6.1: Похідні для вищого порядку

Ви можете згадати, як почули про Бекку та її конкуренцію з легкої атлетики в попередній концепції. Її хлопець записував на своєму ноутбуці сигнали положення від передавача GPS Бекка носила під час своєї гонки. Вона використовувала програму для ноутбука, яку вона написала для обробки сигналів положення GPS раз в секунду, щоб вона могла визначити, наскільки далеко вона пробігла під час гонки. Ці відстані і часові точки були нанесені на її ноутбуці. Вона створила програму, яка також дала їй математичну модель її відстані, щоб вона могла взяти похідну від математичної функції в будь-який момент часу, щоб отримати її «миттєву» швидкість.

Що робити, якщо замість того, щоб просто знайти свою швидкість в будь-який час під час гонки, вона захотіла знайти своє прискорення? Як би це було зроблено?

---

Похідні для вищого порядку

Якщо функція f має похідну f′, яка диференціюється, то похідна f′, позначена f′′, називається другою похідною f. Ми можемо продовжити процес диференціації похідних і отримати третю, четверту, п'яту і вищу похідні f.

Позначення для похідних вищого порядку

1-й	2-й	3-й	4-й	n-й порядок
f′	f′′	f′′′	f (4)	f (н)
y′	y′′	y′′′	у (4)	у (н)
$$\frac{dy}{dx} \nonumber$$	$$\frac{d^2y}{dx^2} \nonumber$$	$$\frac{d^3y}{dx^3} \nonumber$$	$$\frac{d^4y}{dx^4} \nonumber$$	$$\frac{d^ny}{dx^n} \nonumber$$
$$D_xy \nonumber$$	$$D_x^2y\nonumber$$	$$D_x^3y \nonumber$$	$$D_x^4y\nonumber$$	$$D_x^ny \nonumber$$

Дано f (x) =−2x ² −4x−1. Що таке f′′ (x)?

Нагадаємо, що f′′ (x) означає «Друга похідна f (x)», або «Похідна від похідної f (x)». Функція f (x) повинна бути диференційована двічі наступним чином:

$$f′(x)=\frac{d}{dx}(−2x^2−4x−1) \nonumber$$

... Визначте 1-е похідне

$$f′(x)=−4x−4 \nonumber$$

$$f′′(x)=\frac{d}{dx}(−4x−4) \nonumber$$

. ... Визначте 2-е похідне.

$$f′′(x)=−4 \nonumber$$

Тому $$f′′(x)=−4 \nonumber$$

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про те, що Бекка знайде її прискорення. Оскільки Бекка вже створила програму для обчислення її миттєвої швидкості в заданій точці на доріжці, знайшовши похідну математичної моделі до своїх даних про положення GPS, вона могла б потім взяти похідну від цієї функції, другу похідну, щоб знайти її миттєве прискорення в той же момент в гонці.

Знайшовши її миттєву швидкість і прискорення в різних точках гонки, вона може дізнатися багато про свою продуктивність під час гонки, і, сподіваюся, цільові області, над якими вона повинна працювати, щоб поліпшити її загальний успіх.

Приклад 2

Задано f (x) = (−x ⁴ −4x ³ −5x ² +3). Знайти f′′ (x), коли х = 3.

Знову ж таки, функція f (x) повинна бути диференційована двічі; тоді ^2-я похідна повинна бути оцінена:

$$f′(x)=\frac{d}{dx}(−x^4−4x^3−5x^2+3) \nonumber$$

... Визначте 1-е похідне

$$=−4x^3−12x^2−10x \nonumber$$

$$f′′(x)=\frac{d}{dx}(−4x^3−12x^2−10x) \nonumber$$

. ... Визначте 2-е похідне

$$=−12x^2−24x−10 \nonumber$$

$$f′(3)=−12(3)2^−24(3)−10 \nonumber$$

. ... Оцініть 2-е похідне

$$=−190 \nonumber$$

Тому $$f′′(3)=−190\nonumber$$

Приклад 3

Показати, що y=x3+3x+2 задовольняє диференціальному рівнянню y′′′+xy′′−2y′=0.

Нам потрібно отримати першу, другу та третю похідні та підставити їх у диференціальне рівняння, щоб перевірити рівність.

$$y=x^3+3x+2 \nonumber$$

$$y′=3x^2+3 \nonumber$$

$$y′′=6x \nonumber$$

$$y′′′=6 \nonumber$$

Підставляючи,

$$y′′′+xy′′−2y′=6+x(6x)−2(3x^2+3) \nonumber$$

$$=6+6x^2−6x^2−6 \nonumber$$

$$=0 \nonumber$$

який задовольняє рівнянню.

Приклад 4

Знайдіть п'яту похідну від $$f(x)=2x^4−3x^3+5x^2−x−1 \nonumber$$

Щоб знайти п'яту похідну, ми повинні спочатку знайти першу, другу, третю та четверту похідні наступним чином:

1. $$f′(x)=8x^3−9x^2+5x−x \nonumber$$
2. $$f(2)(x)=24x^2−18x+5 \nonumber$$
3. $$f(3)(x)=48x−18 \nonumber$$
4. $$f(4)(x)=48 \nonumber$$
5. $$f(5)(x)=0 \nonumber$$

---

Рецензія

1. Враховуючи: $$v(x)=−4x^3+3x^2+2x+3 \nonumber$$ Що таке v′′ (x)?
2. Враховуючи: $$m(x)=x^2+5x \nonumber$$ Що таке m′′ (x)?
3. Враховуючи: $$d(x)=3x^4e^x \nonumber$$ Що таке d′′ (x)?
4. Дано: $$t(x)=−2x^5sin(x) \nonumber$$ Що таке $$\frac{d^2t}{dx^2}? \nonumber$$
5. Що таке $$\frac{d^2}{dx^2}3x^5e^x? \nonumber$$
6. Знайти $$\frac{d^3y}{dx^3}|_{x=1} \nonumber$$ де $$y=\frac{2}{x^3} \nonumber$$ .
7. Припустимо, $$u′(0)=98 \nonumber$$ і $$(\frac{u}{q})′(0)=7 \nonumber$$ знайти q (0) припускаючи u (0) =0?
8. Враховуючи: $$b(x)=\frac{x^2−5x+4}{−5x+2} \nonumber$$ Що таке: b′ (2)?
9. Дано: $$m(x)={e^x}{3x+4} \nonumber$$ Що таке $$\frac{dm}{dx} \nonumber$$ ?
10. Що таке $$\frac{d}{dx}⋅\frac{sin(x)}{x−4}? \nonumber$$
11. Враховуючи $$q(x)=\frac{x}{sin(x)} \nonumber$$ Що таке $$q′′(x)=\frac{d^2}{dx^2}\frac{x}{sin(x)}? \nonumber$$
12. Положення певної наночастинки можна наблизити функцією t ³ +t Яка функція дає прискорення частинки?
13. Положення автомобіля задається функцією sin (t) +3t ². Автомобіль розганяється або уповільнюється?
14. Положення велоцираптора, що переслідує трицератопс, задається функцією cos (−t). Чи переживає хижак позитивний або негативний ривок $$t=\frac{3π}{2} \nonumber$$
15. Положення Місяця - це нічне небо, яке дається наступною функцією часу: $$\frac{1}{12}t^4−\frac{3}{6}t^3−5t^2+π^π \nonumber$$ Назвіть час, коли Місяць взагалі не відчуває прискорення.
16. Яку максимальну кількість разів доведеться диференціювати поліном N-ступеня, перш ніж похідна стане нульовою?

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.11.

---

Лексика

Термін	Визначення
Прискорення	Прискорення - це швидкість, з якою змінюється швидкість і напрямок об'єкта.
похідна вищого порядку	Похідна вищого порядку - це друга, або третя, або n-а похідна функції.
Миттєве прискорення	Миттєве прискорення об'єкта - це зміна швидкості об'єкта, розрахована в конкретний момент часу.
Миттєва швидкість	Миттєва швидкість об'єкта - це швидкість об'єкта в конкретний момент часу.

---

Додаткові ресурси

PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - похідні вищого порядку - прискорення та ривок

Відео: Обчислення - Пошук вищих похідних

Реальний світ: глибокі секрети