8.7 Визначник матриць

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 8.10 Часткові дроби
- 8.8 Правило Крамера

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Детермінант - це число, обчислене з записів у квадратній матриці. Він має багато властивостей та інтерпретацій, які ви будете досліджувати в лінійній алгебрі. Це поняття орієнтовано на порядок обчислення детермінант. Як тільки ви знаєте, як обчислити детермінант $2 \times 2$ матриці, то ви зможете обчислити детермінант $3 \times 3$ матриці. Як тільки ви знаєте, як обчислити детермінант $3 \times 3$ матриці, ви можете обчислити детермінант a $4 \times 4$ і так далі.

Логічне питання про детермінанти - звідки береться процедура? Чому визначаються детермінанти таким чином, яким вони є?

Детермінант

Визначник матриці $A$ записується як $|A|$ . Для $2 \times 2$ $A$ матриці значення обчислюється так:

$\begin{aligned} A &=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \\ \operatorname{det} A &=|A|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \end{aligned}$

Якщо підставити цифри на букви і спробувати обчислити $\operatorname{det} A$ для $A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right]$ , то вийде:

$\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|=3 \cdot 5-2 \cdot 1=15-2=13$

Зверніть увагу, як діагоналі множаться, а потім віднімають.

Більш задіяний детермінант $3 \times 3$ матриці.

$B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]$

Зазвичай ви почнете з перегляду верхнього рядка, хоча будь-який рядок або стовпчик буде працювати. Потім використовуйте шаховий візерунок для знаків (показано нижче) і створіть $2 \times 2$ матриці поменше.

$\left[\begin{array}{ccc}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{array}\right]$

Менші $2 \times 2$ матриці - це записи, які залишаються, коли рядок і стовпчик коефіцієнта, з яким ви працюєте, ігноруються.

$\operatorname{det} B=|B|=+a \cdot\left|\begin{array}{cc}e & f \\ h & i\end{array}\right|-b \cdot\left|\begin{array}{cc}d & f \\ g & i\end{array}\right|+c \cdot\left|\begin{array}{cc}d & e \\ g & h\end{array}\right|$

Далі візьміть детермінант менших $2 \times 2$ матриць, і ви отримаєте довгий рядок обчислень.

$=+a(e i-f h)-b(d i-f g)+c(d h-e g)$

$=a e i-a f h-b d i+b f g+c d h-c e g$

$=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i$

Більшість людей не пам'ятає цю послідовність. Французький математик на ім'я Саррус продемонстрував чудовий пристрій для запам'ятовування обчислення визначника для $3 \times 3$ матриць. Перший крок - просто скопіювати перші два стовпці праворуч від матриці. Потім намалюйте три діагональні лінії, що йдуть вниз і вправо.

$B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]$

Зверніть увагу, що вони точно відповідають трьом позитивним термінам детермінанти, продемонстрованих вище. Далі малюємо три діагоналі, що йдуть вгору і вправо. Ці діагоналі точно відповідають трьом негативним чинам.

$\operatorname{det} B=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i$

Правило Сарруса не працює для детермінант матриць, які не мають порядку $3 \times 3$ .

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, звідки взялася процедура пошуку детермінант. Детермінанти для $2 \times 2$ матриць визначаються так, як вони є, завдяки загальному розв'язку системи з 2 змінних та 2 рівнянь.

$a x+b y=e$

$c x+d y=f$

Щоб усунути $x$ , масштабуйте перше рівняння по, $c$ а друге рівняння на a.

$\begin{aligned} a c x+b c y &=e c \\ a c x+a d y &=a f \end{aligned}$

Відніміть друге рівняння з першого і вирішіть для $y$ .

$\begin{aligned} a d y-b c y &=a f-e c \\ y(a d-b c) &=a f-e c \\ y &=\frac{a f-e c}{a d-b c} \end{aligned}$

При вирішенні за $x$ вас також $a d-b c$ потрапляє знаменник загального рішення. Ця закономірність змусила людей почати використовувати цю стратегію у вирішенні систем рівнянь. Визначник визначається таким чином, тому він завжди буде знаменником загального рішення будь-якої змінної.

Приклад 2

Знайдіть детермінант наступної матриці.

$C=\left[\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right]$

$\operatorname{det} C=\left|\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right|=12-12=0$

Приклад 3

Знайти $\operatorname{det} B$ для $B=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]$

$\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right|$

$=3(0 \cdot 5-2 \cdot 1)-2(5 \cdot 5-2 \cdot 2)+1(5 \cdot 1-2 \cdot 0)$

$=-6-42+5=-43$

Приклад 4

Знайдіть детермінант $B$ з прикладу B за допомогою правила Сарруса.

$\begin{array}{lllll}3 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 1\end{array}$

$\operatorname{det} B=0+8+5-0-6-50=-43$

Як бачите, правило Сарруса є ефективним, і більшу частину розрахунків можна зробити подумки. Крім того, нульові значення значно полегшують множення.

Приклад 5

Знайдіть детермінант наступної $4 \times 4$ матриці, ретельно вибравши рядок або стовпець для роботи.

$E=\left[\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right]$

Зверніть увагу, що третій стовпець складається з нулів і одиниці. Виберіть цей стовпець, щоб скласти коефіцієнти, тому що тоді замість того, щоб оцінювати детермінант чотирьох індивіда.

$3 \times 3$ матриці, вам потрібно зробити тільки одну.

$\left|\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right|=0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|$

$=4 \cdot(-3) \cdot 9+5 \cdot 3 \cdot(-3)+2 \cdot(-1) \cdot 2-18-24-(-45)$

$=-154$

Рецензія

Знайдіть детермінанти кожної з наступних матриць.

1. $\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right]$

2. $\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\ 2 & 5\end{array}\right]$

3. $\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$

4. $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$

5. $\left[\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 2 & -2\end{array}\right]$

6. $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 6 & 3\end{array}\right]$

7. $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]$

8. $\left[\begin{array}{ccc}4 & 5 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array}\right]$

9. $\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 6 & 8 & 0\end{array}\right]$

10. $\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 8 & 0\end{array}\right]$

11. $\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & -12 \\ -1 & -5 & -2 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]$

12. $\left[\begin{array}{ccc}-2 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]$

13. $\left[\begin{array}{cccc}2 & 6 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ -6 & 2 & 3 & 1\end{array}\right]$

14. $\left[\begin{array}{cccc}5 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 8 & 3 \\ 9 & 3 & 2 & 6 \\ -4 & 2 & 5 & 1\end{array}\right]$

15. Чи можете ви знайти детермінант для будь-якої матриці? Поясніть.

16. Наступна матриця має визначник нуль: $\left[\begin{array}{ll}6 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]$ . Якщо визначник матриці дорівнює нулю, що це говорить про рядки матриці?