4.5.4: Добування та частки комплексних чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54976

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Множення та ділення комплексних чисел

Містер Марчес малює трикутник на дошці. Він позначає висоту\(\ (2+3 i)\) і підставу\(\ (2-4 i)\). «Знайдіть площу трикутника», - каже він. (Нагадаємо, що площа трикутника\(\ b\) дорівнює\(\ A=\frac{1}{2} b h\), це довжина основи і h - довжина висоти.)

Множення та ділення комплексних чисел

При множенні комплексних чисел, FOIL два числа разом, а потім об'єднати як члени. В кінці буде\(\ i^{2}\) термін. Нагадаємо, що\(\ i^{2}=-1\) і продовжуємо спрощувати.

Давайте спростимо наступні вирази.

Спростити\(\ 6 i(1-4 i)\).
Розподіліть\(\ 6i\) на обидві частини всередині дужок.

\(\ i^{2}=-1\)Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {l}
=6 i-24 (-1)\\
=24+6 i
\ end {масив}\)

Пам'ятайте, що завжди ставите справжню частину на перше місце.

\(\ (5-2 i)(3+8 i)\)

Фольга два терміни разом.

\ (\\ почати {вирівняний}
(5-2 i) (3+8 i) &=15+40 i-6 i-16 i ^ {2}\
&=15+34 i-16 i ^ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

\(\ i^{2}=-1\)Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {л}
=15+34 i-16 (-1)\\
=15+34 i+16\\
=31+34 i
\ end {масив}\)

Ділення комплексних чисел трохи складніше. Подібно до ірраціональних чисел, комплексні числа не можуть бути в знаменнику дробу. Щоб позбутися від комплексного числа в знаменнику, нам потрібно помножити на складний сполучений. Якщо комплексне число має вигляд\(\ a+bi\), то його складний сполучений є\(\ a−bi\). Наприклад, складний сполучений з\(\ −6+5i\) буде\(\ −6−5i\). Тому замість того, щоб ділити комплексні числа, ми множимо на комплексний сполучений.
Спростити\(\ \frac{8-3 i}{6 i}\).
У разі ділення на чисте уявне число потрібно лише помножити верх і низ на це число. Потім використовуйте множення, щоб спростити.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {8-3 я} {6 я}\ cdot\ гідророзриву {6 я} {6 я} &=\ гідророзриву {48 i-18 i^ {2}} {36 i^ {2}}\\
&=\ frac {18+48 i} {-36}\\
&=\ гідророзриву {18} {-36}} {-36} я\\
&=-\ гідророзриву {1} {2} -\ розрив {4} {3} i
\ end {вирівняний}\)

Коли комплексне число містить дроби, запишіть число в стандартному вигляді, зберігаючи дійсну і уявну частини окремо. Зменшіть обидві фракції окремо.
Спростити\(\ \frac{3-5 i}{2+9 i}\).
Тепер ділимося на\(\ 2+9 i\), тому нам потрібно буде помножити верх і низ на складний сполучений,\(\ 2-9 i\).

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {3-5 я} {2+9 я}\ cdot\ розрив {2-9 я} {2-9 я} &=\ розрив {6-27 i-10 i+45 i^ {2}} {4-18 i+18 i-81 i ^ {2}}\\ &=\ гідророзриву {6-37 i-45} {4+81}\
&=\ frac {6-37 i-45} {4+81}\
&=\ frac c {-39-37 i} {85}\\
&=-\ гідророзриву {39} {85} -\ гідророзриву {37} {85} i
\ end {вирівняний}\)

Зверніть увагу, множивши на складний сполучений, знаменник стає дійсним числом і ви можете розділити дріб на її дійсну і уявну частини.

У попередніх трьох задачах вище ми підставили,\(\ i^{2}=-1\) щоб спростити дріб далі.

Ваша остаточна відповідь ніколи не повинна мати жодної сили\(\ i\) більше 1.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти площу трикутника.

Рішення

Площа трикутника\(\ \frac{(2+3 i)(2-4 i)}{2}\) так FOIL два члени разом і розділити на 2.

\ (\\ почати {вирівняний}
(2+3 i) (2-4 i) =4-8 i+6 i-12 i^ {2} &\\
&= 4-2 i-12 i ^ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

\(\ i^{2}=-1\)Підставляємо і спрощуємо далі.

\ (\\ begin {масив} {л}
=4-2 i-12 (-1)\\
=4-2 i+12\\
=16-2 i
\ end {масив}\)

Тепер розділіть цей продукт на 2.

\(\ \frac{16-2 i}{2}=8-i\)

Тому площа трикутника дорівнює\(\ 8-i\).

Приклад 2

З чого складається складний кон'югат\(\ 7-5 i\)?

Рішення

\(\ 7+5 i\)

Приклад 3

Спростіть наступний складний вираз:\(\ (7-4 i)(6+2 i)\).

Рішення

Фольга два вирази.

\ (\\ почати {вирівняний}
(7-4 i) (6+2 я) &=42+14 i-24 i-8 i ^ {2}\\
&= 42-10 i+8\\
&=50-10 i
\ end {вирівняний}\)

Приклад 4

Спростіть наступний складний вираз:\(\ \frac{10-i}{5 i}\).

Рішення

Помножте чисельник і знаменник на\(\ 5 i\)

\ (\\ почати {вирівняний}
\ гідророзрив {10-i} {5 я}\ cdot\ гідророзриву {5 я} {5 я} &=\ гідророзриву {50 i-5 i^ {2}} {25}} {25}} {25} {-25}\\
гідророзриву {5} {-25} {-25} {-25} я\\
&=-\ гідророзриву {1} {5} -2 i
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Спростіть наступний складний вираз:\(\ \frac{8+i}{6-4 i}\).

Рішення

Помножте чисельник і знаменник на складний сполучений,\(\ 6+4 i\).

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {8+i} {6-4 я}\ cdot\ гідророзриву {6+4 я} {6+4 я} &=\ розрив {48+32 i+6 i+4 i^ {2}} {36+24 i-16 i-16 i ^ {2}}\\ &=\ гідророзриву {48+38 i-4} {36+16}\
&=\ frac {48+38 i-4} {36+16}\
&=\ frac {48+38 i-4}\ c {44+38 i} {52}\\
&=\ гідророзриву {44} {52} +\ гідророзриву {38} {52} i\\
&=\ гідророзриву {11} { 13} +\ гідророзриву {19} {26} i
\ end {вирівняний}\)

Рецензія

Спростіть наступні вирази. Напишіть свої відповіді в стандартній формі.

\(\ i(2-7 i)\)
\(\ 8 i(6+3 i)\)
\(\ -2 i(11-4 i)\)
\(\ (9+i)(8-12 i)\)
\(\ (4+5 i)(3+16 i)\)
\(\ (1-i)(2-4 i)\)
\(\ 4 i(2-3 i)(7+3 i)\)
\(\ (8-5 i)(8+5 i)\)
\(\ \frac{4+9 i}{3 i}\)
\(\ \frac{4+9 i}{3 i}\)
\(\ \frac{7+12 i}{-5 i}\)
\(\ \frac{4-2 i}{6-6 i}\)
\(\ \frac{2-i}{2+i}\)
\(\ \frac{10+8 i}{2+4 i}\)
\(\ \frac{14+9 i}{7-20 i}\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.9.

Лексика

Термін	Визначення
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді\(\ a+bi\).