9.1: Площа під кривою

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9: Інтегральна - Обчислення площі
- 9.2: Антидериватив

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розрахунок площі під пряму можна проводити за допомогою геометрії. Розрахунок площі під кривою лінією вимагає обчислення. Часто площа під кривою може бути інтерпретована як накопичена кількість будь-якої функції моделювання. Припустимо, швидкість автомобіля в метрах в секунду може бути змодельована квадратичним за перші 8 секунд розгону:

$s(t)=t^2 \nonumber$

Як далеко автомобіль проїхав за 8 секунд?

Пошук площі під кривою

Площа під кривою може бути апроксимована прямокутниками, однаково розташованими під кривою, як показано нижче. Для узгодженості ви можете вибрати, чи повинні поля потрапляти на криву в лівому куті, правому куті, максимальному значенні або мінімальному значенні. Чим більше ящиків ви використовуєте, тим вужчими будуть коробки і, таким чином, тим точніше буде ваше наближення площі.

Знімок екрана 2021-01-20 о 7.35.08 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

Субінтервали створюються, коли інтервал розбивається на менші, однаково величини інтервали. Синє наближення використовує праві коробки для висоти кожного підінтервалу. Червоне наближення призначає висоті поля мінімальним значенням функції в кожному підінтервалі. Зелене наближення призначає висоті поля максимальним значенням функції в кожному підінтервалі. У жовтому наближенні використовуються ліві коробки. Прямокутники над віссю x матимуть позитивну площу, а прямокутники нижче осі x матимуть негативну площу у цьому контексті.

Використання квадратів для оцінки площі під кривою називається Сумою Рімана. Візьмемо функцію f (x) =12x−2. Щоб обчислити суму Рімана (площа під кривою) між 1 та 9 функцією, спочатку намалюйте графік та поля.

Знімок екрана 2021-01-20 о 7.36.55 PM.png

https://commons.wikimedia.org/wiki/F...onvergence.png - CC BY-SA

Площа першого ящика в 2 рази перевищує висоту функції, оціненої в 3:

$2⋅(\frac{1}{2}⋅3−2)=3−4=−1 \nonumber$

Оскільки ця коробка знаходиться під віссю x, його площа негативна.

Площа для кожного з решти ящиків в 2 рази перевищує висоту функції, оціненої на 5, 7 і 9.

$2⋅(\frac{1}{2}⋅5−2)=5−4=1 \nonumber$

$2⋅(\frac{1}{2}⋅7−2)=7−4=3 \nonumber$

$2⋅(\frac{1}{2}⋅9−2)=9−4=5 \nonumber$

Приблизна сума загальної площі під кривою становить: −1+1+3+5=8 квадратних одиниць.

Усі чотири наближення площі, показані раніше, покращуються, оскільки кількість ящиків збільшується. Насправді межа кожного наближення, коли кількість підінтервалів (коробок) збільшується до нескінченності, є точною площею під кривою.

Тут приходить ідея числення інтеграла. Інтеграл - це межа суми, оскільки кількість доданих збільшується до нескінченності. Дозвіл - це одна з багатьох частин, які підсумовуються разом.

$\int f(x)= \lim_{n \to ∞} \sum_{i=1}^n (\mbox{ Area of box i }) \nonumber$

Символ зліва є символом числення інтеграла.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили визначити, як далеко проїжджає машина за 8 секунд. Ви можете використовувати площу під кривою, щоб знайти загальну відстань, пройдену за перші 8 секунд. Оскільки квадратична крива, ви повинні вибрати кількість підінтервалів, які ви хочете використовувати, і чи потрібні праві або ліві поля для оцінки. Припустимо, ви вибрали 8 лівих коробок шириною один.

Знімок екрана 2021-01-21 о 3.31.40 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

х	0	1	2	3	4	5	6	7
Площа коробки праворуч	1⋅0	1⋅1	1⋅4	1⋅9	1⋅16	1⋅25	1⋅36	1⋅49

Приблизна сума - 1+4+9+16+25+36+49=140. Це означає, що автомобіль проїхав приблизно 140 метрів за перші 8 секунд.

Приклад 2

Оцініть точну площу під використовуваною раніше кривою $f(x)=\frac{1}{2}x−2 \nonumber$ , використовуючи формулу площі для трикутника.

Пам'ятайте, що область під віссю x є від'ємною, тоді як область над віссю x позитивна.

Знімок екрана 2021-01-22 о 8.04.02 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

Негативна область: $\frac{1}{2}⋅3⋅1.5=\frac{9}{4} \nonumber$

Позитивна область: $\frac{1}{2}⋅5⋅2.5=\frac{25}{4} \nonumber$

Площа під кривою між 1 і 8: $\frac{25}{4}−\frac{9}{4}=\frac{16}{4}=4 \nonumber$

Якщо порівняти цю відповідь з наближенням раніше, виявляється, що наближення шириною 2 одиниці виробляють площу зі значною похибкою.

Приклад 3

Логан подорожує на велосипеді зі швидкістю 20 миль/год протягом 3 годин. Потім вона сідає в машину і їздить 60 миль/год протягом 2 годин. Намалюйте як відстань проти часового графіка, так і швидкість проти часового графіка. Використовуйте область під аргументом кривої, щоб з'єднати два графіки.

Відстань проти часу:

Знімок екрана 2021-01-22 о 8.19.54 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

Ставка проти часу:

Знімок екрана 2021-01-22 о 9.24.00 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

Нахил першого графа дорівнює 20 від 0 до 3, а потім 60 від 3 до 5. Другий графік - це графік нахилів з першого графа. Якщо обчислити площу другого графіка в ключових точках 0, 1, 2, 3, 4 і 5, ви побачите, що вони ідеально вирівнюються з точками на першому графіку.

х	*Площа під кривою від 0 до* x
0	0
1	20
2	40
3	60
4	120
5	180

Приклад 4

Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і праві кінцеві точки.

$f(x)=3x^2−1, −1≤x≤7 \nonumber$

Хоча графік корисний для візуалізації проблеми, і малювання кожного поля може допомогти надати значення кожному резюме, це не завжди потрібно. Оскільки на загальному інтервалі −1≤x≤7 буде 8 підінтервалів, кожен інтервал матиме ширину 1. Висота кожного інтервалу буде знаходитися в правій кінцевій точці кожного підінтервалу (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

$\sum height⋅width = \sum_{i=0}^{7}(3i^2−1)⋅1=412 \nonumber$

Приклад 5

Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.

$f(x)=x^x, 1≤x≤3 \nonumber$

Коли кількість субінтервалів стане великим, а підінтервали стануть надзвичайно вузькими, намалювати точну картинку буде неможливо. Ось чому використання позначень підсумовування та продумування того, якими будуть індекси та аргумент, неймовірно важливо. З 20 субінтервалами між [1,3] кожен інтервал буде шириною 0,1. Ліва кінцева точка означає, що перше поле має висоту f (1), а друге поле має висоту f (1.1).

$\sum height⋅width=f(1)⋅0.1+f(1.1)⋅0.1+f(1.2)⋅0.1+⋯+f(2.9)⋅0.1 \nonumber$

$=0.1(f(1)+f(1.1)+⋯f(2.9)) \nonumber$

$=0.1⋅\sum_{i=10}^{29}f(\frac{i}{10}) \nonumber$

$=0.1⋅\sum_{i=10}^{29} (\frac{i}{10})^{(\frac{i}{10})} \nonumber$

$≈12.47144 \nonumber$

Ваш калькулятор може обчислити підсумовування, коли ви йдете в меню математики.

Знімок екрана 2021-01-22 в 9.41.42 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

Рецензія

1. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і праві кінцеві точки.

$f(x)=x^2−x+1, 0≤x≤8 \nonumber$

2. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і ліві кінцеві точки.

$f(x)=x^2−2x+1, −4≤x≤4 \nonumber$

3. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.

$f(x)=\sqrt{x+3}, 0≤x≤4 \nonumber$

4. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи 100 субінтервалів і лівих кінцевих точок. Порівняйте з вашою відповіддю з #3.

$f(x)=\sqrt{x+3}, 0≤x≤4 \nonumber$

5. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи вісім підінтервалів і ліві кінцеві точки.

$f(x)=cos(x), 0≤x≤4 \nonumber$

6. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи двадцять субінтервалів і ліві кінцеві точки.

$f(x)=cos(x), 0≤x≤4 \nonumber$

7. Орієнтуйте площу під кривою, використовуючи 100 субінтервалів і лівих кінцевих точок.

$f(x)=cos(x), 0≤x≤4 \nonumber$

Наступний графік показує швидкість (у милі на годину) проти часу (у годині) для автомобіля.

Знімок екрана 2021-01-22 о 9.47.04 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

8. Опишіть, що відбувається з автомобілем.

9. Як далеко проїхала машина за 5 годин?

Наступний графік показує швидкість (у футах в секунду) проти часу (у секундах) для автомобіля.

Знімок екрана 2021-01-22 о 9.47.39 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

10. Опишіть, що відбувається з автомобілем. Зокрема, що відбувається в перші 3 секунди?

11. Як далеко проїхала машина за 5 секунд?

На наступному графіку показано функцію f (x) =− (x−4) 2+16, яка представляє швидкість (у футах на секунду) проти часу (у секундах) для бігуна.

Знімок екрана 2021-01-22 в 9.48.13 PM.png

КУБ.СМ ПО-СА

12. Опишіть, що відбувається з Раннер. Зокрема, що відбувається через 4 секунди?

13. Використовуйте прямокутники, щоб наблизити загальну відстань (у футах), яку бігун пройшов за 8 секунд. Постарайтеся отримати якнайкраще наближення, наскільки це можливо.

14. Поясніть, як інтеграл схожий на протилежність похідної.

15. Як інтеграли співвідносяться з сумами?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.9.

Лексика

Термін	Визначення
Δ	Символ «Δ», читається «дельта», використовується для позначення «зміни в», як в «зміна швидкості з плином часу» = $\frac{Δv}{t} \nonumber$ .
певний інтеграл	Певний інтеграл дає площу між віссю x і кривою через певний інтервал.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
субаінтервали	Субінтервали створюються, коли інтервал розбивається на менші однаково величини інтервали.
виклик	Сума - це вираз, що підсумовується. Вона безпосередньо слідує за символом сигми.

Додаткові ресурси

Відео: Вступ до визначених інтегралів

Практика: Площа під кривою