Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.5.2: Комплексні числа

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54959

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Визначення комплексних чисел

    Найхолодніша можлива температура, відома як абсолютний нуль, становить майже -460 градусів за Фаренгейтом. Що таке квадратний корінь цього числа?

    Комплексні числа

    До цього поняття всі числа були дійсними числами. \(\ 2,-5, \sqrt{11}\), і\(\ \frac{1}{3}\) всі приклади дійсних чисел. З тим, що ми раніше дізналися, ми не можемо знайти,\(\ \sqrt{-25}\) тому що ви не можете взяти квадратний корінь негативного числа. Немає дійсного числа, яке при множенні на себе дорівнює -25. Давайте спростимо\(\ \sqrt{-25}\).

    \(\ \sqrt{-25}=\sqrt{25 \cdot-1}=5 \sqrt{-1}\)

    Для того, щоб взяти квадратний корінь від'ємного числа, ми збираємося призначити\(\ \sqrt{-1}\) змінну,\(\ i. i\) являє собою уявне число. Тепер ми можемо використовувати i, щоб взяти квадратний корінь від'ємного числа.

    \(\ \sqrt{-25}=\sqrt{25 \cdot-1}=5 \sqrt{-1}=5 i\)

    Всі комплексні числа мають вигляд a+bi, де a і b - дійсні числа. a - дійсна частина комплексного числа, а b - уявна частина. Якщо b=0, то ліворуч a, а число - дійсне число. Якщо a=0, то число тільки bi і називається чистим уявним числом. Якщо b0 і a0, то число буде уявним числом.

    Ф-д_1д89ф018а 4Б787818Д4Ф67Е1 ЕАЕ30ЕД 96165 ЕСК670ДАД 21ААБ9FF52F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]

    Давайте знайдемо\(\ \sqrt{-162}\).

    Спочатку витягніть\(\ i\). Потім, спростити\(\ \sqrt{162}\).

    \(\ \sqrt{-162}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{162}=i \sqrt{162}=i \sqrt{81 \cdot 2}=9 i \sqrt{2}\)

    повноваження i

    На додаток до того, що тепер можна взяти квадратний корінь негативного числа, я також має деякі цікаві властивості. Спробуйте знайти\(\ i^{2}, i^{3}, \text { and } i^{4}\).

    Крок 1: Випишіть\(\ i^{2}\) і спростіть. \(\ i^{2}=i \cdot i=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=\sqrt{-1}^{2}=-1\)

    Крок 2: Випишіть\(\ i^{3}\) і спростіть. \(\ i^{3}=i^{2} \cdot i=-1 \cdot i=-i\)

    Крок 3: Випишіть\(\ i^{4}\) і спростіть. \(\ i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=-1 \cdot-1=1\)

    Крок 4: Випишіть\(\ i^{5}\) і спростіть. \(\ i^{5}=i^{4} \cdot i=1 \cdot i=i\)

    Крок 5: Випишіть\(\ i^{6}\) і спростіть. \(\ i^{6}=i^{4} \cdot i^{2}=1 \cdot-1=-1\)

    Крок 6: Ви бачите візерунок? Опишіть його і спробуйте знайти\(\ i^{19}\).

    Ви повинні бачити, що повноваження\(\ i\) повторюють кожні 4 сили. Отже, всі повноваження, які діляться на 4, дорівнюватимуть 1. Щоб знайти\(\ i^{19}\), ділимо 19 на 4 і визначаємо залишок. Це підкаже, яка потужність вона така ж, як.

    \(\ i^{19}=i^{16} \cdot i^{3}=1 \cdot i^{3}=-i\)

    Тепер, давайте знайдемо наступні повноваження i.

    1. \(\ i^{32}\)

      32 ділиться на 4, так\(\ i^{32}=1\).

    2. \(\ i^{50}\)

      50÷4=12, з залишком 2. Тому,\(\ i^{50}=i^{2}=-1\).

    3. \(\ i^{7}\)

      7÷4=1, з залишком 3. Тому,\(\ i^{7}=i^{3}=-i\)

    Нарешті, давайте спростимо наступні складні вирази.

    1. \(\ (6-4 i)+(5+8 i)\)

      \(\ (6-4 i)+(5+8 i)={\color{red}{6}}{\color{blue}-4 i}+{\color{red}5}+{\color{blue}8 i}={\color{red}11}+\color{blue}4 i\)

    2. \(\ 9−(4+i)+(2−7i)\)

      \(\ 9-(4+i)+(2-7 i)={\color{red}9-4}{\color{blue}-i}+{\color{red}2}{\color{blue}-7 i}={\color{red}7}\color{blue}-8 i\)

    Щоб скласти або відняти комплексні числа, потрібно комбінувати подібні терміни. Будьте обережні з негативами і правильно їх розподіляючи. Ваша відповідь завжди повинна бути в стандартній формі, яка є\(\ a+bi\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили знайти квадратний корінь -460 градусів.

    Рішення

    Ми шукаємо\(\ \sqrt{-460}\).

    Для початку нам потрібно витягнути\(\ i\). Потім, нам потрібно спростити\(\ \sqrt{460}\).

    \(\ \sqrt{-460}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{460}=i \sqrt{460}=i \sqrt{4 \cdot 115}=2 i \sqrt{115}\)

    Приклад 2

    Спростити\(\ \sqrt{-49}\).

    Рішення

    Перепишіть з\(\ \sqrt{-49}\) точки зору\(\ i\) і спростіть радикальне.

    \(\ \sqrt{-49}=i \sqrt{49}=7 i\)

    Приклад 3

    Спростити\(\ \sqrt{-125}\).

    Рішення

    Перепишіть з\(\ \sqrt{-125}\) точки зору\(\ i\) і спростіть радикальне.

    \(\ \sqrt{-125}=i \sqrt{125}=i \sqrt{25 \cdot 5}=5 i \sqrt{5}\)

    Приклад 4

    Спростити\(\ i^{210}\).

    Рішення

    210÷4=52, з залишком 2. Тому,\(\ i^{210}=i^{2}=-1\).

    Приклад 5

    Спростити\(\ (8-3 i)-(12-i)\).

    Рішення

    Розподіліть негатив і комбінуйте подібні терміни.

    \(\ (8-3 i)-(12-i)=8-3 i-12+i=-4-2 i\)

    Рецензія

    Спрощуйте кожен вираз і пишіть в стандартній формі.

    1. \(\ \sqrt{-9}\)
    2. \(\ \sqrt{-242}\)
    3. \(\ 6 \sqrt{-45}\)
    4. \(\ -12 i \sqrt{98}\)
    5. \(\ \sqrt{-32} \cdot \sqrt{-27}\)
    6. \(\ 7 i \sqrt{-126}\)
    7. \(\ i^{8}\)
    8. \(\ 16 i^{22}\)
    9. \(\ -9 i^{65}\)
    10. \(\ i^{365}\)
    11. \(\ 2 i^{91}\)
    12. \(\ \sqrt{-\frac{16}{80}}\)
    13. \(\ (11-5 i)+(6-7 i)\)
    14. \(\ (14+2 i)-(20+9 i)\)
    15. \(\ (8-i)-(3+4 i)+15 i\)
    16. \(\ -10 i-(1-4 i)\)
    17. \(\ (0.2+1.5 i)-(-0.6+i)\)
    18. \(\ 6+(18-i)-(2+12 i)\)
    19. \(\ -i+(19+22 i)-(8-14 i)\)
    20. \(\ 18-(4+6 i)+(17-9 i)+24 i\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.8.

    Лексика

    Термін Визначення
    \(\ i\) \(\ i\)є уявним числом. \(\ i=\sqrt{-1}\).
    Абсолютна величина Абсолютне значення числа - це відстань, на якій знаходиться число від нуля. Абсолютна величина комплексного числа - це відстань від комплексного числа на комплексній площині до початку.
    Складний кон'югат Складні кон'югати - це пари складних біноміалів. Складний сполучений з\(\ a+bi\) є\(\ a−bi\). При множенні складних сполучень виходить єдине дійсне число.
    я це уявне число. \(\ i=\sqrt{-1}\).
    Уявне число Уявне число - це число, яке можна записати як добуток дійсного числа і\(\ i\).
    уявна частина Уявна частина комплексного числа\(\ a+bi\) - це\(\ bi\).
    Чисті уявні числа Чисті уявні числа є підмножиною комплексних чисел без дійсних частин, тільки\(\ bi\).
    Реальне число Реальне число - це число, яке може бути нанесено на числовий рядок. Справжні числа включають в себе всі раціональні та ірраціональні числа.
    реальна частина Реальна частина комплексного числа\(\ a+bi\) - це\(\ a\).
    прямокутні координати Точка записується за допомогою прямокутних координат, якщо вона записана\(\ y\) термінами\(\ x\) і може бути позначена на декартовій площині.
    прямокутна форма Прямокутна форма точки або кривої задається через\(\ x\) і\(\ y\) і зображується на декартовій площині.
    стандартна форма Стандартна форма комплексного числа - це\(\ a+bi\) де a і b - дійсні числа.