1.4:1.4 Домен і діапазон

Проаналізувати засоби розглядати методично і детально. Одним із способів аналізу функцій є перегляд можливих входів (домен) та можливих виходів (діапазон). Які з основних функцій мають обмежені домени і чому?

Домен і діапазон

Позначення

Домен і діапазон описуються в інтервальних позначеннях. Дужки, (), означають невключно. Дужки, [], означають включно. Наступні описи чисел в інтервальні позначення були перетворені в інтервальні позначення.

1. Всі номери.
$(-\infty, \infty)$Примітка: Дужки завжди використовуються з нескінченністю.

2. Всі від'ємні числа, не включаючи 0.

$(-\infty, 0)$

3. Всі позитивні числа, включаючи 0.
$[0, \infty)$

4. Кожне число від 1 до 4, включаючи 1 і 4.
[1,4]

5. Кожне число між 5 і 6, не включаючи 5 або 6.

(5, 6)

6. Цифри з 1 по 2, включаючи 1, але не включаючи 2, і цифри від
10 до 25, включаючи як 10, так і 25

[1,2)$\cup[10,25]$

Примітка:$\cup$ Символ означає Союз і відноситься до того, що якщо в цьому союзі$x$ є якесь число, то воно або в першій групі, або воно знаходиться в другій групі. Цей символ асоціюється з оператором OR. Хоча це правда, що символ Союзу, здається, об'єднує одну групу та іншу групу, символ І - це$\cap$ означає перетин. Перетин відрізняється від об'єднання тим, що перетин означає всі числа, які одночасно знаходяться як в першій групі, так і в другій групі.

Домен і обмежений домен

Домен - це можливі входи у функцію. Багато функцій дозволяють вводити будь-які числа. Сюди входять числа, які є додатними, негативними, нульовими, дроби або десяткові. Функція квадратування$y=x^{2}$ - приклад, який має область всіх можливих дійсних чисел. Три функції мають дуже специфічні обмеження:

Функція квадратного кореня: Обмеження$y=\sqrt{x}$
домену:$x \geq 0$

Це пов'язано з тим, що квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом. Це обмеження можна спостерігати на графіку, оскільки крива закінчується в точці (0,0) і не визначається ніде, де$x$ негативна.

Функція журналу визначається лише для чисел, які строго більші за нуль. Це тому, що логарифмічна функція - це інший спосіб запису показників. Однією з властивостей показників є те, що будь-яке додатне число, підняте до будь-якої потужності, ніколи не призведе до негативного числа або нуля. Обмеження можна спостерігати на графіку по тому, як функція log наближається до вертикальної лінії$x=0$ і стріляє вниз до нескінченності.

Зворотна функція: Обмеження$y=\frac{1}{x}$
домену:$x \neq 0$

Зворотна функція обмежена, оскільки ви не можете розділити числа нануль. Будь-які$x$ значення, які роблять знаменником функції нуль, знаходяться поза межами області. Це обмеження можна спостерігати на графіку тим, як зворотна функція ніколи не стосується вертикальної лінії$x=0$.

Діапазон

Діапазон - це можливі виходи функції. Практично будь-яка функція може виробляти будь-який вихід за допомогою перетворень, і тому визначення діапазону функції значно менш процедурно, ніж визначення області. Використовуйте те, що ви знаєте про форму кожної функції та їх рівняння, щоб вирішити, які$y$ значення можна отримати, а які$y$ значення неможливо створити.

Пошук домену та діапазону

Домен і діапазон для графіка вище:

Домен:$x \in[-3,2]$

Діапазон:$y \in[-2,3]$

Зверніть увагу, що$\in$ символ означає «є елементом» і означає, що$x$ або$y$ знаходиться в цьому інтервалі, а числа в інтервалі завжди записуються в порядку збільшення. [3, -2] вважається неправильним.

Зверніть увагу, що навіть незважаючи на те, що [-3,2] може виглядати схожим на впорядковану пару, яка представляє точку, де$x=-3$ і$y=2,$ це не так. І -3, і 2 є$x$ значеннями. Це оману, чому ви завжди повинні писати,$x \in$ тому що це нагадує вам про цей факт. Багато людей дуже плутаються, коли бачать щось подібне,$x \in(-2,1)$ тому що бачать дужки і відразу бачать точку, коли вони повинні побачити інтервал на$x$ осі.

На графіку нижче є дві різні частини функції.

Домен і діапазон для графіка вище:

Домен:$x \in[-3,-1) \cup[0,3)$

Діапазон:$y \in[-2, \infty)$

Функція, здається, наближається до вертикальної лінії, фактично$x=-1$ не досягаючи її, використовується$s 0$ відкрита дужка. Крім того, порожня діра в точці$(3,$ 1), тому домен виключає$x$ значення 3.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, які основні функції мають обмежені домени. Три функції, які мають обмежені домени, - це функція квадратного кореня, функція журналу та зворотна функція. Функція квадратного кореня має обмежений домен, оскільки ви не можете взяти квадратні корені від'ємних чисел і створювати дійсні числа. Функція журналу обмежена, оскільки функція журналу не визначена для роботи з недодатними числами. Реципрокна функція обмежена, оскільки числа, ділені на нуль, не визначені.

Приклад 2

Визначте домен і діапазон наступної функції, записаної в таблицю:

Конкретне рівняння функції може бути прихованим, але з таблиці можна визначити область і діапазон безпосередньо зі$y$ значень$x$ і. Можливо, буде спокусливо здогадатися, що інші значення потенційно можуть працювати в таблиці, особливо якщо шаблон очевидний, але це не те питання, яке запитує, якою може бути функція. Замість цього питання просто запитує, що таке заявлений домен і діапазон.

Домен:$x \in\left\{0,1,2, \frac{1}{2}, \pi\right\}$

Діапазон:$y \in\left\{5,6,7, \frac{\pi}{2}\right\}$

Зверніть увагу, що два 6, які з'являються в таблиці, не потрібно писати двічі в діапазоні.

Приклад 3

Визначте область наступних трьох перетворених функцій.

1. $y=10 \sqrt{2-x}-3$

Аргумент функції повинен бути більше або дорівнює 0.

$\begin{aligned} 2-x & \geq 0 \\-x & \geq-2 \\ x & \leq 2 \end{aligned}$

Домен:$x \in(-\infty, 2]$

2. $y=\frac{3 x}{x^{2}+7 x+12}$

Знаменник не може бути рівним$0 .$ Спочатку знайдіть, які значення$x$ зробили б рівним нулю, а потім ви можете виключити ці значення.

$\begin{aligned} x^{2}+7 x+12 &=0 \\(x+4)(x+3) &=0 \\ x &=-4,-3 \end{aligned}$

Домен:$x \in(-\infty,-4) \cup(-4,-3) \cup(-3, \infty)$

3. $y=-4 \ln (3 x-9)+11$

Аргумент повинен бути строго більше 0.

$3 x-9>0$
$3 x>9$
$x>3$

Домен:$x \in(3, \infty)$

Приклад 4

Що таке домен і діапазон синусоїди?

Домен:$x \in(-\infty, \infty)$

Діапазон:$y \in[-1,1]$

Рецензія

Перетворіть наведені нижче описи чисел в інтервальні позначення.

1. Всі позитивні числа, не включаючи 0.

2. Кожне число між -1 і 1, включаючи -1, але не 1.

3. Кожне число між 1 і 5, не включаючи 2 або 3, але включаючи 1 і 5.

4. Кожне число більше 5, не включаючи 5.

5. Всі дійсні числа, крім 1.

Переведіть наступні нерівності в інтервальні позначення.

6. $-4<x \leq 5$
7. $x>0$
8. $-\infty<x \leq 4$або$5<x<\infty$

9.

10.

З огляду на заявлений домен і діапазон, намалюйте можливий графік.

11. Домен:$x \in[0, \infty)$ Діапазон:$y \in(-2,2]$

12. Домен:$x \in[-4,1) \cup(1, \infty)$ Діапазон:$y \in(-\infty, \infty)$

13. З огляду на таблицю, знайдіть домен і діапазон.

Знайдіть домен для наступних функцій.

14. $y=-3 \sqrt{x+4}-1$
$y=\frac{7}{x+6}-1$
16. $y=5 \ln \left(x^{2}-1\right)+4$