4.29: Теорема Піфагора для класифікації трикутників

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.28: Основи теореми Піфагора
- 4.30: Піфагорійська трійка

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Довжини сторін трикутника за допомогою теореми Піфагора для класифікації трикутників як тупих, гострих або правих.

Одного разу малюючи стіну у вашому домі, ви розумієте, що стіна, яку ви малюєте, здається «нахиленою», ніби вона може впасти. Ви розумієте, що якщо стіна стоїть вертикально, кут між стіною і підлогою становить дев'яносто градусів. Після кількох ретельних вимірювань ви виявите, що відстань від нижньої частини сходів до стіни становить 3 фути, верхня частина сходів знаходиться в точці 10 футів вгору на стіні, а сходи довжиною 12 футів. Чи можете ви визначити, чи стіна все ще стоїть вертикально, або якщо вона починає нахилятися?

Класифікація трикутників за допомогою теореми Піфагора

Ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб допомогти визначити, чи трикутник є прямокутним трикутником, якщо він гострий, чи тупий.

Щоб допомогти вам візуалізувати це, подумайте про рівносторонній трикутник зі сторонами довжиною 5. Ми знаємо, що це гострий трикутник. Якщо підключити 5 для кожного числа в теоремі Піфагора, ми отримаємо $5^2+5^2=5^2$ і $50>25$ . Тому якщо $a^2+b^2>c^2$ , то довжини $a$ $b$ , і $c$ складають гострий трикутник. І навпаки $a^2+b^2<c^2$ , якщо, то довжини $a$ $b$ , і $c$ складають сторони тупого трикутника. Важливо відзначити, що довжина « $c$ ′′ завжди найдовша.

Використання теореми Піфагора

Визначте, якщо наступні довжини роблять гострий, правий або тупий трикутник.

5, 6, 7

Підключіть кожен набір довжин до теореми Піфагора.

$5^2+6^2? 7^2$

$25+36? 49$

$61 >49$

Тому що $61>49$ , це гострий трикутник.

5, 10, 14

Підключіть кожен набір довжин до теореми Піфагора.

$5^2+10^2? 14^2$

$25+100? 196$

$125 <196$

Тому що $125<196$ , це тупий трикутник.

12, 35, 37

Підключіть кожен набір довжин до теореми Піфагора.

$12^2+35^2? 37^2$

$144+1225? 1369$

$1369 =1369$

Оскільки дві сторони рівні, це прямокутний трикутник.

ПРИМІТКА: Всі довжини в наведеній вище задачі представляють довжини сторін трикутника. Згадайте теорему нерівності трикутника з геометрії, яка говорить: Довжина сторони в трикутнику менша за суму двох інших сторін. Наприклад, 4, 7 і 13 не можуть бути сторонами трикутника, $4+7$ оскільки вони не перевищують 13.

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему, запитуючи, чи стіна все ще стоїть вертикально, або вона починає нахилятися.

Рішення

Сходи роблять трикутником з підлогою як одну сторону, стіною - іншою, а гіпотенузою служить сама сходи. Щоб побачити, чи нахиляється стіна, можна визначити тип трикутника, який зроблений з цими довжинами (правим, гострим або тупим). Якщо трикутник являє собою прямокутний трикутник, то стіна стоїть вертикально. В іншому випадку вона нахиляється.

Підключення довжин сторін до теореми Піфагора:

$3^2+10^2? 12^2$

$9+100 ? 144$

$109 <144$

Так, ви мали рацію. Тому що $109 < 144$ , це тупий трикутник. Стіна спирається з кутом більше дев'яноста градусів.

Приклад $\PageIndex{2}$

Визначте, якщо наступні довжини роблять гострий, правий або тупий трикутник.

8, 15, 20

Рішення

Підключіть кожен набір довжин до теореми Піфагора.

$8^2+15^2? 20^2$

$64+225? 400$

$289 <400$

Тому що $289<400$ , це тупий трикутник.

Приклад $\PageIndex{3}$

Визначте, якщо наступні довжини роблять гострий, правий або тупий трикутник.

15, 22, 25

Рішення

Підключіть кожен набір довжин до теореми Піфагора.

$15^2+22^2? 25^2$

$225+484? 625$

$709>625$

Тому що $709>625$ , це гострий трикутник.

Рецензія

Визначте, чи кожна з наступних довжин зробити прямокутним трикутником.

$9, \:40,\: 41.$
$12, \:24, \:26.$
$5, \:10, \:14.$
$3, \:3\sqrt{3}, \:6.$

Визначте, якщо наступні довжини роблять гострий, правий або тупий трикутник.

$10, \:15, \:18.$
$4, \:20, \:21.$
$15, \:16, \:17.$
$15, \:15, \:15\sqrt{2}.$
$12, \:17, \:19.$
$3, \:4, \:5.$
$12, \:12\sqrt{3}, \:24.$
$2, \:4, \:5.$
$3,\: 5,\: 7.$
Поясніть, чому якщо $a^2+b^2<c^2$ тоді трикутник тупий.
Поясніть, чому якщо $a^2+b^2>c^2$ тоді трикутник гострий.

Лексика

Термін	Визначення
Гострий трикутник	Гострий трикутник має три кути, кожен з яких вимірює менше 90 градусів.
Тупий трикутник	Тупий трикутник - це трикутник з одним кутом, який більше 90 градусів.
Правий трикутник	Прямокутний трикутник - це трикутник з одним кутом 90 градусів.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Теорема Піфагора та зворотне значення теореми Піфагора

Практика: Теорема Піфагора для класифікації трикутників