4.32: Застосування теореми Піфагора
- Page ID
- 54863
Відкрийте, геометрично доведіть та застосуйте теорему Піфагора.
Довжини сторін трикутника з використанням теореми Піфагора
Ви тільки що підписалися, щоб бути помічником архітектора в новому офісі в центрі міста. Вас просять намалювати масштабну модель скульптури для бізнес-площі. Скульптура має великий трикутний шматок, де один з кутів між сторонами становить дев'яносто градусів. Цей тип трикутника називається «прямокутним трикутником». Архітектор, над яким ви працюєте, входить в кімнату і говорить вам, що сторони трикутника, які утворюють прямий кут, становлять 9 футів і 12 футів. Чи можете ви сказати, як довго третя сторона?
Пошук довжини сторін трикутника з використанням теореми Піфагора
З геометрії нагадаємо, що теорема Піфагора - це\(a^2+b^2=c^2\) де\(a\) і\(b\) є катетами прямокутного трикутника, а c - гіпотенуза. Також сторона, протилежна куту, є нижнім регістрам, а кут - верхній регістр. Наприклад, кут\(A\) протилежної сторони\(a\).
Теорема Піфагора використовується для розв'язання сторін прямокутного трикутника.
Використання теореми Піфагора
1.
\(a=8\),\(b=15\), нам потрібно знайти гіпотенузу.
\(\begin{align*} 82+152 &= c^2 \\ 64+225 &= c^2 \\ 289 &= c^2 \\ 17 &= c\end{align*}\)
Зверніть увагу, ми не включаємо -17 як рішення, оскільки від'ємне число не може бути стороною трикутника.
2.
Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню ніжку.
\(\begin{align*}(5\sqrt{7})^2+x^2 &= (5\sqrt{13})^2 \\ 25\cdot 7+x^2 &= 25\cdot 13 \\ 175+x^2 &= 325 \\ x^2 &= 150 \\ x &= 5\sqrt{6}\end{align*}\)
3. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню ніжку в трикутнику вище.
\(\begin{align*}10^2+x^2 &= (10\sqrt{2})^2 \\ 100+x^2 &= 100\cdot 2 \\ 100+x^2 &= 100 \\ x^2 &= 100 \\ x &= 10\end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Раніше вам поставили проблему з проханням намалювати масштабну модель скульптури для бізнес-площі.
Рішення
З вашим знанням теореми Піфагора, ви можете побачити, що трикутник має сторони з довжиною 9 футів і 12 футів. Ви працюєте, щоб знайти гіпотенузу:
\(\begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 \\ 9^2+12^2 &= c^2 \\ 81+144 &= c^2 \\ 225 &= c^2 \\ (\sqrt{225}) &= 15=c\end{align*}\)
Зважаючи на те, що довжина третьої сторони трикутника становить 15 футів, ви можете легко побудувати свою масштабну модель.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону наступного трикутника:
Рішення
\(a=1\),\(b=8\), нам потрібно знайти гіпотенузу.
\(\begin{align*} 1^2+8^2 &= c^2 \\ 1+64 &= c^2 \\ 65 &= c^2 \\ \sqrt{65} &= c\end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону наступного трикутника:
Рішення
\(a=3\),\(b=11\), Нам потрібно знайти довжину сторони\(c\), гіпотенузи.
\(\begin{align*} 3^2+11^2 &= c^2 \\ 9+121 &= c^2 \\ 130 &= c^2 \\ \sqrt{130} &= c \end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Знайдіть відсутню сторону прямокутного трикутника внизу. Залиште відповідь в найпростішій радикальній формі.
Рішення
a=7, c=18, нам потрібно знайти довжину сторони\(b\).
\(\begin{align*} 7^2+b^2 &= 18^2 \\ 49+b^2 &= 18^2 \\ 324−49 &= b^2 \\ 275 &= b^2 \\ \sqrt{275} &= b\end{align*} \)
Рецензія
Знайдіть відсутні сторони правильних трикутників. Залишайте відповіді в найпростішій радикальній формі.
- Якщо катети прямокутного трикутника 3 і 4, то гіпотенуза дорівнює _____________.
- Якщо катети прямокутного трикутника - 6 і 8, то гіпотенуза дорівнює _____________.
- Якщо катети прямокутного трикутника 5 і 12, то гіпотенуза дорівнює _____________.
- Якщо сторони квадрата довжиною 6, то діагональ - _____________.
- Якщо сторін квадрата 9, то діагональ - _____________.
- Якщо сторони квадрата є\(x\), то діагональ - _____________.
- Якщо катети прямокутного трикутника 3 і 7, то гіпотенуза дорівнює _____________.
- Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють\(2\sqrt{5}\) і 6, то гіпотенуза дорівнює _____________.
- Якщо один катет прямокутного трикутника дорівнює 4, а гіпотенуза - 8, то інший катет _____________.
- Якщо один катет прямокутного трикутника дорівнює 10, а гіпотенуза - 15, то інший катет _____________.
- Якщо один катет прямокутного трикутника є\(4\sqrt{7}\)\(10\sqrt{6}\), а гіпотенуза - то інший катет _____________.
- Якщо катети прямокутного трикутника -\(x\) і\(y\), то гіпотенуза дорівнює ____________.
Доказ теореми Піфагора
Скористайтеся зображенням нижче, щоб відповісти на наступні питання.
- Знайти площу квадрата на зображенні зі сторонами (a+b).
- Знайти суму площ квадрата зі сторонами c і правильних трикутників з ніжками a і b.
- Поясніть, чому області, знайдені в попередніх двох проблемах, повинні мати однакове значення. Потім встановіть вирази рівні один одному і спростіть, щоб отримати теорему Піфагора.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.1.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Теорема Піфагора | Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника. |
Додаткові ресурси
Інтерактивний елемент
Практика: Застосування теореми Піфагора