4.16: ГЛ

Конгруентність трикутника HL

Теорема про конгруентність гіпотенузи-ноги

Якщо гіпотенуза і катет в одному прямокутному трикутнику конгруентні гіпотенузі і катета в іншому прямокутному трикутнику, то два трикутника конгруентні. Це називається теоремою конгруентності гіпотенузи-ноги (HL). Зверніть увагу, що він буде працювати тільки для прямих трикутників.

Якщо$\Delta ABC$ і$\Delta XYZ$ обидва правильні трикутники$\overline{AB}\cong \overline{XY}$ і$\overline{BC}\cong \overline{YZ}$ то$\Delta ABC\cong \Delta XYZ$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Що робити, якщо вам дали два правильних трикутника і забезпечили лише мірою їх гіпотенусів і одного з їхніх катетів? Як ви могли визначити, чи два правильні трикутники були конгруентними?

Приклад$\PageIndex{1}$

Заповніть пропуски в доказі нижче.

Дано:

$\overline{SV}\perp \overline{WU}$

$T$є середньою точкою$\overline{SV}$ і$\overline{WU}$

Доведіть:$\overline{WS}\cong \overline{UV}$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Заява	Причина
1.	1.
2. $\angle STW$і$\angle UTV$ є прямими кутами	2.
3.	3.
4. $\overline{ST}\cong \overline{TV}$,$\overline{WT}\cong \overline{TU}$	4.
5. $\Delta STW\cong \Delta UTV$	5.
6. $\overline{WS}\cong \overline{UV}$	6.

Заява	Причина
1. $\overline{SV}\perp \overline{WU}$	1. Враховується
2. $\angle STW$і$\angle UTV$ є прямими кутами	2. Визначення перпендикулярних ліній.
3. $T$є середньою точкою$\overline{SV}$ і$\overline{WU}$	3. Враховується
4. $\overline{ST}\cong \overline{TV}$,$\overline{WT}\cong \overline{TU}$	4. Визначення середньої точки
5. $\Delta STW\cong \Delta UTV$	5. САС
6. $\overline{WS}\cong \overline{UV}$	6. CPCTC

Зверніть увагу, що хоча це були правильні трикутники, ми не використовували ярлик конгруентності HL, тому що ми спочатку не дали, що дві гіпотенуси були конгруентними. У цьому випадку ярлик конгруентності SAS був швидшим.

Приклад$\PageIndex{2}$

Поясніть, чому працює ярлик HL Congruence.

Теорема Піфагора, яка говорить, що для будь-якого прямокутного трикутника це рівняння вірно:

$(leg)^2+(leg)^2=(hypotenuse)^2$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Це означає, що якщо вам дано дві сторони прямокутного трикутника, ви завжди можете знайти третю. Тому, якщо ви знаєте, що дві сторони прямокутного трикутника конгруентні двом сторонам іншого прямокутного трикутника, то можна зробити висновок, що треті сторони також є конгруентними. Якщо три пари сторін конгруентні, то ми знаємо, що трикутники конгруентні по ССС.

Приклад$\PageIndex{3}$

Яка додаткова інформація вам потрібна, щоб довести, що ці два трикутники були конгруентними, використовуючи теорему HL?

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Для HL потрібно, щоб гіпотенуси були конгруентними. $\overline{AC}\cong MN\overline{AB}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Визначте, чи конгруентні трикутники. Якщо вони є, напишіть заяву про конгруентність і який постулат конгруентності або теорему ви використовували.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

Ми знаємо, що два трикутники є прямими трикутниками. Мають одну пару катетів, яка є конгруентною, і їх гіпотенуси є конгруентними. Це означає, що$\Delta ABC\cong \Delta RQP$ по HL.

Приклад$\PageIndex{5}$

Визначте додаткову інформацію, необхідну для того, щоб показати, що два трикутники є конгруентними по HL.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

Ми вже знаємо, що одна пара ніг є конгруентною і що вони є прямими трикутниками. Додаткова інформація, яка нам потрібна, полягає в тому, що дві гіпотенуси є конгруентними,$\overline{UT}\cong \overline{FG}$.

Рецензія

Використовуючи теорему HL, яка додаткова інформація вам потрібна, щоб довести, що два трикутники є конгруентними?

1. 
   

   Малюнок$\PageIndex{7}$

2. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

3. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

Трикутники утворені двома паралельними лініями, розрізаними перпендикулярним поперечним. $C$є середньою точкою$\overline{AD}$. Заповніть доказ, щоб показати, що два трикутники є конгруентними. Питання 4-7 знаходяться в межах доказування.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Заява	Причина
1. $\angle ACB$і$\angle DCE$ є прямими кутами.	(4.)
2. (5.)	Визначення середньої точки
3. (6.)	Враховується
4. $\Delta ACD\cong \Delta DCE$	(7.)

Виходячи з наступних деталей, чи є два правильні трикутники остаточно конгруентними? Заяви не будуються один від одного.

8. Гіпотенузи двох прямих трикутників конгруентні.
9. Обидва набори ніг у двох правильних трикутників є конгруентними.
10. Один набір ніжок конгруентні в двох правильних трикутниках.
11. Гіпотенузи і одна пара катетів конгруентні в двох прямих трикутниках.
12. Один з не прямих кутів двох правильних трикутників є конгруентним.
13. Всі кути двох прямих трикутників є конгруентними.
14. Всі сторони двох правильних трикутників конгруентні.
15. Обидва трикутника мають одну ніжку, яка вдвічі перевищує довжину іншої.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
гіпотенуза	Сторона, протилежна прямому куту в прямокутний трикутник.
ніжки	Дві сторони примикають до прямого кута.
прямокутний трикутник	Трикутник з рівно одним прямим ($90^{\circ}$) кутом. Дві сторони, прилеглі до прямого кута, називаються катетами, а сторона, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою.
Теорема конгруентності H-L (гіпотенузи-ніжка)	Якщо гіпотенуза і катет в одному прямокутному трикутнику конгруентні гіпотенузі і катета в іншому прямокутному трикутнику, то два трикутника конгруентні.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Принципи конгруентності трикутника HL - Основні

Діяльність: HL Трикутник Конгруентність обговорення Питання

Навчальні посібники: Посібник з вивчення конгруентності три

Практика: HL

Реальний світ: фінальні чернетки