4.36: Класифікація відстані та трикутника з використанням теореми Піфагора

Знайдіть відсутні сторони, щоб обчислити площу.

Застосування теореми Піфагора

Знайти висоту рівнобедреного трикутника

Один із способів використання теореми Піфагора - знайти висоту рівнобедреного трикутника (див. Приклад 1).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Доведіть формулу відстані

Ще одним застосуванням теореми Піфагора є формула відстані. Доведемо це тут.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Почнемо з точки\(A(x_1,y_1)\) і точки\(B(x_2, y_2)\). Ми будемо називати відстань між\(A\) і\(B\),\(d\).

Намалюйте вертикальну і горизонтальну довжини, щоб вийшов прямокутний трикутник.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Тепер, коли у нас є прямокутний трикутник, ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти гіпотенузу,\(d\).

\(\begin{align*} d^2=(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2 \\ d=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2} \end{align*} \)

Формула відстані: Відстань між\(A(x_1, y_1)\) і\(B(x_2, y_2)\) є\(d=\sqrt{(x_1−x_2)^2+(y_1−y_2)^2}\).

Класифікувати трикутник як гострий, правий або тупий

Ми можемо розширити зворотне теореми Піфагора, щоб визначити, чи трикутник є тупим або гострим трикутником.

Гострі трикутники: Якщо сума квадратів двох коротших сторін прямокутного трикутника більша за квадрат найдовшої сторони, то трикутник гострий.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Для\(b<c\) і\(a<c\), якщо\(a^2+b^2>c^2\), то трикутник гострий.

Тупі трикутники: Якщо сума квадратів двох коротших сторін прямокутного трикутника менше квадрата найдовшої сторони, то трикутник тупий.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Для\(b<c\) і\(a<c\), якщо\(a^2+b^2<c^2\), то трикутник тупий.

Що робити, якщо вам дали рівносторонній трикутник, в якому всі сторони вимірювали 4 дюйма? Як ви могли використовувати теорему Піфагора, щоб знайти висоту трикутника?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Яка висота рівнобедреного трикутника?

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Рішення

Намалюйте висоту від вершини між конгруентними сторонами, яка буде розділяти основу.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

\(\begin{align*} 7^2+h^2&=9^2 \\ 49+h^2&=81 \\ h^2&=32 \\ h&=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\end{align*}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти відстань між\((1, 5)\) і\((5, 2)\).

Рішення

Зробити\(A(1,5)\) і\(B(5,2)\). Підключіть до формули відстані.

\(\begin{align*} d &=\sqrt{(1−5)^2+(5−2)^2} \\ &=\sqrt{(−4)^2+(3)^2} \\ &=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\end{align*}\)

Так само, як і довжини сторін трикутника, відстані завжди позитивні.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Графік\(A(−4,1)\),\(B(3,8)\), і\(C(9,6)\). Визначте, чи\(\Delta{ABC}\) є гострим, тупим, або правий.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Рішення

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти довжину кожної сторони.

\(\begin{align*} AB&=\sqrt{(−4−3)^2+(1−8)^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98} \\ BC &=\sqrt{(3−9)^2+(8−6)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} \\ AC &=\sqrt{(−4−9)^2+(1−6)^2}=\sqrt{169+25}=\sqrt{194}\end{align*}\)

Підключіть ці довжини до теореми Піфагора.

\(\begin{align*} \sqrt{98})^2+(\sqrt{40})^2 &? (\sqrt{194})^2 \\ 98+40 &? 194 \\ 138 &< 194\end{align*}\)

\(\Delta{ABC}\)є тупим трикутником.

Для прикладів 4 і 5 визначте, чи трикутники є гострими, правильними або тупими.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Встановіть найдовшу сторону в c.

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення

\(\begin{align*} 15^2+14^2 &? \: 21^2 \\ 225+196 &? \: 441 \\ 421 &< 441\end{align*}\)

Трикутник тупий.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Встановіть найдовшу сторону\(c\).

Рішення

Трикутник з довжиною сторін 5, 12, 13.

\(5^2+12^2=13^2\)так що цей трикутник є правильним.

Рецензія

Знайдіть висоту кожного рівнобедреного трикутника нижче. Спрощення всіх радикалів.

1. 

   Малюнок\(\PageIndex{10}\)

2. 

   Малюнок\(\PageIndex{11}\)

3. 

   Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Знайдіть довжину між кожною парою точок.

4. \((-1, 6)\)і\((7, 2)\)
5. \((10, -3)\)і\((-12, -6)\)
6. \((1, 3)\)і\((-8, 16)\)
7. Яка довжина і ширина 42-дюймового HDTV? Округлите відповідь до найближчої десятої.
8. Телевізори стандартної чіткості мають співвідношення довжини і ширини 4:3. Яка довжина та ширина телевізора стандартної чіткості 42»? Округлите відповідь до найближчої десятої.

Визначте, чи є наступні трикутники гострими, правильними або тупими.

9. 7, 8, 9
10. 14, 48, 50
11. 5, 12, 15
12. 13, 84, 85
13. 20, 20, 24
14. 35, 40, 51
15. 39, 80, 89
16. 20, 21, 38
17. 48, 55, 76

Графік кожної множини точок і визначте, чи\ Delta {ABC} є гострим, правим або тупим, використовуючи формулу відстані.

18. \(A(3,−5), B(−5,−8), C(−2,7)\)
19. \(A(5,3), B(2,−7), C(−1,5)\)
20. \(A(1,6), B(5,2), C(−2,3)\)
21. \(A(−6,1), B(−4,−5), C(5,−2)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.3.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
гострий трикутник	Трикутник, де всі кути менше 90.
Тупий трикутник	Тупий трикутник - це трикутник з одним кутом, який більше 90 градусів.
Формула відстані	Відстань між двома точками\((x_1,y_1)\) і\((x_2, y_2)\) може бути визначено як\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.
Вершина	Вершина - це точка перетину ліній або променів, які утворюють кут.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Теорема Піфагора та зворотне значення теореми Піфагора

Види діяльності: Застосування теореми Піфагора Дискусійні питання

Практика: Класифікація відстані та трикутника з використанням теореми Піфагора