5.21: Площа регулярних і нерегулярних багатокутників

Половина апофему разів на периметр.

Площа правильних багатокутників

Що робити, якщо вас попросили знайти відстань через Пентагон в Арлінгтоні, штат Віргінія? Пентагон, в якому також знаходиться Міністерство оборони, складається з двох звичайних п'ятикутників з однаковим центром. Вся площа будівлі становить 29 акрів (40,000 квадратних футів в акрі), з додатковим двором 5 акрів в центрі. Довжина кожної зовнішньої стіни становить 921 фут. Яка загальна відстань через п'ятикутник? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Правильний багатокутник - це багатокутник з конгруентними сторонами і кутами. Нагадаємо, що периметр квадрата в 4 рази перевищує довжину сторони, оскільки кожна сторона є конгруентною. Ми можемо розширити цю концепцію до будь-якого регулярного багатокутника.

Периметр регулярного багатокутника: Якщо довжина сторони дорівнює s, а в правильному багатокутнику є$n$ сторони, то периметр дорівнює$P=ns$.

Для того, щоб знайти площу правильного багатокутника, нам потрібно визначити нову термінологію. По-перше, всі правильні багатокутники можуть бути вписані в коло. Отже, правильні багатокутники мають центр і радіус, які є центром і радіусом описуваної окружності. Також як і коло, правильний багатокутник матиме утворений центральний кут. Однак у правильному багатокутнику центральний кут - це кут, утворений двома радіусами, притягнутими до послідовних вершин багатокутника. На малюнку нижче центральний кут -$\angle BAD$. Також зверніть увагу, що$\Delta BAD$ це рівнобедрений трикутник. Кожен правильний багатокутник з n сторонами утворений n рівнобедреними трикутниками. Висота цих рівнобедрених трикутників називається апофемом.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Площа кожного трикутника дорівнює$A_{\Delta} =\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}sa$, де s - довжина сторони, а a - апотема. Якщо в правильному багатокутнику є n сторін, то він складається з n конгруентних трикутників.

Площа регулярного багатокутника: Якщо у правильному багатокутнику є n сторін довжиною s, а a - апотема, то$A=\dfrac{1}{2}asn$ or$A=\dfrac{1}{2}aP$, де$P$ - периметр.

Обчислення периметра

Який периметр правильного восьмикутника з 4-дюймовими сторонами?

Якщо кожна сторона 4 дюйми і є 8 сторін, це означає, що периметр є$8(4\text{ in }) = 32\text{ inches }$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Пошук довжини сторін

Периметр правильного гептагону - 35 см. Яка довжина кожної сторони?

Якщо$P=ns$, то$35\text{ cm }=7s$. Тому,$s=5\text{ cm }$.

Пошук довжини апофему

Знайдіть довжину апофему в правильному восьмикутнику. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Щоб знайти довжину апофема, AB, потрібно буде використовувати коефіцієнти трига. Спочатку знайдіть$m\angle CAD$. Є$360^{\circ}$ навколо точки, так що$m\angle CAD=\dfrac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$. Тепер ми можемо використовувати це, щоб знайти інші два кути в$\Delta CAD$. m\ кут ACB\) і m\ кут АЦП\) рівні, тому що\ Delta CAD\) є прямокутним трикутником.

$\begin{aligned}m\angle CAD+m\angle ACB+m\angle ADC&=180^{\circ} \\ 45^{\circ}+2m\angle ACB&=180^{\circ} \\ 2m\angle ACB&=135^{\circ} \\ m\angle ACB&=67.5^{\circ}\end{aligned}$

Щоб знайти AB, ми повинні використовувати тангенс співвідношення. Можна використовувати або гострий кут.

Малюнок$\PageIndex{5}$

$\begin{aligned}tan67.5^{\circ}&=\dfrac{AB}{6} \\ AB&=6\cdot tan67.5^{\circ}\approx 14.49\end{aligned}$

Повторно переглянута проблема Пентагону

З малюнка нижче ми бачимо, що загальна відстань через Пентагон - це довжина апофема плюс довжина радіуса. Якщо загальна площа Пентагону становить 34 акрів, це 2,720,000 квадратних футів. Тому рівняння площі є,$2720000=\dfrac{1}{2}a(921)(5)$ а апотема становить 590,66 футів. Щоб знайти радіус, ми можемо або використовувати теорему Піфагора, з апофемом і половиною довжини сторони або синусоїдальним співвідношенням. Нагадаємо, з Прикладу 5, що кожен центральний кут у п'ятикутнику$72^{\circ}$, тому ми б використали половину цього для прямокутного трикутника.

$sin36^{\circ}=\dfrac{460.5}{r} \rightarrow r=\dfrac{460.5}{sin36^{\circ}}\approx 783.45\text{ ft }$

Тому загальна відстань поперек дорівнює$590.66+783.45=1374.11\: ft$.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть площу правильного восьмикутника в прикладі C.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

Восьмикутник можна розділити на 8 конгруентних трикутників. Отже, якщо ми знайдемо площу одного трикутника і помножимо її на 8, у нас вийде площа всього восьмикутника.

$A_{octagon}=8(12\cdot 12\cdot 14.49)=695.52 units^2$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти площу правильного багатокутника з радіусом 4.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

INSERTB У цій задачі нам потрібно знайти апофем і довжину сторони, перш ніж ми зможемо знайти площу всього багатокутника. Кожен центральний кут для звичайного п'ятикутника є$\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$. Отже, половина того, щоб зробити прямокутний трикутник з апофемом, є$36^{\circ}$. Нам потрібно використовувати синус і косинус.

Малюнок$\PageIndex{9}$

\ (\ почати {масив} {rlr}
\ sin 36^ {\ circ} & =\ розрив {.5 n} {4} &\ cos 36^ {\ circ} &=\ гідророзриву {a} {4}\\
4\ sin 36^ {\ circ} & =\ гідророзриву {1} {2} n & 4\ cos 36^ {\ circ} &=a\
8\ sin 36^ {\ circ} & = n & a\ приблизно 3,24\\
n &\ приблизно 4.7
\ end {масив}\)

Використовуючи ці дві частини інформації, ми тепер можемо знайти область. $A=12(3.24)(5)(4.7)\approx 38.07 units^2$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Площа правильного шестикутника дорівнює,$54\sqrt{3}$ а периметр - 36. Знайдіть довжину сторін і апотема.

Рішення

Підключіть те, що ви знаєте, як до формул площі, так і периметра, щоб вирішити довжину сторони та апотема.

\ (\ почати {масив} {rlrl}
P & = S n & A & =\ розрив {1} {2} а Р\\
36&= 6 с & 54\ sqrt {3} & =\ frac {1} {2} a (36)\\
s&=6 & 54\ sqrt {3} & =18 a\
3\ sqrt {3} &=a
\ кінець масив}\)

Рецензія

Використовуйте правильний шестикутник нижче, щоб відповісти на наступні питання. Кожна сторона довжиною 10 см.

Малюнок$\PageIndex{10}$

1. Кожен пунктирний відрізок лінії - a (n) ________________.
2. Червоний відрізок лінії - a (n) __________________.
3. У правильному шестикутнику є _____ конгруентні трикутники.
4. У правильному шестикутнику все трикутники _________________.
5. Знайдіть радіус цього шестикутника.
6. Знайдіть апофем.
7. Знайдіть периметр.
8. Знайдіть місцевість.

Знайдіть площу та периметр кожного з наступних правильних багатокутників. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

9. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{14}$

13. Якщо периметр правильного декагона дорівнює 65, яка довжина кожної сторони?
14. Правильний багатокутник має периметр 132, а сторони - 11 одиниць довжини. Скільки сторін має багатокутник?
15. Площа правильного п'ятикутника становить,$440.44\text{ in }^2$ а периметр - 80 дюймів. Знайдіть довжину апофему п'ятикутника.
16. Площа правильного восьмикутника становить,$695.3\text{ cm }^2$ а сторони - 12 см. Яка довжина апофему?

Правильний 20-кутник і правильний 40-кутник вписані в коло радіусом 15 одиниць.

17. Виклик Вивести формулу для площі правильного шестикутника зі сторонами довжини s. Вашою єдиною змінною буде s. Підказка: Використовуйте співвідношення трикутників 30-60-90.
18. Виклик на наступних кроках ви отримаєте альтернативну формулу для знаходження площі правильного багатокутника з n сторін.

Малюнок$\PageIndex{15}$

Ми збираємося почати з мислення багатокутника з n сторін як n конгруентних рівнобедрених трикутників. Суму площ цих трикутників ми знайдемо за допомогою тригонометрії. По-перше, площа трикутника дорівнює$\dfrac{1}{2}bh$. На діаграмі праворуч ця формула області буде$\dfrac{1}{2}sa$, де s - довжина сторони, а a - довжина апофему. На схемі$x$ представлена міра кута вершини кожного рівнобедреного трикутника.

1. Апофем, a, ділить трикутник на два конгруентних прямокутних трикутника. Верхній кут у кожного є$\dfrac{x^{\circ}}{2}$. Знайти$sin(\dfrac{x^{\circ}}{2})$ і$cos(\dfrac{x^{\circ}}{2})$.
2. Вирішіть своє рівняння гріха, щоб знайти вираз для s з точки зору$r$ і$x$.
3. Вирішіть своє рівняння cos, щоб знайти вираз для a з точки зору$r$ і$x$.
4. Підставляємо ці вирази в рівняння для площі одного з трикутників,\ dfrac {1} {2} sa\).
5. Оскільки в n-кутнику буде n трикутників, вам потрібно помножити ваш вираз з частини d на n, щоб отримати загальну площу.
6. Як би ви сказали комусь знайти значення$x$ для регулярного n-кутника?

Використовуйте формулу, отриману в задачі 18, щоб знайти площу правильних багатокутників, описаних у задачах 19-22. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

19. Декагон радіусом 12 см.
20. 20-кутник з радіусом 5 дюймів.
21. 15-кутник з радіусом довжини 8 см.
22. 45-кутник з радіусом довжини 7 дюймів.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.12.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи площі правильних багатокутників

Практика: Площа регулярних і нерегулярних багатокутників