1.10:1.10 Безперервність і розрив
- Page ID
- 54460
Безперервність - це властивість функцій, які можна намалювати, не піднімаючи олівець. Деякі функції, як і зворотні функції, мають дві окремі частини, які не пов'язані між собою. Функції, які не пов'язані, є переривчастими. Які три способи функції можуть бути переривчастими і як вони виникають?
Неперервність і розрив функцій
Функції, які можна намалювати, не піднімаючи олівець, називаються безперервними функціями. Ви визначите безперервний більш математично суворим способом після вивчення обмежень.
Існує три типи розривів: знімний, стрибок і нескінченний.
Знімні розриви
Знімні розриви виникають, коли раціональна функція має множник з a\(x\), який існує як в чисельнику, так і в знаменнику. Знімні розриви показані на графіку порожнистим колом, який також відомий як отвір. Нижче наведено графік для\(f(x)=\frac{(x+2)(x+1)}{x+1} .\) Зверніть увагу, що він виглядає так само, як\(y=x+2\) за винятком отвору на\(x=-1\). Під час графічної функції, ви повинні скасувати знімний коефіцієнт, графік, як зазвичай, а потім вставити отвір у відповідне місце в кінці. Є дірка в\(x=-1\) тому, що коли\(x=-1, f(x)=\frac{0}{0}\).
Знімні розриви можна «заповнити», якщо зробити функцію кусковою функцією і визначити частину функції в точці, де знаходиться отвір. У наведеному вище прикладі, щоб зробити\(f(x)\) безперервним, ви можете перевизначити його як:
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}, & x \neq-1 \\ 1, & x=-1\end{array}\right.\)
Стрибок розривів
Розриви стрибків відбуваються, коли функція має два кінці, які не зустрічаються, навіть якщо отвір заповнений. Для того, щоб задовольнити тест вертикальної лінії та переконатися, що графік справді є функцією, можна заповнити лише одну з кінцевих точок. Нижче наведено приклад функції з розривом стрибка.
Нескінченні розриви
I нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це показано на графіку функції нижче\(x=1\).
Приклади
Раніше вас запитали, як функції можуть бути переривчастими. Існує три способи, за якими функції можуть бути розривними. Коли раціональна функція має вертикальну асимптоту в результаті того, що знаменник дорівнює нулю в певній точці, вона матиме нескінченний розрив у цій точці. Коли чисельник і знаменник раціональної функції мають один або кілька однакових факторів, будуть знімні розриви, відповідні кожному з цих факторів. Нарешті, коли різні частини кускової функції не «збігаються», відбудеться стрибок розриву.
Визначте розрив кускової функції графічно.
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-4 & x<1 \\ -1 & x=1 \\ -\frac{1}{2} x+1 & x>1\end{array}\right.\)
Відбувається стрибок розриву при\(x=1\). Кусково функція описує функцію з трьох частин; парабола зліва, одна точка посередині та лінія праворуч.
Опишіть безперервність або розрив функції\(f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)\).
Функція, здається, коливається нескінченно, коли\(x\) наближається до нуля. Одна річ, яку графік не може показати, це те, що 0 явно не в області. Графік не стріляє до нескінченності, а також не має простого отвору або розриву стрибка. Обчислення та реальний аналіз потрібні для більш точного визначення того, що відбувається.
Опишіть розриви функції нижче.
Відбувається стрибок розриву при\(x=-1\) і нескінченний розрив при\(x=2\).
Опишіть розриви функції нижче.
Є стрибки розривів при\(x=-2\) і\(x=4\). Відбувається знімний розрив при\(x=2\). Відбувається нескінченний розрив при\(x=0\).
Рецензія
Опишіть будь-які розриви в функціях нижче:
1. \(y=x\)
2. \(y=x^{2}\)
3. \(y=x^{3}\)
4. \(y=\sqrt{x}\)
5. \(y=\frac{1}{x}\)
6. \(y=e^{x}\)
7. \(y=\ln (x)\)
8. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)
9.
10.
11.
12. \(f(x)\)має стрибок розриву при\(x=3\), знімний розрив при\(x=5\), і інший стрибок розриву при\(x=6\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(f(x)\).
13. \(g(x)\)має стрибок\(x=-2,\) розриву при нескінченному розриві в\(x=1,\) і інший стрибок розриву при\(x=3\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(g(x)\).
14. \(h(x)\)має знімний розрив при\(x=-4,\) стрибку розриву при\(x=1\), а інший стрибок розриву при\(x=7\). Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(h(x)\).
15. \(j(x)\)має нескінченний розрив при\(x=0,\) знімному розриві в\(x=1\), і стрибок розриву при\(x=4 .\) Намалюйте малюнок графіка, який міг би бути\(j(x)\).
c