8.13: Визначення відображення

Трансформації, які перетворюють фігуру в її дзеркальне відображення, перевертаючи її над лінією.

Роздуми

Трансформація - це операція, яка рухає, перевертає або іншим чином змінює фігуру для створення нової фігури. Жорстке перетворення (також відоме як ізометрія або перетворення конгруентності) - це трансформація, яка не змінює розмір або форму фігури.

Жорсткі перетворення - це переклади, роздуми та обертання. Нова фігура, створена перетворенням, називається зображенням. Оригінальна фігура називається передзображенням. Якщо попередній образ - A, то зображення буде$A′$, сказавши «простим». Якщо є зображення$A′$, що буде позначено$A′′$, сказав «подвійне просте».

Відображення - це перетворення, яке перетворює фігуру в її дзеркальне відображення, перевертаючи її над лінією. Лінія відображення - це лінія, над якою відбивається фігура. Якщо точка знаходиться на лінії відображення, то зображення таке ж, як і попередній образ. Зображення завжди збігаються з попередніми зображеннями.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Хоча ви можете розмірковувати над будь-якою лінією, деякі загальні лінії роздумів мають правила, які варто запам'ятати:

Відображення над$y$ -віссю:$(x,y)\rightarrow (−x,y)$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Відображення над$x$ -віссю:$(x,y)\rightarrow (x,−y)$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Роздуми над$y=x$:$(x,y)\rightarrow (y,x)$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Роздуми над$y=−x$:$(x,y)\rightarrow (−y,−x)$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Що робити, якщо вам дали координати чотирикутника, і вас попросили відобразити цей чотирикутник над$y$ -віссю? Якими будуть його нові координати?

Приклад$\PageIndex{1}$

$\Delta ABC$Відображення над$y$ -віссю. Знайдіть координати зображення.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Малюнок$\PageIndex{7}$

$\Delta A′B′C′$буде на такій же відстані від$y$ -осі як$\Delta ABC$, але з іншого боку. Значить, їх$x$ -координати будуть протилежними.

$\begin{aligned} &A(4,3)\rightarrow A′(−4,3) \\ &B(7,−1)\rightarrow B′(−7,−1) \\ &C(2,−2)\rightarrow C′(−2,−2)\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Відобразіть букву «$F$′′» над$x$ -віссю.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

При відображенні літери F над$x$ віссю$y$ -координати матимуть однакову відстань від$x$ осі -, але на іншій стороні від$x$ осі -. Значить, їх$y$ -координати будуть протилежними.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Відобразити трикутник$\Delta ABC$ з вершинами$A(4,5)$,$B(7,1)$ і$C(9,6)$ над лінією$x=5$. Знайти координати$A′$$B′$, і$C′$.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Рішення

Вершини зображення знаходяться на тій же відстані від$x=5$ вершин попереднього зображення.

Малюнок$\PageIndex{11}$

$\begin{aligned} A(4,5)\rightarrow A′(6,5) \\ &B(7,1)\rightarrow B′(3,1) \\ &C(9,6)\rightarrow C′(1,6) \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Відобразіть відрізок лінії$\overline{PQ}$ з кінцевими точками$P(−1,5)$ і$Q(7,8)$ над лінією$y=5$.

Рішення

P знаходиться на лінії відображення, а значить$P′$ має однакові координати. $Q′$така ж відстань від\ (y=5, але з іншого боку.

Малюнок$\PageIndex{12}$

$\begin{aligned}P(−1,5)&\rightarrow P′(−1,5) \\ Q(7,8)&\rightarrow Q′(7,2)\end{aligned}$

Малюнок$\PageIndex{13}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Трикутник$\Delta LMN$ і його відображення,$\Delta L′M′N′$ знаходяться внизу. Що таке лінія відображення?

Малюнок\ (\ індекс сторінки {14})

Рішення

Дивлячись на графік, ми бачимо, що відповідні частини передзображення і зображення перетинаються при$y=1$. Тому це лінія роздумів.

Якщо зображення не перетинає зображення, знайдіть середину між точкою попереднього зображення та його зображенням. Ця точка знаходиться на лінії відображення.

Приклад$\PageIndex{6}$

Відображати трапецію$TRAP$ над лінією$y=−x$.

Малюнок$\PageIndex{15}$

Рішення

Фіолетова лінія - це$y=−x$. Можна відобразити трапецію над цією лінією.

$\begin{aligned} T(2,2)\rightarrow T′(−2,−2) \\ R(4,3)\rightarrow R′(−3,−4) \\ A(5,1)&\rightarrow A′(−1,−5) \\ P(1,−1)&\rightarrow P′(1,−1) \end{aligned}$

Малюнок$\PageIndex{16}$

Рецензія

1. Якщо$(5,3)$ відбивається над$y$ -віссю, що таке зображення?
2. Якщо$(5,3)$ відбивається над$x$ -віссю, що таке зображення?
3. Якщо$(5,3)$ відбивається над$y=x$, що таке зображення?
4. Якщо$(5,3)$ відбивається над$y=−x$, що таке зображення?
5. Сюжетні чотири зображення. Яку форму вони роблять? Будьте конкретні.
6. Яка буква є відображенням над вертикальною лінією літери «$b$′′?
7. Яка буква є відображенням над горизонтальною лінією літери «$b$′′?

Відображати кожну фігуру над заданою лінією.

8. $y$-вісь

   

   Малюнок$\PageIndex{17}$

9. $x$-вісь

   

   Малюнок$\PageIndex{18}$

10. $y=3$

    

    Малюнок$\PageIndex{19}$

11. $x=−1$

    

    Малюнок$\PageIndex{20}$

12. $x$-вісь

    

    Малюнок$\PageIndex{21}$

13. $y$-вісь

    

    Малюнок$\PageIndex{22}$

14. $y=x$

    

    Малюнок$\PageIndex{23}$

15. $y=−x$

    

    Малюнок$\PageIndex{24$

16. $x=2$

    

    Малюнок$\PageIndex{25}$

17. $y=−4$

    

    Малюнок$\PageIndex{26}$

18. $y=−x$

    

    Малюнок$\PageIndex{27}$

19. $y=x$

    

    Малюнок$\PageIndex{28}$

Знайдіть лінію відображення синього трикутника (preimage) і червоного трикутника (зображення).

20. 

    Малюнок$\PageIndex{29}$

21. 

    Малюнок$\PageIndex{30}$

22. 

    Малюнок$\PageIndex{31}$

Лексика

Термін	Визначення
Координатна площина	Координатна площина - це сітка, утворена горизонтальною цифровою лінією і вертикальною цифровою лінією, які перетинаються в$(0, 0)$ точці, яка називається початком. Координатна площина також називається декартовою площиною.
Геометричні візерунки	Геометричні візерунки - це візуальні візерунки геометричних фігур, які слідують правилу.
Зображення	Образ - це остаточний вигляд фігури після операції трансформації.
перпендикулярна бісектриса	Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії проходить через середину відрізка лінії і перетинає відрізок лінії в$90^{\circ}$.
перпендикулярні лінії	Перпендикулярні лінії - це лінії, які перетинаються під$90^{\circ}$ кутом.
Передзображення	Попереднє зображення - це оригінальний вигляд фігури в операції трансформації.
Відображення	Відбиття - це перетворення, яке перевертає фігуру на координатній площині через задану лінію без зміни форми або розміру фігури.
Трансформація	Перетворення певним чином переміщує фігуру на координатну площину.
Жорстке перетворення	Жорстке перетворення - це перетворення, яке зберігає відстань і кути, воно не змінює розмір або форму фігури.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 12.5.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Трансформація: Принципи рефлексії - Основні

Види діяльності: Роздуми Обговорення Питання

Навчальні посібники: Види трансформацій Навчальний посібник

Практика: Визначення рефлексії

Реальний світ: Відображення реальності