4.5.6: Теореми про добуток і частку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54969

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теореми про добуток і частку

Комплексні числа зустрічаються в реальних розрахунках, що включають: квантову механіку, аналіз сигналів, динаміку рідини, теорію управління та багато інших полів.

В електротехніці комплексні числа використовуються для розрахунків, що включають імпеданс (опір електричному потоку в ланцюзі).

Інженерам-електрикам знайома формула:

\(\ V=V_{0} e^{j \omega t}=V_{0}(\cos \omega t+j \sin \omega t)\)

порівнявши його з аналогічним виразом нижче, який досліджується в цьому уроці, ви можете визначити змінну j?

\(\ r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)\)

Теореми про добуток і частку

Теорема про добуток

Оскільки комплексні числа можуть бути перетворені в полярну форму, множення комплексних чисел може здійснюватися і в полярній формі. Припустимо, ми знаємо z ₁ = r ₁ (cos θ ₁ + i sin θ ₁) z ₂ = r ₂ (cos θ ₂ + i sin θ ₂)

Щоб помножити два комплексних числа в полярному вигляді:

\ (\\ begin {масив} {l}
z_ {1}\ cdot z_ {2} =r_ {1}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1} +i\ sin\ theta_ {1}\ право)\ cdot r_ {2}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {2}\ theta_ {2}\ праворуч)\\ cos\ theta_ {2}\ вліво (\
cos\ theta_ {2} _ {1} r_ {2}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1} +i\ sin\ theta_ {1}\ праворуч)\ ліворуч (\ cos\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {2}\ справа)\\
=r_ {1} r_ {2}\ cdot\ ліворуч (\ cos\ тета_ {1}\ cos\ theta_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} +i ^ {2}\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2}\\
=r_ {1} r_ {2}\ left (\ cos\ theta_ {1}\ cos\ тета_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ {1} sin\ тета_ {2}\ право)\\
=r_ {1} r_ {2}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +i\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {1}}\ cos\ тета_ {2}\ вправо)\\
=r_ {1} r_ {2}\ ліворуч (\ ліворуч [\ cos\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2} -\ sin\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2}\ право] +i\ ліворуч [\ cos\ theta_ {1}\ sin\ theta_ {2} +\ sin\ theta_ {1}\ cos\ theta_ {2}\ право]
\ кінець {масив}\)

(Використовуйте\(\ i^{2}=-1\), збирайте як терміни, коефіцієнт i, підставляйте формули суми кута як для синуса, так і для косинуса)

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2} \operatorname{cis}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]\)

Це останнє рівняння стверджує, що добуток двох комплексних чисел у полярній формі можна отримати шляхом множення полярних r значень кожного з комплексних чисел, а потім множення цього значення на cis суми кожного з двох кутів окремих комплексних чисел. Це більш лаконічна, ніж прямокутна форма для множення комплексних чисел.

Теорема про частку

Ділення комплексних чисел у полярній формі можна показати за допомогою аналогічного доказу, який використовувався для показу множення комплексних чисел. Тут опускаємо докази і даємо результат. Для z ₁ = r ₁ (cos θ ₁ + i sin θ ₁) і z ₂ = r ₂ (cos θ ₂ + i sin θ ₂), потім\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \times \operatorname{cis}\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вам було запропоновано визначити змінну j за такою формулою:

\(\ V=V_{0} e^{j \omega t}=V_{0}(\cos \omega t+j \sin \omega t)\)

Рішення

В електричних розрахунках буква I зазвичай використовується для позначення струму, тому уявні числа ототожнюються з a j.

Зверніть увагу на подібне використання i в r (cosθ +isinθ).

Приклад 2

Помножте\(\ z_{1} \cdot z_{2}\) де\(\ z_{1}=2+2 i\) і\(\ z_{2}=1-\sqrt{3} i\).

Рішення

Для\(\ z_{1}\),

\ (\\ почати {масив} {л}
r_ {1} =\ sqrt {2^ {2} +2^ {2}}\\
=\ sqrt {8}\\
=2\ sqrt {2}
\ end {масив}\)

\ (\\ begin {масив} {л}
\ тан\ тета_ {1} =\ розрив {2} {2}\
\ тан\ тета_ {1} =1\
\ тета_ {1} =\ frac {\ pi} {4}
\ кінець {масив}\)

Зауважте, що θ ₁ знаходиться в першому квадранті, починаючи з a, і b > 0.

Для\(\ z_{2}\),

\ (\\ почати {масив} {л}
r_ {2} =\ sqrt {1^ {2} + (-\ sqrt {3}) ^ {2}}\\
=\ sqrt {1+3}\
=\ sqrt {4}\\
=2
\ кінець {масив}\)

\ (\\ begin {масив} {л}
\ тан\ тета_ {2} =\ frac {-\ sqrt {3}} {1}\
\ theta_ {2} =\ frac {5\ пі} {3}
\ кінець {масив}\)

Тепер ми можемо скористатися формулою\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\)

Заміна дає:

\ (\\ почати {масив} {l}
z_ {1}\ cdot z_ {2} =2\ sqrt {2}\ раз 2\ ім'я оператора {cis}\ лівий [\ frac {\ pi} {4} +\ frac {5\ pi} {3}\ право]\\
= 4\ sqrt {2}\ ім'я оператора {cis}\ лівий [\ frac 23\ pi} {12}\ право]
\ end {масив}\)

Отже, у нас є

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=4 \sqrt{2}\left(\cos \frac{23 \pi}{12}+i \sin \frac{23 \pi}{12}\right)\)

Перезапис в приблизному десятковому вигляді:

\ (\\ begin {масив} {л}
5.656 (0.966-0.259 i)\\
5.46-1.46 i
\ end {масив}\)

Якщо проблема була зроблена за допомогою тільки прямокутних одиниць, то

\ (\\ почати {масив} {l}
z_ {1}\ times z_ {2} =( 2+2 i) (1-\ sqrt {3} i)\ текст {або}\\
=2-2\ sqrt {3} i+2 i-2\ sqrt {3} i^ {2}
\ кінець {масив}\)

Збір подібних термінів та використання\(\ \mathrm{i}^{2}=-1\)

\(\ =(2+2 \sqrt{3})-(2 \sqrt{3}+2) i\)

або

\(\ 5.46-1.46 i\)

Приклад 2

Використовуючи полярне множення, знайдіть твір\(\ (6-2 \sqrt{3} i)(4+4 \sqrt{3} i)\).

Рішення

Нехай\(\ z_{1}=6-2 \sqrt{3} i\) і\(\ z_{2}=4+4 \sqrt{3} i\)

\ (\\ почати {масив} {l}
r_ {1} =\ sqrt {(6) ^ {2} - (2\ sqrt {3}) ^ {2}}\ текст {і} r_ {2} =\ sqrt {(4) ^ {2} + (4\ sqrt {3}) ^ {2}}\
r_ {1} =\ sqrt {36+12} =\ sqrt {48} =4\ sqrt {3}\ текст {і} r_ {2} =\ sqrt {16+48} =\ sqrt {64} =8
\ кінець {масив}\)

Для\(\ \theta_{1}\), перша знахідка\(\ \tan \theta_{r e f}=\left|\frac{y}{x}\right|\)

\ (\\ почати {масив} {л}
\ тан\ тета_ {r e f} =\ frac {(2\ sqrt {3})} {6}\\ tan
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ sqrt {3}} {3}\
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ pi} {6}
\\ кінець масиву}\)

Оскільки x > 0 і y < 0 ми знаємо, що θ ₁ знаходиться в ^4-му квадранті:

\(\ \theta_{1}=\frac{11 \pi}{6}\)

Для θ ₂

\ (\\ почати {масив} {л}
\ тан\ тета_ {r e f} =\ frac {(4\ sqrt {3})} {4}\\ tan
\ theta_ {r e f} =\ sqrt {3}\
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ pi} {3}
\ кінець {масив}\)

Оскільки θ ₂ знаходиться в першому квадранті,

\(\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}\)

Використовуючи полярне множення,

\ (\\ почати {масив} {l}
z_ {1}\ times z_ {2} =4\ sqrt {3}\ раз 8\ вліво (\ текст {cis}\ лівий [\ frac {11\ pi} {6} +\ frac {\ pi} {3}\ праворуч]\ z_ {1} раз
z_ {2} =32\ sqrt {3}\ праворуч)\\ z_ {1} раз z_ {2} =32\ sqrt {3}}\ left (\ ім'я оператора {cis}\ left [\ frac {13\ pi} {6}\ право]\ право)
\ end {масив}\)

віднімання 2π з примноження:

z_ {1}\ times z_ {2} =32\ sqrt {3}\ лівий (\ ім'я оператора {cis}\ лівий [\ frac {\ pi} {6}\ праворуч]\ праворуч)

або в розгорнутому вигляді:\(\ 32 \sqrt{3}\left(\cos \left[\frac{\pi}{6}\right]+i \sin \left[\frac{\pi}{6}\right]\right)\)

У десятковій формі це стає:\(\ 55.426(0.866+0.500 i) \text { or } 48+27.713 i\)

Перевірка:

\ (\\ почати {масив} {l}
(6-2\ sqrt {3} i) (4+4\ sqrt {3} i) =24+24\ sqrt {3} i-8\ sqrt {3} i-24 {2}\\
=24+16\ sqrt {3} i+24\\
=48+27.713 i
\ кінець {масив}\)

Приклад 3

Використовуючи полярне ділення, знайдіть частку\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}\) заданого, що\(\ z_{1}=5-5 i\) і\(\ z_{2}=-2 \sqrt{3}-2 i\).

Рішення

Для\(\ z_{1}: r_{1}=\sqrt{5^{2}+(-5)^{2}}\) і\(\ \tan \theta_{1}=\frac{-5}{5}, \text { so } \theta_{1}=\frac{7 \pi}{4} \left(4^{th} \text{ quadrant}\right.)\)

Для\(\ z_{2}: r_{2}=\sqrt{(-2 \sqrt{3})^{2}+(-2)^{2}}\) або\(\ \sqrt{16}=4\) і\(\ \tan \theta_{2}=\frac{-2}{(-2 \sqrt{3})}, \text { so } \theta_{2}=\frac{7 \pi}{6}\left(3^{r d} \text{ quadrant}\right.)\)

Використовуючи формулу,\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \times \operatorname{cis}\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]\) або

\ (\\ почати {масив} {l}
=\ frac {5\ sqrt {2}} {4}\ раз\ текст {cis}\ лівий [\ frac {7\ pi} {4} -\ frac {7\ pi} {6}\ вправо]\\
=\ frac {5\ sqrt {2}}} {4}\ раз\ текст {cis}\ лівий [\ frac {7\ pi} {12}\ право]\\
=\ frac {5\ sqrt {2}} {4}\ ліворуч [\ cos\ frac {7\ pi} {12} +i\ sin\ frac {7\ pi} {12}\ право]\\
=1.768 [-0.259+ (0.966) i]\\
=-0.458+1.708 i
\ end {масив}\)

Перевірте за допомогою складного сполучення, щоб зробити поділ у прямокутній формі:

\ (\\ почати {масив} {l}
\ frac {5-5 я} {-2\ sqrt {3} -2 я}\ cdot\ frac {-2\ sqrt {3} +2 i} =\ frac {-10\ sqrt {3} +10\ sqrt {3} i-10 i ^ {2}} {-2\ sqrt {3} sqrt {3}) ^ {2} - (2 i) ^ {2}}\\
=\ frac {-10\ sqrt {3} +10\ sqrt {3} i+10} {12+4}\
=\ frac {(-10\ sqrt {3} +10) + (10+10\ sqrt {3} ) я} {16}\\
=\ розриву {(-17.3+10) + (10+17.3) і} {16}\
=\ розриву {(-7.3) + (27.3) i} {16}\ текст {або}\\
-0.456+1.706 i
\ end {масив}\)

Два кардинально різні підходи дають однакову відповідь. Невелика різниця між двома відповідями є результатом десяткового округлення.

Приклад 5

Знайдіть товар:\(\ \left(7\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot\left(5\left(\frac{-\pi}{4}\right)\right)\).

Рішення

Цей простіше, ніж здається: Згадайте\(\ z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\).

\(\ r_{1} \cdot r_{2} \rightarrow 7 \cdot 5=35\)... Шляхом заміщення і множення

\(\ \theta_{1}+\theta_{2} \rightarrow\left(\frac{\pi}{6}\right)+\left(\frac{-\pi}{4}\right)\)... Замінник

\(\ \left(\frac{2 \pi}{12}\right)+\left(\frac{-3 \pi}{12}\right)\)... Знайти спільні знаменники

\(\ \left(\frac{-\pi}{12}\right)\)... Спростити

\(\ \therefore 35 \operatorname{cis}\left(\frac{-\pi}{12}\right)\)це продукт

Приклад 6

Знайдіть частку:\(\ \frac{1+2 i}{2-i}\).

Рішення

Спочатку знайдіть частку по полярному множенню:

\ (\\ почати {масив} {l}
r_ {1} =\ sqrt {(1) ^ {2} + (2) ^ {2}} =\ sqrt {5}\ квад\ квад\ квад r_ {2} =\ sqrt {(2) ^ {2} + (-1) ^ {2}} =\ sqrt {5}\\ tan\ theta_ {1} =\ розрив {2} {1}
\\ тан\ тета_ {1} =2
\\ тета_ {r e f} =1.107\ текст {радіани}
\ кінець {масив}\)

так як кут знаходиться в 1-му ^{квадранті}

θ ₁ = 1,107 радіанів

для θ ₂,

\ (\\ begin {масив} {л}
\ тан\ тета_ {2} =\ frac {-1} {2}\
\ tan\ theta_ {r e f} =\ frac {1} {2}\
\ theta_ {r e f} =0.464\ текст {радіани}
\ кінець {масив}\)

оскільки θ ₂ знаходиться в ^4-му квадранті, між\(\ 4.712\left(\text { or } \frac{3 \pi}{2}\right)\) і\(\ 6.282\) радіанами (або\(\ 2 \pi\))

θ ₂ = 5,820 радіанів

Нарешті, використовуючи формулу ділення,

\ (\\ почати {вирівняний}
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}} =\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} [\ ім'я оператора {cis} (1.107-5.820)]\\
&\ frac {z_ {1}}} {z_ {2}} = [\ ім'я оператора {cis} 4.713)]\\
&\ розрив {z_ {1}} {z_ {2}} = [\ cos (-4.713) +i\ sin (-4.713)]\\
&\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = [\ cos (1 .570) +i\ sin (1.570)]\\
&\ text {Якщо припустити, що}\ frac {\ pi} {2} =1.570,\ текст {потім}\\
&\ приблизно\ frac {z_ {1}}} {z_ {2}}} =\ лівий [\ cos\ лівий (\ frac {\ pi} {2}\ праворуч) +i\ sin\ лівий (\ гідророзрив {\ pi} {2}\ праворуч)\ праворуч]\\
&\ розрив {z_ {1}} {z_ {2}} =0+1 i = i
\ кінець {вирівняний }\)

Рецензія

Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\(\ (2+2 i)(\sqrt{3}-i)\)
\(\ 2 \operatorname{cis}(40) \cdot 4 \operatorname{cis}(20)\)
Помножити:\(\ 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \cdot 2\left(\cos \frac{\pi}{10}+i \sin \frac{\pi}{10}\right)\)
\(\ \frac{2 \operatorname{cis}(80)}{6 \operatorname{cis}(200)}\)
Розділити:\(\ 3 \operatorname{cis}\left(130^{\circ}\right) \div 4 \operatorname{cis}\left(270^{\circ}\right)\)

Якщо\(\ z_{1}=7\left(\frac{\pi}{6}\right)\) і\(\ z_{2}=5\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) знайти:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}\)
\(\ \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\)
\(\ \left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\)

Якщо\(\ z_{1}=8\left(\frac{\pi}{3}\right)\) і\(\ z_{2}=5\left(\frac{\pi}{6}\right)\) знайти:

\(\ z_{1} z_{2}\)
\(\ \left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)\)
\(\ \left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\)
\(\ \left(z_{1}\right)^{2}\)
\(\ \left(z_{2}\right)^{3}\)

Знайдіть продукти.

Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\(\ (2+2 i)(\sqrt{3}-i)\)
\(\ 2\left(\cos 40^{\circ}+i \sin 40^{\circ}\right) \cdot 4\left(\cos 20^{\circ}+i \sin 20^{\circ}\right)\)
\(\ 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \cdot 2\left(\cos \frac{\pi}{10}+i \sin \frac{\pi}{10}\right)\)

Знайдіть коефіцієнти.

\(\ 2\left(\cos 80^{\circ}+i \sin 80^{\circ}\right) \div 6\left(\cos 200^{\circ}+i \sin 200^{\circ}\right)\)
\(\ 3 \operatorname{cis}\left(130^{\circ}\right) \div 4 \operatorname{cis}\left(270^{\circ}\right)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.9.

Лексика

Термін	Визначення
Складний кон'югат	Складні кон'югати - це пари складних біноміалів. Складний кон'югат a+bi є a−bi. При множенні складних сполучень виходить єдине дійсне число.
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді a+bi.
прямокутна форма	Прямокутна форма точки або кривої задана через x і y і графічна на декартовій площині.