5.8: Класифікація паралелограм

Прямокутники, ромби та квадрати - це паралелограми, визначені їх діагоналями, кутами та сторонами.

Класифікація паралелограмів

Прямокутники, ромби (їх ще називають ромбами) і квадрати - все це більш специфічні варіанти паралелограмів, які також називають спеціальними паралелограмами.

• Чотирикутник - це прямокутник тоді і тільки тоді, коли він має чотири правих (конгруентні) кути.

Малюнок$\PageIndex{1}$

$ABCD$це прямокутник, якщо і тільки якщо$\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D$.

• Чотирикутник - це ромб тоді і тільки тоді, коли він має чотири конгруентні сторони.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$ABCD$це ромб, якщо і тільки якщо$\overline{AB}\cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{AD}$.

• Чотирикутник - це квадрат тоді і тільки тоді, коли він має чотири прямі кути і чотири конгруентні сторони. За визначенням квадрат - це прямокутник і ромб.

Малюнок$\PageIndex{3}$

$ABCD$квадрат, якщо і тільки якщо$\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D$ і$\overline{AB}\cong \overline{BC} \cong \overline{CD} \cong \overline{AD}$.

Ви завжди можете показати, що паралелограм - це прямокутник, ромб або квадрат, використовуючи визначення цих фігур. Є кілька додаткових способів довести, що паралелограми є прямокутники і ромби, показані нижче:

1. Паралелограм - це прямокутник, якщо діагоналі конгруентні.

Малюнок$\PageIndex{4}$

$ABCD$є паралелограмом. Якщо$\overline{AC}\cong \overline{BD}$, то$ABCD$ теж прямокутник.

2. Паралелограм - це ромб, якщо діагоналі перпендикулярні.

Малюнок$\PageIndex{5}$

$ABCD$є паралелограмом. Якщо$\overline{AC}\perp \overline{BD}$,$ABCD$ то ще й ромб.

3. Паралелограм - це ромб, якщо діагоналі розділяють кожен кут.

Малюнок$\PageIndex{6}$

$ABCD$є паралелограмом. Якщо$\overline{AC}$$\angle BAD$ бісекції$\angle BCD$ і$\angle ABC$ і$\overline{BD}$$\angle ADC$ бісекції і,$ABCD$ то теж ромб.

Що робити, якщо вам дали паралелограм і інформацію про його діагоналі? Як ви можете використовувати цю інформацію, щоб класифікувати паралелограм як прямокутник, ромб та/або квадрат?

Приклад$\PageIndex{1}$

Це прямокутник ІНОДІ, ЗАВЖДИ, або НІКОЛИ не паралелограм? Поясніть чому.

Рішення

Прямокутник має два набори паралельних сторін, тому він ЗАВЖДИ є паралелограмом.

Приклад$\PageIndex{2}$

Чотирикутник ІНОДІ, ЗАВЖДИ або НІКОЛИ не п'ятикутник? Поясніть чому.

Рішення

Чотирикутник має чотири сторони, тому він НІКОЛИ не буде п'ятикутником з п'ятьма сторонами.

Приклад$\PageIndex{3}$

Які типи паралелограма наведені нижче цифри?

Малюнок$\PageIndex{7}$

Малюнок$\PageIndex{8}$

Рішення

Для першої фігури всі сторони конгруентні і один кут є$135^{\circ}$, тому кути не конгруентні. Це ромб.

Для другої фігури всі чотири кути конгруентні, але сторони - ні. Це прямокутник.

Приклад$\PageIndex{4}$

Ромб ІНОДІ, ЗАВЖДИ або НІКОЛИ не квадрат? Поясніть чому.

Рішення

Ромб має чотири конгруентні сторони, а квадрат має чотири конгруентні сторони та кути. Тому ромб - це квадрат, коли він має конгруентні кути. Це означає, що ромб іноді є квадратом.

Приклад$\PageIndex{5}$

Перерахуйте все, що ви знаєте про квадрат$SQRE$.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Рішення

Квадрат має всі властивості паралелограма, прямокутника і ромба.

Властивості паралелограма	Властивості ромба	Властивості прямокутника
$\overline{SQ}\parallel \overline{ER}$	$\overline{SQ}\cong \overline{ER}\cong \overline{SE}\cong \overline{QR}$	$m\angle SER=m\angle SQR=m\angle QSE=m\angle QRE=90^{\circ}$
$\overline{SE}\parallel \overline{QR}$	$\overline{SR}\perp \overline{QE}$
	$\angle SEQ\cong \angle QER\cong \angle SQE\cong \angle EQR$	$\overline{SR}\cong \overline{QE}$
	$\angle QSR\cong \angle RSE\cong \angle QRS\cong \angle SRE$	$\overline{SA}\cong \overline{AR}\cong \overline{QA}\cong \overline{AE}$

Всі двосекційні кути є$45^{\circ}$.

Рецензія

1. $RACE$являє собою прямокутник. Знайти:
   1. $RG$
   2. $AE$
   3. $AC$
   4. $EC$
   5. $m\angle RAC$

   Малюнок$\PageIndex{10}$

2. $DIAM$є ромб. Знайти:
   1. $MA$
   2. $MI$
   3. $DA$
   4. $m\angle DIA$
   5. $m\angle MOA$

   Малюнок$\PageIndex{11}$

3. $CUBE$являє собою квадрат. Знайти:
   1. $m\angle UCE$
   2. $m\angle EYB$
   3. $m\angle UBY$
   4. $m\angle UEB$

   

   Малюнок$\PageIndex{12}$

Для питань 4-15 визначте, чи є чотирикутник паралелограмом, прямокутником, ромбом, квадратом чи ні.

4. 

   Малюнок$\PageIndex{13}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{14}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{15}$

7. 

   Малюнок$\PageIndex{16}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{17}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{18}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{19}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{20}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{21}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{22}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{23}$

15. 

    Малюнок$\PageIndex{24}$

Для питань 16-19 визначте, чи завжди, колись чи ніколи не відповідають дійсності наступне. Поясніть свої міркування.

16. Прямокутник - це ромб.
17. Квадрат - це паралелограм.
18. Паралелограм регулярний.
19. Квадрат - це прямокутник.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.5.

Лексика

Термін	Визначення
прямокутник	Паралелограм - це прямокутник тоді і лише тоді, коли він має чотири правих (конгруентні) кути
ромб	Паралелограм - це ромб тоді і тільки тоді, коли він має чотири конгруентні сторони
квадрат	Паралелограм - це квадрат тоді і тільки тоді, коли він має чотири прямі кути і чотири конгруентні сторони.
зворотний	Якщо умовний оператор є$p\rightarrow q$ ($p$if, то$q$), то зворотним є$q\rightarrow p$ (if$q$, то$p$. Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним.
Паралелограм	Паралелограм - це чотирикутник з двома парами паралельних сторін.
Рефлексивне властивість конгруентності	$\overline{AB}\cong \overline{AB}$або$\angle B\cong \angle B$

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи класифікації паралелограм - основні

Діяльність: Класифікація паралелограм Питання обговорення

Навчальні посібники: паралелограми навчальний посібник

Практика: Класифікація паралелограм

Реальний світ: Паралелограми