8.14: Правила роздумів

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 8.13: Визначення відображення
- 8.15: Програмне забезпечення геометрії для роздумів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначення та державні правила, що описують роздуми за допомогою нотації

На малюнку нижче показана форма двох рибок. Напишіть правило відображення для відображення зображення $A$ на зображення $B$ .

F-д_Д3Ф0Ф68Д7А85938Ф8Б86Д 4594834000c637CA44594AC0d633869B45E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Відображення є прикладом трансформації, яка приймає форму (називається попереднім зображенням) і перевертає її поперек лінії (званої лінією відображення) для створення нової форми (званої зображенням). Вивчаючи координати відбитого зображення, можна визначити лінію відображення. Найбільш поширеними лініями відображення є $x$ -вісь, $y$ -вісь, або лінії $y=x$ або $y=−x$ .

Ф-Д_76Ф4Ф2689КС2306Б23ЕД 3А349Е87Д96Ф6ДК686АБ 52Е369146С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Попереднє зображення вище було відображено поперек $y$ -осі. Це означає, що всі координати x були помножені на -1. Описати відображення можна словами, або наступними позначеннями:

$r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)$

Зверніть увагу, що позначення говорить вам, як саме змінюється кожна $(x,y)$ точка в результаті перетворення.

Давайте знайдемо зображення точки $(3, 2)$ , яка зазнала відображення по наступних лініях:

$x$ -вісь,

Відображення поперек $x$ -осі: $r_{x-axis} (3,2)\rightarrow (3,−2)$

$y$ -вісь

Відображення поперек $y$ -осі: $r_{y-axis} (3,2)\rightarrow (3,−2)$

Лінія $y=x$

Відображення через лінію $y=x$ : $r_{y=x} (3,2)\rightarrow (2,3)$

Лінія $y=−x$ .

Відображення через лінію $y=−x$ : $r_{y=−x} (3,2)\rightarrow (−2,−3)$

F-д_03Д5091ФД1931Е89С0АЕ 2С39Ф87Б639048КС8074ЕС8Б011E1АФАЧ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Тепер давайте відобразити зображення на діаграмі нижче $A$ в наступних рядках і запишемо позначення для кожного відображення:

Поперек $y$ -осі і позначте його $B$ .

Відображення поперек $y$ -осі: $r_{y-axis} A\rightarrow B=r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)$

Поперек $x$ -осі і позначте його $O$ .

Відображення поперек $x$ -осі: $r_{x-axis} A\rightarrow O=r_{x-axis} (x,y)\rightarrow (x,−y)$

Через лінію $y=−x$ і позначте її $Z$ .

Відображення через $y=−x$ : $r_{y=−x} A\rightarrow Z=r_{y=−x} (x,y)\rightarrow (−y,−x)$

F-д_2ЕД 28171Ф 940242790D77EB ФЧ55А659482066А8С8С64098Е7Ф7Б83E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Нарешті, давайте напишемо позначення, яке представляє відображення попереднього зображення до зображення на діаграмі нижче:

F-D_27CD4C2 Бе 3С9Е4Д41 КСЕ 78Д7Б53662Б0Ф588Е9Д 620С42С8А7353Ф5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Це відображення поперек лінії $y=−x$ . Позначення є $r_{y=−x} (x,y)\rightarrow (−y,−x)$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали задачу про малюнок нижче, який показує візерунок з двох риб. Запишіть правило відображення зображення A\) на Image B\).

Рішення

Щоб відповісти на це питання, подивіться координатні точки для зображень A та зображення B.


Зображення A	$A(−11.8,5)$	$B(−11.8,2)$	$C(−7.8,5)$	$D(−4.9,2)$	$E(−8.7,0.5)$	$F(−10.4,3.1)$
Зображення B	$A′(−11.8,−5)$	$B′(−11.8,−2)$	$C′(−7.8,−5)$	$D′(−4.9,−2)$	$E′(−8.7,−0.5)$	$F′(−10.4,−3.1)$

Зверніть увагу, що всі $y-coordinates have changed sign. Therefore Image A has reflected across the \(x$ -осі. Щоб написати правило для цього роздуму, ви б написали: $r_{x-axis} (x,y)\rightarrow (x,−y)$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Томас описує відображення як точку $J moving from \(J(−2,6)$ на $J′(−2,−6)$ . Напишіть позначення, щоб описати це відображення для Томаса.

$J:(−2,6)\qquad J′:(−2,−6)$

Рішення

Так як y-координата множиться на -1 і $x-coordinate remains the same, this is a reflection in the \(x$ -вісь. Позначення це: $r_{x-axis} J\rightarrow J′=r_{x-axis} (−2,6)\rightarrow (−2,6)$

Приклад $\PageIndex{3}$

Напишіть позначення, яке представляє відображення жовтого діаманта на відображеному зеленому діаманті на діаграмі нижче.

F-D_88 ЕА АС 2581Б654Д7Д7Б6Ф8891Д16БФ 6254041398C05DB6AC5643+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{9}$

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису відображення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (жовтий ромб), а потім відбиту точку на зеленому діаманті, щоб побачити, як точка рухалася. Зверніть увагу, що точка $E$ показана на схемі:

$E(−1,3)\rightarrow E′(3,−1)$

Оскільки обидва $x$ - і $y$ -координати є зворотними числами, відображення знаходиться в рядку $y=x$ . Позначення для цього відображення було б: $r_{y=x} (x,y)\rightarrow (y,x)$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Карен грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.

Ф-Д_С04044Д8Д1ЕЕ4981С3Д7ФЧ 1d247c7313499БК 57C936E157B90635782+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{10}$

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису перетворення, виберіть одну точку на попередньому зображенні (фіолетова та синя діаграма), а потім перетворену точку на помаранчевій та синій діаграмі, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка А показана на схемі:

$C(7,0)\rightarrow C′(−7,0)$

Оскільки обидві координати x множаться лише на -1, перетворення є відображенням у $y$ -осі. Позначення для цього відображення було б: $r_{y-axis} (x,y)\rightarrow (−x,y)$ .