1.13: Кутові властивості та теореми

Знайдіть кути та відрізки ліній та визначте, чи конгруентні фігури, а лінії паралельні. Зрозумійте додаткові кути як кути, сума яких становить 90 градусів, а додаткові кути як кути, сума яких становить 180 градусів.

Міри кутових пар

Малюнок$\PageIndex{1}$

Фол лінії бейсбольного алмазу перетинаються в будинку пластини, утворюючи прямий кут. Бейсбол потрапляє з домашньої плити і утворює кут$36^{\circ}$ з третьою базою фол лінії. Яка міра кута між першою базовою лінією фолу і ванною бейсболу?

Малюнок$\PageIndex{2}$

Як ви можете використовувати свої знання кутів, щоб з'ясувати міру кута?

У цій концепції ви дізнаєтеся міру кутових пар.

Вимірювання кутових пар

Існують різні типи кутових пар. Вертикальні кути - це кутова пара, утворена пересічними лініями таким чином, щоб вони ніколи не були сусідніми. Вони мають загальну вершину і ніколи не мають спільної сторони. Вертикальні кути рівні за мірою. На наступній схемі показані вертикальні кутові пари.

Малюнок$\PageIndex{3}$

$\angle 1$і$\angle 2$ є вертикальними кутами. $m\angle 1=m\angle 2$

$\angle 3$і$\angle 4$ є вертикальними кутами. $m\angle 3=m\angle 4$

Сусідні кути - це кутова пара, також утворена двома пересічними лініями. Сусідні кути знаходяться поруч, мають загальну вершину і мають спільну сторону. На наступній схемі показані пари сусідніх кутів.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Кожна пара сусідніх кутів утворює прямий кут. Тому сума будь-яких двох сусідніх кутів дорівнює$180^{\circ}$.

$m\angle 1+m \angle 3= 180^{\circ}$

$m\angle 2+m \angle 4= 180^{\circ}$

$m\angle 2+m \angle 3= 180^{\circ}$

$m\angle 1+m \angle 4= 180^{\circ}$

Якщо сума двох кутів дорівнює,$180^{\circ}$ то кути називаються додатковими кутами. На наступній схемі показані два додаткових кута.

Малюнок$\PageIndex{5}$

В обох діаграмах,$m\angle 1+m \angle 2= 180^{\circ}$.

Якщо сума двох кутів дорівнює 90°, то кути називаються взаємодоповнюючими кутами. На наступній схемі показані два взаємодоповнюючих кута.

Малюнок$\PageIndex{6}$

$m\angle 1+m \angle 2= 90^{\circ}$

Давайте застосуємо всю цю інформацію про кути і їх міру для визначення міри$\angle a$$\angle b$, на$\angle c$ наступній схемі.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Існує чотири кути, утворені пересічними лініями. Міра одного з кутів є$70^{\circ}$.

Спочатку сформулюйте взаємозв'язок між кутом$70^{\circ}$ і$\angle b$.

Кут$70^{\circ}$. примикає до$\angle b$ і два кути утворюють прямий кут.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$\angle b+70^{\circ}=180^{\circ}$

Далі відніміть 70° з обох сторін рівняння.

$\angle b+70^{\circ}=180^{\circ}$

$\angle b+70^{\circ}- 70^{\circ}=180^{\circ}-70^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$\angle b+70^{\circ}- 70^{\circ}=180^{\circ}-70^{\circ}$

$\angle b = 110^{\circ}$

Відповідь є$110^{\circ}$.

$m \angle b = 110^{\circ}$

Спочатку сформулюйте взаємозв'язок між кутом$70^{\circ}$ і$\angle a$.

Кут$70^{\circ}$ і$\angle a$ є вертикальними кутами і рівні за мірою.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$m\angle a=70^{\circ}$

Відповідь є$70^{\circ}$.

$m\angle a=70^{\circ}$

Спочатку викласти залежність між кутом$70^{\circ}$ і$\angle c$.

Кут$70^{\circ}$ примикає до$\angle c$ і два кути утворюють прямий кут.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$\angle c+70^{\circ}=180^{\circ}$

Далі віднімаємо$70^{\circ}$ з обох сторін рівняння.

$\angle c+70^{\circ}=180^{\circ}$

$\angle c+70^{\circ}-70^{\circ}=180^{\circ} -70^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$\angle c+70^{\circ}-70^{\circ}=180^{\circ} -70^{\circ}$

$\angle c=110^{\circ}$

Відповідь є$110^{\circ}$.

$m \angle c=110^{\circ}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вам дали проблему з приводу бейсбольного поля і фол ліній.

Кут між траєкторією кулі і першою лінією фолу підстави потрібно з'ясувати. Це можна зробити за допомогою взаємодоповнюючих кутів.

Рішення

Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему.

Малюнок$\PageIndex{8}$

Далі викласти відносини між$36^{\circ}$ і$\angle x$.

$36^{\circ}$і$\angle x$ є доповнюючими кутами. Сума кутів дорівнює$90^{\circ}$.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$36^{\circ}+\angle x=90^{\circ}$

Далі відніміть 36° з обох сторін рівняння.

$36^{\circ}+\angle x=90^{\circ}$

$36^{\circ}-36^{\circ}+\angle x=90^{\circ}-36^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$36^{\circ}-36^{\circ}+\angle x=90^{\circ}-36^{\circ}$

$\angle x = 54^{\circ}$

Відповідь є$54^{\circ}$.

Кут$54^{\circ}$ робиться між першою базовою лінією фолу і траєкторією бейсболу.

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо наступні кути взаємодоповнюють, знайдіть міру відсутнього кута.

$\angle A=37^{\circ}$то$\angle B=$?

Рішення

Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему.

Малюнок$\PageIndex{9}$

Далі викласти відносини між$\angle A$ і$\angle B$.

$\angle A$і$\angle B$ є доповнюючими кутами. Сума кутів дорівнює$90^{\circ}$.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$\angle A+ \angle B=90^{\circ}$

Далі підставляємо міру$\angle A$ в рівняння.

$37^{\circ}+ \angle B=90^{\circ}$

Далі віднімаємо$37^{\circ}$ з обох сторін рівняння.

$37^{\circ}+ \angle B=90^{\circ}$

$37^{\circ}- 37^{\circ}+ \angle B=90^{\circ}- 37^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$37^{\circ}- 37^{\circ}+ \angle B=90^{\circ}- 37^{\circ}$

$\angle B =53^{\circ}$

Відповідь є$53^{\circ}$.

$m \angle B =53^{\circ}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо наступні кути є додатковими, знайдіть міру відсутнього кута.

$\angle A=102^{\circ}$то$\angle B=$?

Рішення

Спочатку намалюйте схему, щоб змоделювати проблему.

Малюнок$\PageIndex{10}$

Далі викласти відносини між$\angle A$ і$\angle B$.

$\angle A$і$\angle B$ є додатковими кутами. Сума кутів становить 180°.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$\angle A+ \angle B=180^{\circ}$

Далі підставляємо міру$\angle A$ в рівняння.

$102^{\circ}+\angle B=180^{\circ}$

Далі віднімаємо$102^{\circ}$ з обох сторін рівняння.

$102^{\circ}+\angle B=180^{\circ}$

$102^{\circ}-102^{\circ}+\angle B=180^{\circ}-102^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$102^{\circ}-102^{\circ}+\angle B=180^{\circ}-102^{\circ}$

$\angle B=78^{\circ}$

Відповідь є$78^{\circ}$.

$m \angle B=78^{\circ}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуючи наступну схему, визначте міри відсутніх кутів.

Малюнок$\PageIndex{11}$

Рішення

Спочатку сформулюйте взаємозв'язок між кутом$\angle 1$ і$\angle 3$.

$\angle 1$і$\angle 3$ є вертикальними кутами і рівні за мірою.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$m\angle 1=m \angle 3$

Далі підставляємо міру$\angle 1$ в рівняння.

$m\angle 1=m \angle 3$

$137^{\circ}=m\angle 3$

Відповідь є$137^{\circ}$.

$m\angle 3= 137^{\circ}$

Спочатку сформулюйте взаємозв'язок між кутом$\angle 1$ і$\angle 2$.

$\angle 1$примикає до$\angle 2$ і два кути утворюють прямий кут.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$

Далі підставляємо міру$\angle 1$ в рівняння.

$137^{\circ}+\angle 2=180^{\circ}$

Далі віднімаємо$137^{\circ}$ з обох сторін рівняння.

$137^{\circ}+\angle 2=180^{\circ}$

$137^{\circ}-137^{\circ}+\angle 2=180^{\circ}-137^{\circ}$

Потім спростіть обидві сторони рівняння.

$137^{\circ}-137^{\circ}+\angle 2=180^{\circ}-137^{\circ}$

$\angle 2=43^{\circ}$

Відповідь є$43^{\circ}$.

$m \angle 2=43^{\circ}$

Спочатку сформулюйте взаємозв'язок між кутом$\angle 2$ і$\angle 4$.

$\angle 2$і$\angle 4$ є вертикальними кутами і рівні за мірою.

Далі виражаємо відносини за допомогою символів.

$m \angle 2=m \angle 4$

Далі підставляємо міру$\angle 2$ в рівняння.

$m \angle 2=m \angle 4$

$43^{\circ}=m \angle 4$

Відповідь є$43^{\circ}$.

$m \angle 4=43^{\circ}$

Рецензія

Якщо наступні кутові пари взаємодоповнюють, то яка міра відсутнього кута?

1. Якщо$\angle A=45^{\circ}$ тоді$\angle B=$?

2. Якщо$\angle C=83^{\circ}$ тоді$\angle D=$?

3. Якщо$\angle E=33^{\circ}$ тоді$\angle F=$?

4. Якщо$\angle G=53^{\circ}$ тоді$\angle H=$?

Якщо наступні пари кутів є додатковими, то яка міра відсутнього кута?

5. Якщо$\angle A=40^{\circ}$ тоді$\angle B=$?

6. Якщо$\angle A=75^{\circ}$ тоді$\angle B=$?

7. Якщо$\angle C=110^{\circ}$ тоді$\angle F=$?

8. Якщо$\angle D=125^{\circ}$ тоді$\angle E=$?

9. Якщо$\angle M=10^{\circ}$ тоді$\angle N=$?

10. Якщо$\angle O=157^{\circ}$ тоді$\angle P=$?

Визначте наступні типи кутових пар.

11. Вертикальні кути

12. Сусідні кути

13. Додаткові кути

14. Додаткові кути

15. Внутрішні кути

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.4.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Сусідні кути	Два кути є суміжними, якщо вони поділяють сторону і вершину. Слово «суміжний» означає «поруч» або «поруч з».
Кут	Геометрична фігура, утворена двома променями, які з'єднуються в одній точці або вершині.
Лінії, що перетинаються	Пересічні лінії - це лінії, які перетинаються або зустрічаються в якійсь точці.
Паралельний	Дві або більше ліній паралельні, коли вони лежать в одній площині і ніколи не перетинаються. Ці лінії завжди будуть мати однаковий ухил.
перпендикулярні лінії	Перпендикулярні лінії - це лінії, які перетинаються під$90^{\circ}$ кутом.
Прямий кут	Прямим кутом є пряма, рівна$180^{\circ}$.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Додаткові, Додаткові та Вертикальні кути

Практика: Кутові властивості та теореми