1.1:1.1 Функціональні сім'ї
- Page ID
- 54482
Функції бувають різних форм. Деякі дуже тісно пов'язані між собою, а інші дуже різні, але часто плутають. Наприклад, в чому різниця між\(x^{2}\) і\(2^{x}\)? Вони обидва мають\(x\) і 2, і вони обидва рівні 4 коли\(x=2\), але один в кінцевому підсумку стає набагато більше, ніж інший.
Сімейства функцій
Якщо математики - кухарі, то сімейства функцій є їх інгредієнтами. Кожне сімейство функцій має свій колорит і індивідуальність. Перш ніж навчитися комбінувати функції для створення нескінченної кількості потенційних моделей, необхідно отримати чітке уявлення про назву кожного сімейства функцій і як воно діє.
Функція ідентичності:\(f(x)=x\)
Функція ідентичності є найпростішою функцією, а всі прямі є перетвореннями сімейства функцій ідентичності.
Функція квадратури:\(f(x)=x^{2}\)
Функція квадратури (квадратична функція) прийнято називати параболою і корисна для моделювання руху падаючих предметів. Всі параболи є перетвореннями цієї квадратної функції.
Функція кубінгу:\(f(x)=x^{3}\)
Функція кубінгу має інший вид симетрії, ніж функція квадратури. Оскільки обсяг вимірюється в кубічних одиницях, багато додатків фізики використовують кубічну функцію.
Функція квадратного кореня:\(f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Функція квадратного кореня не визначена над усіма дійсними числами. Він вводить можливість комплексних чисел, а також тісно пов'язаний з функцією квадратування.
Зворотна функція:\(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\)
Реципрокна функція також відома як гіпербола і раціональна функція. Він має дві частини, які роз'єднані і не визначені на нулі. Прості електричні схеми моделюються з зворотною функцією.
Поки що всі функції можуть бути згруповані разом у ще більшу сімейство функцій, яка називається сімейством функцій влади.
Сімейство функцій живлення:\(f(x)=c x^{a}\)
Сімейство функцій харчування має два параметри. Параметр\(c\) являє собою вертикальний масштабний коефіцієнт. Параметр\(a\) керує всім, що стосується форми. Причина, чому всі функції досі є підмножинами більшого сімейства функцій потужності, полягає в тому, що вони відрізняються лише своїм значенням\(a\). Сімейство функцій живлення також показує вам, що існує нескінченна кількість інших функцій, таких як квартики\(\left(f(x)=x^{4}\right)\) та квінтики\(\left(f(x)=x^{5}\right)\), які насправді не потребують цілої категорії. Сімейство силових функцій може бути розширено для створення поліномів і раціональних функцій.
Сімейство експоненціальних функцій:\(f(x)=e^{x}\)
Сімейство експоненціальних функцій є однією з перших функцій, які ви бачите, де не\(x\) є базою показника. Ця функція з часом зростає набагато швидше, ніж будь-яка силова функція. \(f(x)=2^{x}\)є дуже поширеною експоненціальною функцією, а також. Багато програм, таких як біологія та фінанси, вимагають використання експоненціального зростання.
Функція логарифма:\(f(x)=\ln x\)
Логарифмічна функція тісно пов'язана з сімейством експоненціальних функцій. Багато людей плутають графік функції log з функцією квадратного кореня. Ретельний аналіз покаже кілька важливих відмінностей. Функція журналу є основою для шкали Ріхтера, яка полягає в тому, як вимірюються землетруси.
Сімейство періодичних функцій:\(f(x)=\sin x\)
Синусоїдальний графік є однією з багатьох періодичних функцій. Періодичний відноситься до того, що синусоїда повторює цикл кожен проміжок часу. Періодичні функції надзвичайно важливі для моделювання припливів і інших явищ реального світу.
Функція абсолютного значення:\(f(x)=|x|\)
Функція абсолютного значення - одна з небагатьох основних функцій, яка не є повністю гладкою.
Логістична функція:\(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)
Логістична функція являє собою поєднання експоненціальної функції і зворотної функції. Ця крива є дуже потужною, оскільки вона моделює зростання населення, де максимальна чисельність населення обмежена екологічними ресурсами.
Приклади
Раніше вам давали задачу про порівняння\(x^{2}\) і\(2^{x}\). Хоча\(x^{2}\) і\(2^{x}\) мають схожі інгредієнти, вони мають дуже різні графічні особливості. Функція квадрата симетрична щодо лінії,\(x=0\) тоді як експоненціальна функція - ні. Коли\(x=0\), функція квадратизації має висоту нуля, а експоненціальна функція має висоту одиниці. Квадратна функція має нахил, який стає крутішим, коли\(x\) виходить далі від початку, тоді як експоненціальна функція вирівнюється, коли\(x\) стає дуже маленькою. Всі ці відмінності важливі і не очевидні на перший погляд.
\(y=x\)\(y=e^{x}\),\(y=\frac{1}{1+e^{-x}} .\) Деякі функції, які близькі, але не зовсім:\(y=x^{3}\),\(y=\sqrt{x}\)
Порівняйте та порівняйте графіки двох функцій:
\(f(x)=\ln x\)і\(h(x)=\sqrt{x}\)
Подібність: Обидві функції збільшуються без прив'язки, оскільки\(x\) стають більшими. Обидві функції не визначені для від'ємних чисел.
Відмінності: Функція журналу наближається до негативної нескінченності як\(x\) до 0. Функція квадратного кореня, з іншого боку, просто закінчується в точці (0,0).
Опишіть симетрію серед сімейств функцій, розглянутих у цьому понятті. Розглянемо як симетрію відображення, так і обертальну симетрію.
Деякі сімейства функцій мають відбивну симетрію з собою:
\(y=x\),\(y=x^{2}\),\(y=\frac{1}{x}\),\(y=|x|\)
Деякі сімейства функцій обертально симетричні:
\(y=x\),\(y=x^{3}\),\(y=\frac{1}{x}\),\(y=\sin x\),\(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)
Деякі пари сімейств функцій є повним або частковим відображенням інших сімейств функцій:
\(y=x^{2}\),\(y=\sqrt{x}\)
\(y=e^{x}\),\(y=\ln x\)
Рецензія
Для 1-10 намалюйте графік функції з пам'яті.
1. \(y=e^{x}\)
2. \(y=\ln (x)\)
3. \(y=\sin (x)\)
4. \(y=x^{2}\)
5. \(y=|x|\)
6. \(y=\frac{1}{x}\)
7. \(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)
8. \(y=\sqrt{x}\)
9. \(y=x^{3}\)
10. \(y=x\)
11. Яка функція не визначена при 0? Чому?
12. Які функції обмежені нижче, але не вище??
13. Які відмінності між\(y=x^{2}\) і\(y=x^{3}\)?
14. Що таке подібність між\(y=e^{x}\) і\(y=\ln (x)\)?
15. Поясніть\(y=\sqrt{x}\), чому не визначено для всіх значень\(x\).