5.9: Паралелограми

Знайти невідомі вимірювання кута чотирикутників з двома парами паралельних сторін.

Паралелограм - це чотирикутник з двома парами паралельних сторін.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Зверніть увагу, що кожна пара сторін позначена паралельно (для останніх двох фігур пам'ятайте, що коли дві лінії перпендикулярні одній лінії, то вони паралельні). Паралелограми мають масу цікавих властивостей.

Факти про паралелограмах

1. Теорема протилежних сторін: Якщо чотирикутник є паралелограмом, то обидві пари протилежних сторін конгруентні.

Якщо

Малюнок$\PageIndex{2}$

потім

Малюнок$\PageIndex{3}$

2. Теорема протилежних кутів: Якщо чотирикутник є паралелограмом, то обидві пари протилежних кутів конгруентні.

Якщо

Малюнок$\PageIndex{4}$

потім

Малюнок$\PageIndex{5}$

3. Теорема послідовних кутів: Якщо чотирикутник є паралелограмом, то всі пари послідовних кутів є додатковими.

Якщо

Малюнок$\PageIndex{6}$

потім

Малюнок$\PageIndex{7}$

$\begin{aligned} m\angle A+m\angle D&=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle B&=180^{\circ} \\ m\angle B+m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C+m\angle D&=180^{\circ} \end{aligned}$

4. Теорема діагоналей паралелограма: Якщо чотирикутник є паралелограмом, то діагоналі розділяють один одного.

Якщо

Малюнок$\PageIndex{8}$

потім

Малюнок$\PageIndex{9}$

Що робити, якщо вам сказали, що$FGHI$ це паралелограм і вам дається довжина FG\) і міра$\angle F$? Що ви можете визначити про$HI$,$\angle H$,$\angle G$, і$\angle I$?

Приклад$\PageIndex{1}$

Покажіть, що діагоналі$FGHJ$ розсікають один одного.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Рішення

Знайдіть середину кожної діагоналі.

$\begin{aligned}\text{ Midpoint of } \overline{FH}:& \left(\dfrac{−4+6}{2}, \dfrac{5−4}{2}\right)=(1,0.5) \\ \text{ Midpoint of } of\: \overline{GJ}: & \left(\dfrac{3−1}{2}, \dfrac{3−2}{2}\tight)=(1,0.5)\end{aligned}$

Оскільки вони є однією точкою, діагоналі перетинаються в середній точці один одного. Це означає, що вони розсікають один одного.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть міри a та b в паралелограмі нижче:

Малюнок$\PageIndex{11}$

Рішення

Послідовні кути є додатковими так$127^{\circ}+m\angle b=180^{\circ}$, що означає, що$m\angle b=53^{\circ}$. $a$і$b$ є чергуються внутрішні кути, і оскільки лінії паралельні (оскільки це паралелограм), це означає, що$m\angle a=m\angle b=53^{\circ}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

$ABCD$є паралелограмом. Якщо$m\angle A=56^{\circ}$, знайдіть міру інших кутів.

Рішення

Спочатку намалюйте малюнок. При маркуванні вершин букви перераховуються, по порядку.

Малюнок$\PageIndex{12}$

Якщо$m\angle A=56^{\circ}$, то$m\angle C=56^{\circ}$ по теоремі протилежних кутів.

\ (\ почати {вирівняний}
&м\ кут A+м\ кут B = 180^ {\ circ}\ quad\ text {за теоремою послідовних кутів.}\\
&56^ {\ circ} +м\ кут B = 124^ {\
circ}\ квадратний кут\ D = 124^ {\ circ}\ квадратний кут\ D = 124^ {\ circ}\ text {тому що це протилежний кут}\ кут B
\ end {вирівняний}\)

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть значення$x$ і$y$.

Малюнок$\PageIndex{13}$

Рішення

Пам'ятайте, що протилежні сторони паралелограма конгруентні. Налаштуйте рівняння і вирішуйте.

$\begin{aligned} 6x−7&=2x+9 \\ 4x&=16 \\ x&=4 \\ y+3&=12 \\ y&=9\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Доведіть теорему протилежних сторін.

Малюнок$\PageIndex{14}$

Рішення

Задано:$ABCD$ є паралелограмом з діагоналлю$\overline{BD}$

Доведіть:$\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$

Заява	Причина
1. $ABCD$являє собою паралелограм з діагоналлю$\overline{BD}$	1. Враховується
2. $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$,$\overline{AD}\parallel \overline{BC}$	2. Визначення паралелограма
3. $\angle ABD\cong \angle BDC$,$\angle ADB\cong \angle DBC$	3. Теорема про альтернативні внутрішні кути
4. $\overline{DB}\cong \overline{DB}$	4. Рефлексивний PoC
5. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	5. АСА
6. $\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$	6. CPCTC

Доказ теореми протилежних кутів майже ідентичний.

Рецензія

$ABCD$є паралелограмом. Заповніть пробіли нижче.

Малюнок$\PageIndex{15}$

1. Якщо$AB=6$, то$CD= \text{______}$.
2. Якщо$AE=4$, то$AC= \text{______}$.
3. Якщо$m\angle ADC=80^{\circ}$,$m\angle DAB = \text{______}$.
4. Якщо$m\angle BAC=45^{\circ}$,$m\angle ACD = \text{______}$.
5. Якщо$m\angle CBD=62^{\circ}$,$m\angle ADB = \text{______}$.
6. Якщо$DB=16$, то$DE = \text{______}$.
7. Якщо$m\angle B=72^{\circ}$ в паралелограмі$ABCD$, знайдіть інші три кути.
8. Якщо$m\angle S=143^{\circ}$ в паралелограмі$PQRS$, знайдіть інші три кути.
9. Якщо$\overline{AB}\perp \overline{BC}$ в паралелограмі$ABCD$, знайдіть міру всіх чотирьох кутів.
10. Якщо$m\angle F=x^{\circ}$ в паралелограмі$EFGH$, знайдіть інші три кути.

Для питань 11-18 знайдіть значення змінної (ів). Всі наведені нижче цифри - паралелограми.

11. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{17}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{18}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{19}$

15. 

    Малюнок$\PageIndex{20}$

16. 

    Малюнок$\PageIndex{21}$

17. 

    Малюнок$\PageIndex{22}$

18. 

    Малюнок$\PageIndex{23}$

Використовуйте паралелограм$WAVE$, щоб знайти:

Малюнок$\PageIndex{24}$

19. $m\angle AWE$
20. $m\angle ESV$
21. $m\angle WEA$
22. $m\angle AVW$

Знайдіть точку перетину діагоналей, щоб побачити, чи$EFGH$ є паралелограмом.

23. $E(−1,3), F(3,4), G(5,−1), H(1,−2)$
24. $E(3,−2), F(7,0), G(9,−4), H(5,−4)$
25. $E(−6,3), F(2,5), G(6,−3), H(−4,−5)$
26. $E(−2,−2), F(−4,−6), G(−6,−4), H(−4,0)$

Заповніть пропуски в докази нижче.

27. Теорема протилежних кутів

Малюнок$\PageIndex{25}$

Задано:$ABCD$ є паралелограмом з діагоналлю$\overline{BD}$

Доведіть:$\angle A\cong \angle C$

Заява	Причина
1.	1. Враховується
2. $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$,$\overline{AD}\parallel \overline{BC}$	2.
3.	3. Теорема про альтернативні внутрішні кути
4.	4. Рефлексивний PoC
5. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	5.
6. $\angle A\cong \angle C$	6.

28. Теорема діагоналей паралелограма

Малюнок$\PageIndex{26}$

Задано:$ABCD$ це паралелограм з діагоналями$\overline{BD}$ і$\overline{AC}$

Доведіть:$\overline{AE}\cong \overline{EC}$,$\overline{DE}\cong \overline{EB}$

Заява	Причина
1.	1.
2.	2. Визначення паралелограма
3.	3. Теорема про альтернативні внутрішні кути
4. $\overline{AB}\cong \overline{DC}$	4.
5.	5.
6. $\overline{AE}\cong \overline{EC}$,$\overline{DE}\cong \overline{EB}$	6.

29. Знайти$x$,$y^{\circ}$, і$z^{\circ}$. (Два чотирикутника з однаковою стороною - паралелограми.)

Малюнок$\PageIndex{27}$

Лексика

Термін	Визначення
паралелограм	Чотирикутник з двома парами паралельних сторін. Паралелограм може бути прямокутником, ромбом або квадратом, але не повинен бути жодним з трьох.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи паралелограм - Основні

Діяльність: Паралелограми Питання обговорення

Навчальні посібники: паралелограми навчальний посібник

Практика: Паралелограми

Реальний світ: Паралелограми