8.14: Правила роздумів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54919

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначення та державні правила, що описують роздуми за допомогою нотації

На малюнку нижче показана форма двох рибок. Напишіть правило відображення для відображення зображення\(A\) на зображення\(B\).

F-д_Д3Ф0Ф68Д7А85938Ф8Б86Д 4594834000c637CA44594AC0d633869B45E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Відображення є прикладом трансформації, яка приймає форму (називається попереднім зображенням) і перевертає її поперек лінії (званої лінією відображення) для створення нової форми (званої зображенням). Вивчаючи координати відбитого зображення, можна визначити лінію відображення. Найбільш поширеними лініями відображення є\(x\) -вісь,\(y\) -вісь, або лінії\(y=x\) або\(y=−x\).

Ф-Д_76Ф4Ф2689КС2306Б23ЕД 3А349Е87Д96Ф6ДК686АБ 52Е369146С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Попереднє зображення вище було відображено поперек\(y\) -осі. Це означає, що всі координати x були помножені на -1. Описати відображення можна словами, або наступними позначеннями:

\(r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)\)

Зверніть увагу, що позначення говорить вам, як саме змінюється кожна\((x,y)\) точка в результаті перетворення.

Давайте знайдемо зображення точки\((3, 2)\), яка зазнала відображення по наступних лініях:

\(x\)-вісь,

Відображення поперек\(x\) -осі:\(r_{x-axis} (3,2)\rightarrow (3,−2)\)

\(y\)-вісь

Відображення поперек\(y\) -осі:\(r_{y-axis} (3,2)\rightarrow (3,−2)\)

Лінія\(y=x\)

Відображення через лінію\(y=x\):\(r_{y=x} (3,2)\rightarrow (2,3)\)

Лінія\(y=−x\).

Відображення через лінію\(y=−x\):\(r_{y=−x} (3,2)\rightarrow (−2,−3)\)

F-д_03Д5091ФД1931Е89С0АЕ 2С39Ф87Б639048КС8074ЕС8Б011E1АФАЧ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Тепер давайте відобразити зображення на діаграмі нижче\(A\) в наступних рядках і запишемо позначення для кожного відображення:

Поперек\(y\) -осі і позначте його\(B\).

Відображення поперек\(y\) -осі:\(r_{y-axis} A\rightarrow B=r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)\)

Поперек\(x\) -осі і позначте його\(O\).

Відображення поперек\(x\) -осі:\(r_{x-axis} A\rightarrow O=r_{x-axis} (x,y)\rightarrow (x,−y)\)

Через лінію\(y=−x\) і позначте її\(Z\).

Відображення через\(y=−x\):\(r_{y=−x} A\rightarrow Z=r_{y=−x} (x,y)\rightarrow (−y,−x) \)

F-д_2ЕД 28171Ф 940242790D77EB ФЧ55А659482066А8С8С64098Е7Ф7Б83E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Нарешті, давайте напишемо позначення, яке представляє відображення попереднього зображення до зображення на діаграмі нижче:

F-D_27CD4C2 Бе 3С9Е4Д41 КСЕ 78Д7Б53662Б0Ф588Е9Д 620С42С8А7353Ф5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Це відображення поперек лінії\(y=−x\). Позначення є\(r_{y=−x} (x,y)\rightarrow (−y,−x)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам давали задачу про малюнок нижче, який показує візерунок з двох риб. Запишіть правило відображення зображення A\) на Image B\).

Рішення

Щоб відповісти на це питання, подивіться координатні точки для зображень A та зображення B.


Зображення A	\(A(−11.8,5)\)	\(B(−11.8,2)\)	\(C(−7.8,5)\)	\(D(−4.9,2)\)	\(E(−8.7,0.5)\)	\(F(−10.4,3.1)\)
Зображення B	\(A′(−11.8,−5)\)	\(B′(−11.8,−2)\)	\(C′(−7.8,−5)\)	\(D′(−4.9,−2)\)	\(E′(−8.7,−0.5)\)	\(F′(−10.4,−3.1)\)

Зверніть увагу, що всі\(y-coordinates have changed sign. Therefore Image A has reflected across the \(x\) -осі. Щоб написати правило для цього роздуму, ви б написали:\(r_{x-axis} (x,y)\rightarrow (x,−y)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Томас описує відображення як точку\(J moving from \(J(−2,6)\) на\(J′(−2,−6)\). Напишіть позначення, щоб описати це відображення для Томаса.

\(J:(−2,6)\qquad J′:(−2,−6)\)

Рішення

Так як y-координата множиться на -1 і\(x-coordinate remains the same, this is a reflection in the \(x\) -вісь. Позначення це:\(r_{x-axis} J\rightarrow J′=r_{x-axis} (−2,6)\rightarrow (−2,6)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Напишіть позначення, яке представляє відображення жовтого діаманта на відображеному зеленому діаманті на діаграмі нижче.

F-D_88 ЕА АС 2581Б654Д7Д7Б6Ф8891Д16БФ 6254041398C05DB6AC5643+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису відображення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (жовтий ромб), а потім відбиту точку на зеленому діаманті, щоб побачити, як точка рухалася. Зверніть увагу, що точка\(E\) показана на схемі:

\(E(−1,3)\rightarrow E′(3,−1)\)

Оскільки обидва\(x\) - і\(y\) -координати є зворотними числами, відображення знаходиться в рядку\(y=x\). Позначення для цього відображення було б:\(r_{y=x} (x,y)\rightarrow (y,x)\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Карен грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.

Ф-Д_С04044Д8Д1ЕЕ4981С3Д7ФЧ 1d247c7313499БК 57C936E157B90635782+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису перетворення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (фіолетова та синя діаграма), а потім перетворену точку на помаранчевій та синій діаграмі, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка А показана на схемі:

\(C(7,0)\rightarrow C′(−7,0)\)

Оскільки обидві координати x множаться лише на -1, перетворення є відображенням у\(y\) -осі. Позначення для цього відображення було б:\(r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)\).