4.27: Теорема Піфагора
- Page ID
- 54837
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів у прямих трикутниках.
Дві коротші сторони прямокутного трикутника (сторони, що утворюють прямий кут) - катети, а довша сторона (сторона, протилежна прямому куту) - гіпотенуза. Для теореми Піфагора катети «\(a\)» і «\(b\)», а гіпотенуза - «\(c\)».
Теорема Піфагора: Дано прямокутний трикутник з катетами довжин a і b і гіпотенузою довжини\(c\),\(a^2+b^2=c^2\).
Зворотне значення теореми Піфагора також вірно. Це дозволяє довести, що трикутник - це прямокутний трикутник, навіть якщо ви не знаєте його кутових вимірювань.
Теорема Піфагора Converse: Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник є прямокутним трикутником.
Якщо\(a^2+b^2=c^2\), то\(\Delta ABC\) це прямокутний трикутник.
Піфагорійська трійка
Комбінація з трьох чисел, яка робить теорему Піфагора істинною, називається трійкою Піфагора. Кожен набір чисел нижче - це піфагорійська трійка.
\(3,4,5 \qquad 5,12,13\qquad 7,24,25\qquad 8,15,17\qquad 9,12,15\qquad 10,24,26\)
Будь-яка кратна трійці Піфагора також вважається трійкою Піфагора. Множення 3, 4, 5 на 2 дає 6, 8, 10, що є ще однією трійкою. Щоб побачити, чи набір чисел робить трійку Піфагора, підключіть їх до теореми Піфагора.
Що робити, якщо вам сказали, що трикутник має довжину сторін 5, 12 і 13? Як ви могли визначити, чи трикутник був правильним?
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Яка діагональ прямокутника зі сторонами 10 і 16?
Рішення
Для будь-якого квадрата і прямокутника можна використовувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину діагоналі. Підключіть в сторони, щоб знайти\(d\).
\(\begin{align*} 10^2+16^2=d^2 \\ 100+256=d^2 \\ 356&=d^2 \\ d&=\sqrt{356}=2\sqrt{89}\approx 18.87 \end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Чи роблять 6, 7 і 8 сторони прямокутного трикутника?
Рішення
Підключіть три числа до теореми Піфагора. Пам'ятайте, що найбільшою довжиною завжди буде гіпотенуза, c. якщо\(6^2+7^2=8^2\), то вони є сторонами прямокутного трикутника.
\(\begin{align*} 6^2+7^2&=36+49=85& \\ 8^2&=64&\qquad 85 \neq 64,\: so\: the \:lengths \:are \:not \:the \:sides \:of \:a \:right \:triangle.\end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Знайти довжину гіпотенузи.
Рішення
Використовуйте теорему Піфагора. Набір\(a=8\) і\(b=15\). Вирішити для\(c\).
\(\begin{align*} 8^2+152&=c^2 \\ 64+225&=c^2 \\ 289&=c^2 \qquad Take\: the \:square \:root \:of \:both \:sides. \\ 172&=c\end{align*}\)
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Чи є 20, 21, 29 піфагорійською трійкою?
Рішення
Якщо\(20^2+21^2=29^2\), то множина - це піфагорійська трійка.
\(\begin{align*} 20^2+21^2&=400+441=841 \\ 29^2&=841 \end{align*}\)
Тому 20, 21 і 29 - це піфагорійська трійка.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Визначте, чи трикутники нижче є прямими трикутниками.
Перевірте, чи задовольняють три довжини теоремі Піфагора. Нехай найдовша сторона представляє c.
Рішення
\(\begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \\ 82+162 &\stackrel{?}{=}(8\sqrt{5})2 \\ 64+256 &\stackrel{?}{=}64\cdot 5 \\ 320&=320\qquad Yes\end{align*} \)
\(\begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \\ 22^2+24^2&\stackrel{?}{=}262 \\ 484+576 &\stackrel{?}{=}676 \\ 1060 &\neq 676\qquad No\end{align*}\)
Рецензія
Знайдіть довжину відсутньої сторони. Спрощення всіх радикалів.
- Якщо катети прямокутного трикутника 10 і 24, то гіпотенуза дорівнює __________.
- Якщо сторони прямокутника 12 і 15, то діагональ - _____________.
- Якщо сторін квадрата 16, то діагональ - ____________.
- Якщо сторін квадрата 9, то діагональ - _____________.
Визначте, чи є наступні набори чисел Піфагорійськими трійками.
- 12, 35, 37
- 9, 17, 18
- 10, 15, 21
- 11, 60, 61
- 15, 20, 25
- 18, 73, 75
Визначте, чи роблять наступні довжини прямокутний трикутник.
- 7, 24, 25
- \(\sqrt{5},2\sqrt{10},3\sqrt{5}\)
- \(2\sqrt{3},\sqrt{6},8\)
- 15, 20, 25
- 20, 25, 30
- \(8\sqrt{3},6,2\sqrt{39}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.2.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Теорема Піфагора | Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника. |
Піфагорійська трійка | Комбінація з трьох чисел, яка робить теорему Піфагора істинною. |
Коло | Коло - це сукупність всіх точок на певній відстані від заданої точки в двох вимірах. |
Конічна | Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи. |
вироджений конічний | Вироджена конічна коніка - це конічний, який не має звичних властивостей конічного перерізу. Оскільки деякі коефіцієнти загального конічного рівняння дорівнюють нулю, то базовою формою коніки є просто точка, пряма або пара пересічних ліній. |
Еліпс | Еліпси - це конічні зрізи, які мають вигляд витягнутих кіл. Еліпс представляє всі місця в двох вимірах, які знаходяться на однаковій відстані від двох заданих точок, які називаються вогнищами. |
гіпербола | Гіпербола - це конічний переріз, утворений, коли січна площина перетинає обидві сторони конуса, в результаті чого утворюються дві нескінченні «U» -образні криві. |
Гіпотенуза | Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута. |
Ніжки прямокутного трикутника | Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута. |
Парабола | Парабола - це характерна форма квадратичного графіка функції, що нагадує «U». |
Піфагорейське число потрійне | Піфагорійська трійка - це набір з трьох цілих чисел a, b і c, які задовольняють теоремі Піфагора,\(a^2+b^2=c^2\). |
Правий трикутник | Прямокутний трикутник - це трикутник з одним кутом 90 градусів. |
Додаткові ресурси
Інтерактивний елемент
Відео: Використання принципів теореми Піфагора - Основні
Види діяльності: Теорема Піфагора та Піфагорейська трійка Дискусійні питання
Навчальні посібники: Посібник з вивчення теореми Піфагора
Практика: Теорема Піфагора
Реальний світ: Піфагор ТВ