4.5.7: Повноваження та коріння комплексних чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54958

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Повноваження та коріння комплексних чисел

Вручну обчислення (спрощення) такого твердження, як:\(\ (14-17 i)^{5}\) або\(\ \sqrt[4]{(3-2 i)}\) в теперішній (прямокутній) формі, було б дуже інтенсивним процесом у кращому випадку.

На щастя, ви дізнаєтеся на цьому уроці, що є альтернатива: теорема Де Муавра. Теорема Де Муавра дійсно є єдиним практичним методом знаходження степенів або коренів комплексного числа, але є підступ...

Що потрібно зробити з комплексним числом, перш ніж теорема Де Муавра може бути використана?

Повноваження та коріння комплексних чисел

Повноваження комплексних чисел

Як ми піднімаємо комплексне число до степеня? Почнемо з прикладу:

\(\ (-4-4 i)^{3}=(-4-4 i) \cdot(-4-4 i) \cdot(-4-4 i)\)

У прямокутній формі це може вийти дуже складним. А як щодо форми r cis θ?

\(\ (-4-4 i)=4 \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{4}\right)\)

і використовуючи наше правило множення з попереднього розділу,

\(\ (-4-4 i)^{3}=(4 \sqrt{2})^{3} \operatorname{cis}\left(\frac{15 \pi}{4}\right)\)

Зауважте,\(\ (a+b i)^{3}=r^{3} \text { cis } 3 \theta\)

У словах: Підніміть r -значення до того ж ступеня, що і комплексне число піднімається, а потім помножте це на cis кута, помножене на число градуса.

Розмірковуючи над прикладом вище, ми можемо виділити теорему Де Муавра:

Нехай z = r (cos θ + i sin θ) - комплексне число у формі rcisθ. Якщо n - натуральне число, z ⁿ дорівнює z ⁿ = r ⁿ (cos (nθ) + i sin (nθ))

Повинно бути зрозуміло, що полярна форма забезпечує набагато швидший результат для підняття комплексного числа до степені, ніж виконання завдання в прямокутній формі.

Коріння комплексних чисел

Ви, напевно, давно помітили, що коли нова операція представлена в математиці, часто слід зворотна операція. Це, як правило, тому, що зворотна операція часто процедурно схожа, і має сенс вивчати обидва одночасно.

Це не виняток:

Зворотна операція знаходження степені для числа полягає в пошуку кореня одного і того ж числа.

Нагадаємо з алгебри, що будь-який корінь можна записати як\(\ x^{1 / n}\)
З огляду на, що формула теореми Де Муавра працює і для дробових ступенів, ту ж формулу можна використовувати для знаходження коренів:
\(\ z^{1 / n}=(a+b i)^{1 / n}=r^{1 / n} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right)\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, що потрібно зробити з комплексним числом, перш ніж ви зможете використовувати теорему Де Муавра про нього.

Рішення

Операцію зі складним числом, записану у прямокутній формі, наприклад: (13−4i) ³, слід перетворити на полярну форму перед використанням теореми Де Муавра.

Приклад 2

Знайдіть значення\(\ (1+\sqrt{3} i)^{4}\).

Рішення

\ (\\ почати {масив} {л}
r=\ sqrt {(1) ^ {2} + (\ sqrt {3}) ^ {2}} =2\\ tan
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ sqrt {3}} {1}
\ кінець {масив}\)

і θ знаходиться в 1-му ^{квадранті}, так

\(\ \theta=\frac{\pi}{3}\)

Використовуючи наше рівняння зверху:

\ (\\ begin {масив} {l}
z^ {4} =r^ {4}\ текст {cis} 4\ тета\
z^ {4} =( 2) ^ {4}\ текст {cis} 4\ frac {\ pi} {3}
\ end {масив}\)

Розширюється форма cis:

\ (\\ begin {масив} {l}
z^ {4} =16\ ліворуч (\ cos\ ліворуч (\ frac {4\ pi} {3}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ frac {4\ pi} {3}\ праворуч)\\
=16 (-0.5) -0.866 i)
\ end {масив}\)

Нарешті у нас є

\(\ z^{4}=-8-13.856 i\)

Приклад 3

Знайти\(\ \sqrt{1+i}\).

Рішення

По-перше, рерайт в експоненціальному вигляді:\(\ (1+i)^{1 / 2}\)

А тепер в полярному вигляді:

\(\ \sqrt{1+i}=\left(\sqrt{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^{1 / 2}\)

Розширюється форма cis,

\(\ =\left(\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{1 / 2}\)

Використовуючи формулу:

\ (\\ begin {масив} {l}
=\ лівий (2^ {1/2}\ праворуч) ^ {1/2}\ лівий (\ cos\ лівий (\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {\ pi} {4}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {\ pi} {4}\ sin\ лівий (\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {\
pi} {4} праворуч)\ праворуч)\\ =2^ {1/4}\ ліворуч (\ cos\ ліворуч (\ frac {\ pi} {8}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ frac {\ pi} {8}\ праворуч)
\ кінець {масив }\)

У десятковій формі отримуємо

\ (\\ begin {масив} {л}
=1.189 (0.924+0.383 i)\\
=1.09+0.455 i
\ end {масив}\)

Для перевірки помножимо результат на себе в прямокутному вигляді:

\ (\\ почати {масив} {л}
(1.09+0.45 i)\ cdot (1.09+0.455 i) =1.09^ {2} +1.099 (0,45 i) +1.099 (0,45 i) + (0,45 i) ^ {2}\\
= 1.208+0,500 i+0,500 i+0,208 i+0,208 i ^ {}\\
=1.208+i-0.208\ текст {або}\\
=1+i
\ end {масив}\)

Приклад 4

Знайти значення\(\ x: x^{3}=(1-\sqrt{3} i)\)

Рішення

Спочатку ставимо\(\ 1-\sqrt{3} i\) в полярному вигляді.

\(\ x=1, y=-\sqrt{3}\)Використовувати для отримання\(\ r=2, \theta=\frac{5 \pi}{3}\)

нехай\(\ z=(1-\sqrt{3} i)\) в прямокутній формі

\(\ z=2 \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)\)в полярній формі

\(\ x=(1-\sqrt{3} i)^{1 / 3}\)

\(\ x=\left[2 \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)\right]^{1 / 3}\)

Скористайтеся теоремою Де Муавре, щоб знайти перший розв'язок:

\(\ x_{1}=2^{1 / 3} \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi / 3}{3}\right) \text { or } 2^{1 / 3} \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{9}\right)\)

Залиште відповідь у формі cis, щоб знайти решту рішень:

n = 3, що означає, що 3 рішення є\(\ \frac{2 \pi}{3}\) радіанами один від одного або

\(\ x_{2}=2^{1 / 3} \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{9}+\frac{2 \pi}{3}\right)\)і\(\ x_{3}=2^{1 / 3} \operatorname{cis}\left(\frac{5 \pi}{9}+\frac{2 \pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)\)

Примітка

\(\ \frac{2 \pi}{3}\)Знову додавати не потрібно. Додавання\(\ \frac{2 \pi}{3}\) тричі дорівнює\(\ 2 \pi\). Це призведе до обертання навколо повного кола і почати з того, де все почалося - це перше рішення.

Три рішення:

\ (\\ begin {масив} {l}
x_ {1} =2^ {1/3}\ ім'я оператора {cis}\ left (\ frac {5\ pi} {9}\ праворуч)\\
x_ {2} =2^ {1/3}\ ім'я оператора {cis}\ left (\ frac {11\ pi} {9}\ праворуч)\\
x_ {3} =2^ {1/3}\ ім'я оператора {cis}\ ліворуч (\ frac {17\ pi} {9}\ праворуч)
\ end {масив}\)

Кожне з цих рішень при графіку буде\(\ \frac{2 \pi}{3}\) розділено.

F-D_2cda8a19e936092 ЕС97КБС5279 АЦД 0А1730д9С385302А0А1А7АФ +зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Перевірте будь-яке з цих рішень, щоб перевірити, чи підтверджені результати.

Перевірка другого рішення:

\ (\\ begin {масив} {l}
x_ {2} =2^ {1/3}\ ім'я оператора {cis}\ left (\ frac {11\ pi} {9}\ праворуч)\\
=1.260\ ліворуч [\ cos\ left (\ frac {11\ pi} {9}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ frac {11\ pi} {9}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ frac {11\ pi} {9}\ праворуч) +i\ sin\ ліворуч (\ праворуч)\ праворуч]\\
=1.260 [-0.766-0.643 i]\\
=-0.965-0.810 i
\\ текст {Чи } (-0.965-0.810 i) ^ {3}\ текст {або} (-0.965-0.810 i) (-0.965-0.810 i) (-0.965-0.810 i)\\
=( 1-\ sqrt {3} i)?
\ end {масив}\)

Приклад 5

Які два квадратних кореня я?

Рішення

Нехай\(\ z=\sqrt{0+i}\).

\(\ r=1, \theta=\pi / 2 \text { or } z=\left[1 \times \operatorname{cis} \frac{\pi}{2}\right]^{1 / 2}\)Використовуючи теорему Де Муавре:

\(\ z_{1}=\left[1 \times \operatorname{cis} \frac{\pi}{4}\right] \text { or } z_{2}=\left[1 \times \operatorname{cis} \frac{5 \pi}{4}\right]\)

\(\ z_{1}=1\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \text { or } z_{2}=1\left(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\right)\)

\(\ z_{1}=0.707+0.707 i \text { or } z_{2}=-0.707-0.707 i\)

Перевірте на ₁ рішення:\(\ (0.707+0.707 i)^{2}=i ?\)

\(\ 0.500+0.500 i+0.500 i+0.500 i^{2}=0.500+i+0.500(-1) \text { or } i\)

Приклад 6

Розрахувати\(\ \sqrt[4]{(1+0 i)}\). Які чотири четверті корені 1?

Рішення

Нехай\(\ z=1 \text { or } z=1+0 i\). Тоді проблема стає знахідкою\(\ z^{1 / 4}=(1+0 i)^{1 / 4}\).

Так як\(\ r=1 \theta=0, z^{1 / 4}=[1 \times \operatorname{cis} 0]^{1 / 4}\) з\(\ z_{1}=1^{1 / 4}\left(\cos \frac{0}{4}+i \sin \frac{0}{4}\right)\) або\(\ 1(1+0)\) або\(\ 1\)

Цей корінь не є несподіванкою. Тепер використовуйте De Moivre, щоб знайти інші корені:

\(\ z_{2}=1^{1 / 4}\left[\cos \left(0+\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(0+\frac{\pi}{2}\right)\right]\)Оскільки існує 4 кореня,\(\ 2 \pi\) діливши на 4 врожаї\(\ 0.5 \pi\)\(\ 0+i\) або просто\(\ i\)\(\ z_{3}=1^{1 / 4}\left[\cos \left(0+\frac{2 \pi}{2}\right)+i \sin \left(0+\frac{2 \pi}{2}\right)\right]\) які врожаї\(\ z_{3}=-1\)

Нарешті,\(\ z_{4}=1^{1 / 4}\left[\cos \left(0+\frac{3 \pi}{2}\right)+i \sin \left(0+\frac{3 \pi}{2}\right)\right]\) або\(\ z_{4}=-i\)

Чотири четвертих кореня 1 - це 1, i, -1 і -i.

Приклад 7

Розрахувати\(\ (\sqrt{3}+i)^{7}\).

Рішення

Для обчислення\(\ (\sqrt{3}+i)^{7}\) почніть з перетворення в форму rcis.

Спочатку знайдіть р. Нагадаємо\(\ r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}\).

\ (\\ begin {масив} {l}
r=\ sqrt {3+1}\\
r=2
\ end {масив}\)

Якщо\(\ \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) і\(\ \sin \theta=\frac{1}{2}\) тоді\(\ \theta=30^{\circ}\) і знаходиться в квадранті I. Тепер, коли ми маємо тригонометричну форму, все інше легко:

\(\ (\sqrt{3}+i)^{7}=\left[2\left(\cos 30^{\circ}+i \sin 30^{\circ}\right)\right]^{7}\)... Напишіть оригінальну задачу в формі rcis

\(\ 2^{7}\left[\left(\cos \left(7 \cdot 30^{\circ}\right)+i \sin \left(7 \cdot 30^{\circ}\right)\right]\right.\)... Теорема Де Муайра

\(\ 128\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{-1}{2} i\right]\)... Спростити

\(\ (\sqrt{3}+i)^{7}=-64 \sqrt{3}-64 i\)... Спростити ще раз

\(\ \therefore(\sqrt{3}+i)^{7}=-64 \sqrt{3}-64 i\)

Рецензія

Виконайте зазначену операцію над цими комплексними числами:

Розділити:\(\ \frac{2+3 i}{1-i}\)
Помножити:\(\ (-6-i)(-6+i)\)
Помножити:\(\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i\right)^{2}\)
Знайдіть виріб, використовуючи полярну форму:\(\ (2+2 i)(\sqrt{3}-i)\)
Помножити:\(\ 2\left(\cos 40^{\circ}+i \sin 40^{\circ}\right) \cdot 4\left(\cos 20^{\circ}+i \sin 20^{\circ}\right)\)
Помножити:\(\ 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \cdot 2\left(\cos \frac{\pi}{10}+i \sin \frac{\pi}{10}\right)\)
Розділити:\(\ 2\left(\cos 80^{\circ}+i \sin 80^{\circ}\right) \div 6\left(\cos 200^{\circ}+i \sin 200^{\circ}\right)\)
Розділити:\(\ 3 \operatorname{cis}\left(130^{\circ}\right) \div 4 \operatorname{cis}\left(270^{\circ}\right)\)

Використовуйте теорему Де Муавра.

\(\ \left[3\left(\cos 80^{\circ}+i \sin 80^{\circ}\right)\right]^{3}\)
\(\ \left[\sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{16}+i \sin \frac{5 \pi}{16}\right)\right]^{4}\)
\(\ (\sqrt{3}-i)^{6}\)
Визначте 3 складних кубових коренів\(\ 1+i\)
Визначте 4 складних четвертих кореня\(\ -16 i\)
Визначте п'ять складних п'ятих коренів\(\ i\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.

Лексика

Термін	Визначення
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді a+bi.
Теорема де Муавра	Теорема Де Муавра є єдиним практичним ручним методом ідентифікації степенів або коренів комплексних чисел. Теорема стверджує, що якщо z=r (cosθ +isinθ) є комплексним числом у вигляді rcisθ, а n - натуральним, то z ⁿ = r ⁿ (cos (nθ) +isin (nθ)).

Термін

Визначення

комплексне число

Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді a+bi.

Теорема де Муавра

Теорема Де Муавра є єдиним практичним ручним методом ідентифікації степенів або коренів комплексних чисел. Теорема стверджує, що якщо z=r (cosθ +isinθ) є комплексним числом у вигляді rcisθ, а n - натуральним, то z ⁿ = r ⁿ (cos (nθ) +isin (nθ)).