Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.9:1.9 Асимптоти та кінцева поведінка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54459

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Більшість функцій продовжуються за межами вікна перегляду в нашому калькуляторі або комп'ютері. Люди часто малюють стрілку поруч з пунктирною лінією, щоб конкретно позначити візерунок. Як можна розпізнати ці асимптоти?

    Асимптоти та кінцева поведінка функцій

    Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія,\(x=1\) яка вказує на те, де функція не визначена і все ж стає нескінченно близькою до.

    Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, така як\(y=4\), яка вказує на те, де функція згладжується, коли\(x\) стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.

    Реципрокна функція має два асимптоти, один вертикальний і один горизонтальний. Більшість комп'ютерів та калькуляторів не малюють асимптоти, тому їх потрібно вставляти вручну у вигляді пунктирних ліній.

    clipboard_e899913ab6765b5b54406240f10b0ff4e.png

    Багато студентів мають помилкове уявлення про те, що асимптота - це лінія, до якої функція стає нескінченно близькою, але не торкається. Це неправда. Візьміть наступну функцію:


    clipboard_e08a455d31dee9d80ddd9a586ddffdba5.png

    Графік, здається, згладжується,\(x\) коли зростає більше. Таким чином, горизонтальна асимптота\(y=0\) навіть при тому, що функція чітко проходить через цю лінію нескінченну кількість разів.

    Причина, чому асимптоти важливі, полягає в тому, що коли ваша перспектива збільшена, асимптоти по суті стають графом.

    clipboard_e3ae0d4b92cabb4924f8d3be91864dd57.png

    Щоб знайти асимптоти та кінцеву поведінку функції нижче, вивчіть, що відбувається\(x\) і коли\(y\) вони збільшуються або зменшуються.

    clipboard_e999fa6d3366a83494f1532555bdbf3f7.png

    Функція має горизонтальну асимптоту,\(y=2\) як\(x\) наближається до негативної нескінченності. Виникає вертикальна асимптота при\(x=0\). Права сторона, здається, зменшується назавжди і не має асимптоти.

    Зверніть увагу, що похилі асимптоти існують і називаються косими асимптотами.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, як визначити асимптоти на графіку. Асимптоти, написані від руки, зазвичай ідентифікуються пунктирними лініями поруч з функцією, які вказують, як функція буде вести себе поза вікном перегляду. Рівняння цих вертикальних і горизонтальних пунктирних ліній мають вигляд\(x\) =___ і\(y\) =____. Коли задачі просять вас знайти асимптоти функції, вони запитують рівняння цих горизонтальних і вертикальних ліній.

    Приклад 2

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної функції.

    clipboard_efd73b668306b88aa1d5e4a7a3ca2e3c4.png

    Виникає вертикальна асимптота при\(x=0\). Як\(x\) стає нескінченно маленьким, існує горизонтальна асимптота при\(y=-1\). Як\(x\) стає нескінченно великим, є ще одна горизонтальна асимптота в\(y=1\).

    Приклад 3

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної функції.

    clipboard_e6c69435b9892fb65f3c02cd654e65123.png

    Існує вертикальна асимптота при\(x=2 .\) Як\(x\) стає нескінченно малим, є горизонтальна асимптота при\(y=-1\). Як\(x\) стає нескінченно великим, існує горизонтальна асимптота при\(y=1\).

    Приклад 4

    Визначте горизонтальні та вертикальні асимптоти наступної кускової функції:

    \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}-1 & x \leq 0 \\ \sin x & 0<x\end{array}\right.\)

    clipboard_e2f42cc0c8b77b361adb5ceabca67d91a.png

    Існує горизонтальна асимптота при тому\(y=-1\), що\(x\) стає нескінченно малим. Це відбувається тому, що\(e\) підняте до влади дуже маленьке число стає\(0.000000 \ldots\) і в основному стає нулем.

    Приклад 5

    Визначте асимптоти та кінцеву поведінку наступної функції.

    clipboard_ec3132bc9a8d7482e26a93089b6d61b08.png

    Виникає вертикальна асимптота при\(x=0\). Поведінка кінця правої та лівої частини цієї функції не збігається. Горизонтальна\(y=0\) асимптота як\(x\) наближається до негативної нескінченності, а горизонтальна асимптота як\(x\) наближається до позитивної нескінченності.\(y=4 .\) На цьому етапі ви можете оцінити ці висоти лише тому, що вам не дали функції або інструменти для аналітичного пошуку цих значень.

    Рецензія

    Визначте асимптоти та кінцеву поведінку наступних функцій.]

    1. \(y=x\)

    clipboard_e630b24e33eb657b10bf8f5dbfccd2390.png

    2. \(y=x^{2}\)

    clipboard_e69ab94386f37de0f2d72df56e403005d.png

    3. \(y=x^{3}\)

    clipboard_ec779c8593a9ad11257bec562eeea9a79.png

    4. \(y=\sqrt{x}\)

    clipboard_ea17a47cf50f8797de1639c8692a6bfc9.png

    5. \(y=\frac{1}{x}\)

    clipboard_e985e49ae7cf2b24f1676e8822976e8ad.png

    6. \(y=e^{x}\)

    clipboard_e23232b51c30563fb52209ea9ffb912d0.png

    7. \(y=\ln (x)\)

    clipboard_e47584791bb71c5c5f6818055008e9fb1.png

    8. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    clipboard_e75b60354c888188bfd8c7001494a86e3.png

    9.

    clipboard_e1f37a20b3d1147a0cd335d3655c17f42.png

    10.

    clipboard_e28b50a420c72fa04978cc531ef4d8d88.png

    11.

    clipboard_ea925e29446ed8bb37ea37e4e367fef01.png

    12. Вертикальні асимптоти виникають при\(x\) значеннях, де функція не визначена. Поясніть, чому має сенс, що\(y=\frac{1}{x}\) має вертикальну асимптоту в\(x=0\).

    13. Вертикальні асимптоти виникають при\(x\) значеннях, де функція не визначена. Поясніть, чому має сенс, що\(y=\frac{1}{x+3}\) має вертикальну асимптоту в\(x=-3\).

    14. Використовуйте техніку з попередньої задачі для визначення вертикальної асимптоти функції\(y=\frac{1}{x-2}\)

    15. Використовуйте техніку з задачі #13 для визначення вертикальної асимптоти функції\(y=\frac{2}{x+4}\)

    c