4.5.4: Добування та частки комплексних чисел

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.5.3: Квадратична формула та комплексні суми
- 4.5.5: Полярна форма комплексних чисел

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Множення та ділення комплексних чисел

Містер Марчес малює трикутник на дошці. Він позначає висоту $\ (2+3 i)$ і підставу $\ (2-4 i)$ . «Знайдіть площу трикутника», - каже він. (Нагадаємо, що площа трикутника $\ b$ дорівнює $\ A=\frac{1}{2} b h$ , це довжина основи і h - довжина висоти.)

Множення та ділення комплексних чисел

При множенні комплексних чисел, FOIL два числа разом, а потім об'єднати як члени. В кінці буде $\ i^{2}$ термін. Нагадаємо, що $\ i^{2}=-1$ і продовжуємо спрощувати.

Давайте спростимо наступні вирази.

Спростити $\ 6 i(1-4 i)$ .
Розподіліть $\ 6i$ на обидві частини всередині дужок.

$\ i^{2}=-1$ Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {l}
=6 i-24 (-1)\\
=24+6 i
\ end {масив}\)

Пам'ятайте, що завжди ставите справжню частину на перше місце.

$\ (5-2 i)(3+8 i)$

Фольга два терміни разом.

\ (\\ почати {вирівняний}
(5-2 i) (3+8 i) &=15+40 i-6 i-16 i ^ {2}\
&=15+34 i-16 i ^ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

$\ i^{2}=-1$ Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {л}
=15+34 i-16 (-1)\\
=15+34 i+16\\
=31+34 i
\ end {масив}\)

Ділення комплексних чисел трохи складніше. Подібно до ірраціональних чисел, комплексні числа не можуть бути в знаменнику дробу. Щоб позбутися від комплексного числа в знаменнику, нам потрібно помножити на складний сполучений. Якщо комплексне число має вигляд $\ a+bi$ , то його складний сполучений є $\ a−bi$ . Наприклад, складний сполучений з $\ −6+5i$ буде $\ −6−5i$ . Тому замість того, щоб ділити комплексні числа, ми множимо на комплексний сполучений.
Спростити $\ \frac{8-3 i}{6 i}$ .
У разі ділення на чисте уявне число потрібно лише помножити верх і низ на це число. Потім використовуйте множення, щоб спростити.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {8-3 я} {6 я}\ cdot\ гідророзриву {6 я} {6 я} &=\ гідророзриву {48 i-18 i^ {2}} {36 i^ {2}}\\
&=\ frac {18+48 i} {-36}\\
&=\ гідророзриву {18} {-36}} {-36} я\\
&=-\ гідророзриву {1} {2} -\ розрив {4} {3} i
\ end {вирівняний}\)

Коли комплексне число містить дроби, запишіть число в стандартному вигляді, зберігаючи дійсну і уявну частини окремо. Зменшіть обидві фракції окремо.
Спростити $\ \frac{3-5 i}{2+9 i}$ .
Тепер ділимося на $\ 2+9 i$ , тому нам потрібно буде помножити верх і низ на складний сполучений, $\ 2-9 i$ .

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {3-5 я} {2+9 я}\ cdot\ розрив {2-9 я} {2-9 я} &=\ розрив {6-27 i-10 i+45 i^ {2}} {4-18 i+18 i-81 i ^ {2}}\\ &=\ гідророзриву {6-37 i-45} {4+81}\
&=\ frac {6-37 i-45} {4+81}\
&=\ frac c {-39-37 i} {85}\\
&=-\ гідророзриву {39} {85} -\ гідророзриву {37} {85} i
\ end {вирівняний}\)

Зверніть увагу, множивши на складний сполучений, знаменник стає дійсним числом і ви можете розділити дріб на її дійсну і уявну частини.

У попередніх трьох задачах вище ми підставили, $\ i^{2}=-1$ щоб спростити дріб далі.

Ваша остаточна відповідь ніколи не повинна мати жодної сили $\ i$ більше 1.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти площу трикутника.

Рішення

Площа трикутника $\ \frac{(2+3 i)(2-4 i)}{2}$ так FOIL два члени разом і розділити на 2.

\ (\\ почати {вирівняний}
(2+3 i) (2-4 i) =4-8 i+6 i-12 i^ {2} &\\
&= 4-2 i-12 i ^ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

$\ i^{2}=-1$ Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {л}
=4-2 i-12 (-1)\\
=4-2 i+12\\
=16-2 i
\ end {масив}\)

Тепер розділіть цей продукт на 2.

$\ \frac{16-2 i}{2}=8-i$

Тому площа трикутника дорівнює $\ 8-i$ .

Приклад 2

З чого складається складний кон'югат $\ 7-5 i$ ?

Рішення

$\ 7+5 i$

Приклад 3

Спростіть наступний складний вираз: $\ (7-4 i)(6+2 i)$ .

Рішення

Фольга два вирази.

\ (\\ почати {вирівняний}
(7-4 i) (6+2 я) &=42+14 i-24 i-8 i ^ {2}\\
&= 42-10 i+8\\
&=50-10 i
\ end {вирівняний}\)

Приклад 4

Спростіть наступний складний вираз: $\ \frac{10-i}{5 i}$ .

Рішення

Помножте чисельник і знаменник на $\ 5 i$

\ (\\ почати {вирівняний}
\ гідророзрив {10-i} {5 я}\ cdot\ гідророзриву {5 я} {5 я} &=\ гідророзриву {50 i-5 i^ {2}} {25}} {25}} {25} {-25}\\
гідророзриву {5} {-25} {-25} {-25} я\\
&=-\ гідророзриву {1} {5} -2 i
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Спростіть наступний складний вираз: $\ \frac{8+i}{6-4 i}$ .

Рішення

Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений, $\ 6+4 i$ .

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {8+i} {6-4 я}\ cdot\ гідророзриву {6+4 я} {6+4 я} &=\ розрив {48+32 i+6 i+4 i^ {2}} {36+24 i-16 i-16 i ^ {2}}\\ &=\ гідророзриву {48+38 i-4} {36+16}\
&=\ frac {48+38 i-4} {36+16}\
&=\ frac {48+38 i-4}\ c {44+38 i} {52}\\
&=\ гідророзриву {44} {52} +\ гідророзриву {38} {52} i\\
&=\ гідророзриву {11} { 13} +\ гідророзриву {19} {26} i
\ end {вирівняний}\)

Рецензія

Спростіть наступні вирази. Напишіть свої відповіді в стандартній формі.

$\ i(2-7 i)$
$\ 8 i(6+3 i)$
$\ -2 i(11-4 i)$
$\ (9+i)(8-12 i)$
$\ (4+5 i)(3+16 i)$
$\ (1-i)(2-4 i)$
$\ 4 i(2-3 i)(7+3 i)$
$\ (8-5 i)(8+5 i)$
$\ \frac{4+9 i}{3 i}$
$\ \frac{4+9 i}{3 i}$
$\ \frac{7+12 i}{-5 i}$
$\ \frac{4-2 i}{6-6 i}$
$\ \frac{2-i}{2+i}$
$\ \frac{10+8 i}{2+4 i}$
$\ \frac{14+9 i}{7-20 i}$

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.9.

Лексика

Термін	Визначення
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді $\ a+bi$ .