Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1:1.1 Функціональні сім'ї

  • Page ID
    54482
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функції бувають різних форм. Деякі дуже тісно пов'язані між собою, а інші дуже різні, але часто плутають. Наприклад, в чому різниця між\(x^{2}\) і\(2^{x}\)? Вони обидва мають\(x\) і 2, і вони обидва рівні 4 коли\(x=2\), але один в кінцевому підсумку стає набагато більше, ніж інший.

    Сімейства функцій

    Якщо математики - кухарі, то сімейства функцій є їх інгредієнтами. Кожне сімейство функцій має свій колорит і індивідуальність. Перш ніж навчитися комбінувати функції для створення нескінченної кількості потенційних моделей, необхідно отримати чітке уявлення про назву кожного сімейства функцій і як воно діє.

    Функція ідентичності:\(f(x)=x\)

    clipboard_e95148828585792c4f7178ee2edd37339.png

    Функція ідентичності є найпростішою функцією, а всі прямі є перетвореннями сімейства функцій ідентичності.

    Функція квадратури:\(f(x)=x^{2}\)

    clipboard_e54e69ba9db902377aa07cc9dc3d204ff.png

    Функція квадратури (квадратична функція) прийнято називати параболою і корисна для моделювання руху падаючих предметів. Всі параболи є перетвореннями цієї квадратної функції.

    Функція кубінгу:\(f(x)=x^{3}\)

    clipboard_e3ce91a85a649c432e990119c948ce127.png

    Функція кубінгу має інший вид симетрії, ніж функція квадратури. Оскільки обсяг вимірюється в кубічних одиницях, багато додатків фізики використовують кубічну функцію.

    Функція квадратного кореня:\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

    clipboard_eeb9d13bd3ffeb09baf0f5f67add5adbf.png

    Функція квадратного кореня не визначена над усіма дійсними числами. Він вводить можливість комплексних чисел, а також тісно пов'язаний з функцією квадратування.

    Зворотна функція:\(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\)

    clipboard_e610f6e8195bbc3bbfaf98b2c81599c88.png

    Реципрокна функція також відома як гіпербола і раціональна функція. Він має дві частини, які роз'єднані і не визначені на нулі. Прості електричні схеми моделюються з зворотною функцією.

    Поки що всі функції можуть бути згруповані разом у ще більшу сімейство функцій, яка називається сімейством функцій влади.

    Сімейство функцій живлення:\(f(x)=c x^{a}\)

    Сімейство функцій харчування має два параметри. Параметр\(c\) являє собою вертикальний масштабний коефіцієнт. Параметр\(a\) керує всім, що стосується форми. Причина, чому всі функції досі є підмножинами більшого сімейства функцій потужності, полягає в тому, що вони відрізняються лише своїм значенням\(a\). Сімейство функцій живлення також показує вам, що існує нескінченна кількість інших функцій, таких як квартики\(\left(f(x)=x^{4}\right)\) та квінтики\(\left(f(x)=x^{5}\right)\), які насправді не потребують цілої категорії. Сімейство силових функцій може бути розширено для створення поліномів і раціональних функцій.

    Сімейство експоненціальних функцій:\(f(x)=e^{x}\)

    clipboard_e0d560c35c3a89f03005bd9469662cd62.png

    Сімейство експоненціальних функцій є однією з перших функцій, які ви бачите, де не\(x\) є базою показника. Ця функція з часом зростає набагато швидше, ніж будь-яка силова функція. \(f(x)=2^{x}\)є дуже поширеною експоненціальною функцією, а також. Багато програм, таких як біологія та фінанси, вимагають використання експоненціального зростання.

    Функція логарифма:\(f(x)=\ln x\)

    clipboard_e6c2de4fdb7b2497a1084a740b9c1492c.png

    Логарифмічна функція тісно пов'язана з сімейством експоненціальних функцій. Багато людей плутають графік функції log з функцією квадратного кореня. Ретельний аналіз покаже кілька важливих відмінностей. Функція журналу є основою для шкали Ріхтера, яка полягає в тому, як вимірюються землетруси.

    Сімейство періодичних функцій:\(f(x)=\sin x\)

    clipboard_e43d146e1762f93e76e515ce9c206f4a5.png

    Синусоїдальний графік є однією з багатьох періодичних функцій. Періодичний відноситься до того, що синусоїда повторює цикл кожен проміжок часу. Періодичні функції надзвичайно важливі для моделювання припливів і інших явищ реального світу.

    Функція абсолютного значення:\(f(x)=|x|\)

    clipboard_e81e8833768a0c15f00905defcc350fa7.png

    Функція абсолютного значення - одна з небагатьох основних функцій, яка не є повністю гладкою.

    Логістична функція:\(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    clipboard_e78fbf5b575c099a25366779413db442a.png

    Логістична функція являє собою поєднання експоненціальної функції і зворотної функції. Ця крива є дуже потужною, оскільки вона моделює зростання населення, де максимальна чисельність населення обмежена екологічними ресурсами.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам давали задачу про порівняння\(x^{2}\) і\(2^{x}\). Хоча\(x^{2}\) і\(2^{x}\) мають схожі інгредієнти, вони мають дуже різні графічні особливості. Функція квадрата симетрична щодо лінії,\(x=0\) тоді як експоненціальна функція - ні. Коли\(x=0\), функція квадратизації має висоту нуля, а експоненціальна функція має висоту одиниці. Квадратна функція має нахил, який стає крутішим, коли\(x\) виходить далі від початку, тоді як експоненціальна функція вирівнюється, коли\(x\) стає дуже маленькою. Всі ці відмінності важливі і не очевидні на перший погляд.

    Приклад 2

    \(y=x\)\(y=e^{x}\),\(y=\frac{1}{1+e^{-x}} .\) Деякі функції, які близькі, але не зовсім:\(y=x^{3}\),\(y=\sqrt{x}\)

    Приклад 3

    Порівняйте та порівняйте графіки двох функцій:

    \(f(x)=\ln x\)і\(h(x)=\sqrt{x}\)

    Подібність: Обидві функції збільшуються без прив'язки, оскільки\(x\) стають більшими. Обидві функції не визначені для від'ємних чисел.

    Відмінності: Функція журналу наближається до негативної нескінченності як\(x\) до 0. Функція квадратного кореня, з іншого боку, просто закінчується в точці (0,0).

    Приклад 4

    Опишіть симетрію серед сімейств функцій, розглянутих у цьому понятті. Розглянемо як симетрію відображення, так і обертальну симетрію.

    Деякі сімейства функцій мають відбивну симетрію з собою:

    \(y=x\),\(y=x^{2}\),\(y=\frac{1}{x}\),\(y=|x|\)

    Деякі сімейства функцій обертально симетричні:

    \(y=x\),\(y=x^{3}\),\(y=\frac{1}{x}\),\(y=\sin x\),\(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    Деякі пари сімейств функцій є повним або частковим відображенням інших сімейств функцій:

    \(y=x^{2}\),\(y=\sqrt{x}\)

    \(y=e^{x}\),\(y=\ln x\)

    Рецензія

    Для 1-10 намалюйте графік функції з пам'яті.

    1. \(y=e^{x}\)

    2. \(y=\ln (x)\)

    3. \(y=\sin (x)\)

    4. \(y=x^{2}\)

    5. \(y=|x|\)

    6. \(y=\frac{1}{x}\)

    7. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    8. \(y=\sqrt{x}\)

    9. \(y=x^{3}\)

    10. \(y=x\)

    11. Яка функція не визначена при 0? Чому?

    12. Які функції обмежені нижче, але не вище??

    13. Які відмінності між\(y=x^{2}\) і\(y=x^{3}\)?

    14. Що таке подібність між\(y=e^{x}\) і\(y=\ln (x)\)?

    15. Поясніть\(y=\sqrt{x}\), чому не визначено для всіх значень\(x\).