Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.10:1.10 Безперервність і розрив

  • Page ID
    54460
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Безперервність - це властивість функцій, які можна намалювати, не піднімаючи олівець. Деякі функції, як і зворотні функції, мають дві окремі частини, які не пов'язані між собою. Функції, які не пов'язані, є переривчастими. Які три способи функції можуть бути переривчастими і як вони виникають?

    Неперервність і розрив функцій

    Функції, які можна намалювати, не піднімаючи олівець, називаються безперервними функціями. Ви визначите безперервний більш математично суворим способом після вивчення обмежень.

    Існує три типи розривів: знімний, стрибок і нескінченний.

    Знімні розриви

    Знімні розриви виникають, коли раціональна функція має множник з a\(x\), який існує як в чисельнику, так і в знаменнику. Знімні розриви показані на графіку порожнистим колом, який також відомий як отвір. Нижче наведено графік для\(f(x)=\frac{(x+2)(x+1)}{x+1} .\) Зверніть увагу, що він виглядає так само, як\(y=x+2\) за винятком отвору на\(x=-1\). Під час графічної функції, ви повинні скасувати знімний коефіцієнт, графік, як зазвичай, а потім вставити отвір у відповідне місце в кінці. Є дірка в\(x=-1\) тому, що коли\(x=-1, f(x)=\frac{0}{0}\).

    clipboard_eddc1694ad9fab95ebd4a7fb3d6a052c9.png

    Знімні розриви можна «заповнити», якщо зробити функцію кусковою функцією і визначити частину функції в точці, де знаходиться отвір. У наведеному вище прикладі, щоб зробити\(f(x)\) безперервним, ви можете перевизначити його як:

    \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}, & x \neq-1 \\ 1, & x=-1\end{array}\right.\)

    Стрибок розривів

    Розриви стрибків відбуваються, коли функція має два кінці, які не зустрічаються, навіть якщо отвір заповнений. Для того, щоб задовольнити тест вертикальної лінії та переконатися, що графік справді є функцією, можна заповнити лише одну з кінцевих точок. Нижче наведено приклад функції з розривом стрибка.

    clipboard_e0b7c6e497e0dcda5dcbef95cdbf716a1.png

    Нескінченні розриви

    I нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це показано на графіку функції нижче\(x=1\).

    clipboard_e325e49483a9f11c826354bad7f76a6c8.png

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, як функції можуть бути переривчастими. Існує три способи, за якими функції можуть бути розривними. Коли раціональна функція має вертикальну асимптоту в результаті того, що знаменник дорівнює нулю в певній точці, вона матиме нескінченний розрив у цій точці. Коли чисельник і знаменник раціональної функції мають один або кілька однакових факторів, будуть знімні розриви, відповідні кожному з цих факторів. Нарешті, коли різні частини кускової функції не «збігаються», відбудеться стрибок розриву.

    Приклад 2

    Визначте розрив кускової функції графічно.

    \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-4 & x<1 \\ -1 & x=1 \\ -\frac{1}{2} x+1 & x>1\end{array}\right.\)

    clipboard_e1218ef6a355db5c7c264f4ae3461db14.png

    Відбувається стрибок розриву при\(x=1\). Кусково функція описує функцію з трьох частин; парабола зліва, одна точка посередині та лінія праворуч.

    Приклад 3

    Опишіть безперервність або розрив функції\(f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)\).

    clipboard_ecce67afa0039e311ed214eaafe7036a1.png

    Функція, здається, коливається нескінченно, коли\(x\) наближається до нуля. Одна річ, яку графік не може показати, це те, що 0 явно не в області. Графік не стріляє до нескінченності, а також не має простого отвору або розриву стрибка. Обчислення та реальний аналіз потрібні для більш точного визначення того, що відбувається.

    Приклад 4

    Опишіть розриви функції нижче.


    clipboard_ea43ad48f2388c0648c597336c25d5256.png

    Відбувається стрибок розриву при\(x=-1\) і нескінченний розрив при\(x=2\).

    Приклад 5

    Опишіть розриви функції нижче.


    clipboard_e01ccadb0aef17b6ea4fed7b8d5d0942c.png

    Є стрибки розривів при\(x=-2\) і\(x=4\). Відбувається знімний розрив при\(x=2\). Відбувається нескінченний розрив при\(x=0\).

    Рецензія

    Опишіть будь-які розриви в функціях нижче:

    1. \(y=x\)

    clipboard_e4555326db66e0628a53a734fe0f344a5.png

    2. \(y=x^{2}\)

    clipboard_e4cc3b77aca6f148868294113e18357ea.png

    3. \(y=x^{3}\)

    clipboard_e00a8469609f1f0fcf0ab62b55d639909.png

    4. \(y=\sqrt{x}\)

    clipboard_e2440769cf01dd6fd1e99de5fcaf9ea0e.png

    5. \(y=\frac{1}{x}\)

    clipboard_e281effa80f91f7cdcb413ad1c614ff50.png

    6. \(y=e^{x}\)

    clipboard_ed768480b891ec6b32c40f25033a1df76.png

    7. \(y=\ln (x)\)

    clipboard_ec565be10a6553e261b450a411964ebff.png

    8. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    clipboard_e390fcda742927ab5303ae7d54bf52845.png

    9.

    clipboard_e43c9a7f2da709494b164ef6b5905d557.png

    10.

    clipboard_ea2689e7548127ef1daceb161078c4acb.png

    11.

    clipboard_e0590afffa3d699680c53ad47b080a6f6.png

    12. \(f(x)\)має стрибок розриву при\(x=3\), знімний розрив при\(x=5\), і інший стрибок розриву при\(x=6\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(f(x)\).

    13. \(g(x)\)має стрибок\(x=-2,\) розриву при нескінченному розриві в\(x=1,\) і інший стрибок розриву при\(x=3\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(g(x)\).

    14. \(h(x)\)має знімний розрив при\(x=-4,\) стрибку розриву при\(x=1\), а інший стрибок розриву при\(x=7\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(h(x)\).

    15. \(j(x)\)має нескінченний розрив при\(x=0,\) знімному розриві в\(x=1\), і стрибок розриву при\(x=4 .\) Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(j(x)\).

    c