4.4: Прискорення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75506

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Застосовуємо ту ж фізико-математичну процедуру визначення прискорення, що і швидкість зміни швидкості по відношенню до часу. Ми спочатку розглянемо, як змінюється миттєва швидкість протягом фіксованого часового інтервалу часу, а потім приймаємо межу, коли часовий інтервал наближається до нуля.

Середнє прискорення

Середнє прискорення - це величина, яка вимірює зміну швидкості протягом певного часового інтервалу. Припустимо, протягом\(Δt\) часового інтервалу тіло зазнає зміни швидкості.

\[\Delta \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathbf{v}}(t) \nonumber \]

Зміна x -складової швидкості\(Δv\), для часового інтервалу\([t, t + Δt]\) тоді

\[\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t) \nonumber \]

Визначення: Х-складова середнього прискорення

X-складова середнього прискорення для часового інтервалу\(Δt\) визначена як

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}_{a v e}=a_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=\frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

Одиницями СІ для середнього прискорення є метри в секунду в квадраті, [m⋅s ^-2].

Миттєве прискорення

Розглянемо графік х -складової швидкості,\(v(t)\), (рис.\(\PageIndex{1}\)).

4.7 (відсутній) .svg — Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік швидкості та часу, що показує дотичну лінію в часі\(t\). (CC BY-NC; Відповідаючи)

Середнє прискорення за фіксований проміжок часу Δ t - нахил прямої, що з'єднує дві точки (t, v (t)) і (t + Δ t, v (t + Δ t)). Для того, щоб визначити x - складову миттєвого прискорення в момент t, ми використовуємо той самий обмежуючий аргумент, який ми робили, коли визначали миттєву швидкість через нахил дотичної прямої.

Визначення: x - складова миттєвого прискорення

х - складова миттєвого прискорення в часі\(t\) - нахил дотичної прямої в момент\(t\) графіка х - складова швидкості як функція часу,

\[a(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \equiv \frac{d v}{d t} \label{accel} \]

Вектор миттєвого прискорення в момент t дорівнює тоді

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=a(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

Оскільки швидкість є похідною від позиції щодо часу, х -складова прискорення є другою похідною функції положення,

\[a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Determining Acceleration from Velocity

Давайте продовжимо приклад 4.1, в якому функція положення для тіла задається\(x=x_{0}+(1 / 2) b t^{2}\), а x-складова швидкості -\(v = bt\). Х-складова миттєвого прискорення є першою похідною (по відношенню до часу) х - складової швидкості:

\[a=\frac{d v}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{b t+b \Delta t-b t}{\Delta t}=b \nonumber \]

Зверніть увагу, що в Equation\ ref {accel} співвідношення\(Δv / Δt\) не залежить від\(t\), узгоджується з постійним нахилом, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).