясніть.
\(\left[\begin{array}{cc} \text { dogs } & 0 \\ \text { cats } & 3 \\ \text { sheep } & 0 \\ \text { ducks } & 4 \end{array}\right]\)