8.7 Визначник матриць
- Page ID
- 54565
Детермінант - це число, обчислене з записів у квадратній матриці. Він має багато властивостей та інтерпретацій, які ви будете досліджувати в лінійній алгебрі. Це поняття орієнтовано на порядок обчислення детермінант. Як тільки ви знаєте, як обчислити детермінант\(2 \times 2\) матриці, то ви зможете обчислити детермінант\(3 \times 3\) матриці. Як тільки ви знаєте, як обчислити детермінант\(3 \times 3\) матриці, ви можете обчислити детермінант a\(4 \times 4\) і так далі.
Логічне питання про детермінанти - звідки береться процедура? Чому визначаються детермінанти таким чином, яким вони є?
Детермінант
Визначник матриці\(A\) записується як\(|A|\). Для\(2 \times 2\)\(A\) матриці значення обчислюється так:
\(\begin{aligned} A &=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \\ \operatorname{det} A &=|A|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \end{aligned}\)
Якщо підставити цифри на букви і спробувати обчислити\(\operatorname{det} A\) для\(A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right]\), то вийде:
\(\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|=3 \cdot 5-2 \cdot 1=15-2=13\)
Зверніть увагу, як діагоналі множаться, а потім віднімають.
Більш задіяний детермінант\(3 \times 3\) матриці.
\(B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]\)
Зазвичай ви почнете з перегляду верхнього рядка, хоча будь-який рядок або стовпчик буде працювати. Потім використовуйте шаховий візерунок для знаків (показано нижче) і створіть\(2 \times 2\) матриці поменше.
\(\left[\begin{array}{ccc}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{array}\right]\)
Менші\(2 \times 2\) матриці - це записи, які залишаються, коли рядок і стовпчик коефіцієнта, з яким ви працюєте, ігноруються.
\(\operatorname{det} B=|B|=+a \cdot\left|\begin{array}{cc}e & f \\ h & i\end{array}\right|-b \cdot\left|\begin{array}{cc}d & f \\ g & i\end{array}\right|+c \cdot\left|\begin{array}{cc}d & e \\ g & h\end{array}\right|\)
Далі візьміть детермінант менших\(2 \times 2\) матриць, і ви отримаєте довгий рядок обчислень.
\(=+a(e i-f h)-b(d i-f g)+c(d h-e g)\)
\(=a e i-a f h-b d i+b f g+c d h-c e g\)
\(=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i\)
Більшість людей не пам'ятає цю послідовність. Французький математик на ім'я Саррус продемонстрував чудовий пристрій для запам'ятовування обчислення визначника для\(3 \times 3\) матриць. Перший крок - просто скопіювати перші два стовпці праворуч від матриці. Потім намалюйте три діагональні лінії, що йдуть вниз і вправо.
\(B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, що вони точно відповідають трьом позитивним термінам детермінанти, продемонстрованих вище. Далі малюємо три діагоналі, що йдуть вгору і вправо. Ці діагоналі точно відповідають трьом негативним чинам.
\(\operatorname{det} B=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i\)
Правило Сарруса не працює для детермінант матриць, які не мають порядку\(3 \times 3\).
Приклади
Раніше вас запитали, звідки взялася процедура пошуку детермінант. Детермінанти для\(2 \times 2\) матриць визначаються так, як вони є, завдяки загальному розв'язку системи з 2 змінних та 2 рівнянь.
\(a x+b y=e\)
\(c x+d y=f\)
Щоб усунути\(x\), масштабуйте перше рівняння по,\(c\) а друге рівняння на a.
\(\begin{aligned} a c x+b c y &=e c \\ a c x+a d y &=a f \end{aligned}\)
Відніміть друге рівняння з першого і вирішіть для\(y\).
\(\begin{aligned} a d y-b c y &=a f-e c \\ y(a d-b c) &=a f-e c \\ y &=\frac{a f-e c}{a d-b c} \end{aligned}\)
При вирішенні за\(x\) вас також\(a d-b c\) потрапляє знаменник загального рішення. Ця закономірність змусила людей почати використовувати цю стратегію у вирішенні систем рівнянь. Визначник визначається таким чином, тому він завжди буде знаменником загального рішення будь-якої змінної.
Знайдіть детермінант наступної матриці.
\(C=\left[\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right]\)
\(\operatorname{det} C=\left|\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right|=12-12=0\)
Знайти\(\operatorname{det} B\) для\(B=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right|\)
\(=3(0 \cdot 5-2 \cdot 1)-2(5 \cdot 5-2 \cdot 2)+1(5 \cdot 1-2 \cdot 0)\)
\(=-6-42+5=-43\)
Знайдіть детермінант\(B\) з прикладу B за допомогою правила Сарруса.
\(\begin{array}{lllll}3 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 1\end{array}\)
\(\operatorname{det} B=0+8+5-0-6-50=-43\)
Як бачите, правило Сарруса є ефективним, і більшу частину розрахунків можна зробити подумки. Крім того, нульові значення значно полегшують множення.
Знайдіть детермінант наступної\(4 \times 4\) матриці, ретельно вибравши рядок або стовпець для роботи.
\(E=\left[\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right]\)
Зверніть увагу, що третій стовпець складається з нулів і одиниці. Виберіть цей стовпець, щоб скласти коефіцієнти, тому що тоді замість того, щоб оцінювати детермінант чотирьох індивіда.
\(3 \times 3\)матриці, вам потрібно зробити тільки одну.
\(\left|\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right|=0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|\)
\(=4 \cdot(-3) \cdot 9+5 \cdot 3 \cdot(-3)+2 \cdot(-1) \cdot 2-18-24-(-45)\)
\(=-154\)
Знайдіть детермінанти кожної з наступних матриць.
1. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)
2. \(\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)
3. \(\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
4. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
5. \(\left[\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 2 & -2\end{array}\right]\)
6. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 6 & 3\end{array}\right]\)
7. \(\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]\)
8. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 5 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array}\right]\)
9. \(\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 6 & 8 & 0\end{array}\right]\)
10. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 8 & 0\end{array}\right]\)
11. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & -12 \\ -1 & -5 & -2 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\)
12. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)
13. \(\left[\begin{array}{cccc}2 & 6 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ -6 & 2 & 3 & 1\end{array}\right]\)
14. \(\left[\begin{array}{cccc}5 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 8 & 3 \\ 9 & 3 & 2 & 6 \\ -4 & 2 & 5 & 1\end{array}\right]\)
15. Чи можете ви знайти детермінант для будь-якої матриці? Поясніть.
16. Наступна матриця має визначник нуль:\(\left[\begin{array}{ll}6 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]\). Якщо визначник матриці дорівнює нулю, що це говорить про рядки матриці?