4.4: Прискорення

Застосовуємо ту ж фізико-математичну процедуру визначення прискорення, що і швидкість зміни швидкості по відношенню до часу. Ми спочатку розглянемо, як змінюється миттєва швидкість протягом фіксованого часового інтервалу часу, а потім приймаємо межу, коли часовий інтервал наближається до нуля.

Середнє прискорення

Середнє прискорення - це величина, яка вимірює зміну швидкості протягом певного часового інтервалу. Припустимо, протягом$Δt$ часового інтервалу тіло зазнає зміни швидкості.

$$\Delta \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathbf{v}}(t) \nonumber$$

Зміна x -складової швидкості$Δv$, для часового інтервалу$[t, t + Δt]$ тоді

$$\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t) \nonumber$$

Визначення: Х-складова середнього прискорення

X-складова середнього прискорення для часового інтервалу$Δt$ визначена як

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}_{a v e}=a_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=\frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Одиницями СІ для середнього прискорення є метри в секунду в квадраті, [m⋅s ^-2].

Миттєве прискорення

Розглянемо графік х -складової швидкості,$v(t)$, (рис.$\PageIndex{1}$).

Рисунок$\PageIndex{1}$: Графік швидкості та часу, що показує дотичну лінію в часі$t$. (CC BY-NC; Відповідаючи)

Середнє прискорення за фіксований проміжок часу Δ t - нахил прямої, що з'єднує дві точки (t, v (t)) і (t + Δ t, v (t + Δ t)). Для того, щоб визначити x - складову миттєвого прискорення в момент t, ми використовуємо той самий обмежуючий аргумент, який ми робили, коли визначали миттєву швидкість через нахил дотичної прямої.

Визначення: x - складова миттєвого прискорення

х - складова миттєвого прискорення в часі$t$ - нахил дотичної прямої в момент$t$ графіка х - складова швидкості як функція часу,

$$a(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \equiv \frac{d v}{d t} \label{accel}$$

Вектор миттєвого прискорення в момент t дорівнює тоді

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=a(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Оскільки швидкість є похідною від позиції щодо часу, х -складова прискорення є другою похідною функції положення,

$$a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Determining Acceleration from Velocity

Давайте продовжимо приклад 4.1, в якому функція положення для тіла задається$x=x_{0}+(1 / 2) b t^{2}$, а x-складова швидкості -$v = bt$. Х-складова миттєвого прискорення є першою похідною (по відношенню до часу) х - складової швидкості:

$$a=\frac{d v}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{b t+b \Delta t-b t}{\Delta t}=b \nonumber$$

Зверніть увагу, що в Equation\ ref {accel} співвідношення$Δv / Δt$ не залежить від$t$, узгоджується з постійним нахилом, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$.