4.5.5: Полярна форма комплексних чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54980

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Полярна форма комплексних чисел

Комплексні числа можуть бути побудовані на полярному графіку так само, як і дійсні числа. Під час цього уроку ви виявите, що насправді існує кілька різних способів зробити це.

Полярна форма комплексних чисел

Ви дізналися, що прямокутні графіки можна поставити в полярну форму, і що точки в прямокутних координатах можуть бути побудовані в полярній системі координат. У цьому розділі ви дізнаєтеся, як зробити той же процес зі складними числами.

Існує три загальні форми комплексних чисел, які ви побачите під час графіків:

У стандартній формі:\(\ z=a+b i\)\(\ a\) комплексне число z може бути позначено за допомогою прямокутних координат\(\ (a, b)\). \(\ \text { 'a' }\)представляє координату x -, тоді як\(\ \text { 'b' }\) представляє y - координату.
Полярна форма:\(\ (r, \theta)\) яку ми досліджували на попередньому уроці, також може бути використана для графування комплексного числа. Нагадаємо, що ви можете використовувати x і y для перетворення між прямокутними і полярними формами за допомогою:\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) і\(\ \tan \theta_{r e f}=\left|\frac{y}{x}\right|\). На жаль, існує проблема з використанням перетворення з прямокутної форми в полярну форму на кшталт:
\(\ a+b i \rightarrow(r, \theta)\)

або

\(\ -1-i \sqrt{3} \rightarrow\left(2, \frac{4 \pi}{3}\right)\)

Проблема в тому, що ми втратили i. Отже, для того, щоб «відстежити» уявну частину, можна використовувати іншу форму.
Третя форма - тригонометрична форма. Він часто скорочується як rcisθ, скорочено від: z = r (c osθ + є inθ), і буде використовуватися досить часто, коли ви прогресуєте. Ця форма походить від замін:
х = r cos θ і у = r sin θ.

Використовуючи цей факт, і вибіркові значення 2 для r і\(\ \frac{\pi}{3}\) для θ, ми можемо записати

\(\ z=-1-i \sqrt{3}=2 \cos \frac{4 \pi}{3}+2 i \sin \frac{4 \pi}{3}\)

Нарешті, факторинг 2, отримуємо:\(\ z=2\left(\cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3}\right)\)

Резюме форм

Комплексне число:\(\ z=-1-\sqrt{3} i\), прямокутна точка\(\ (-1,-\sqrt{3})\), полярна точка:\(\ \left(2, \frac{4 \pi}{3}\right)\), і\(\ 2\left(\cos \frac{4 \pi}{3}+i \sin \frac{4 \pi}{3}\right)\) або\(\ 2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\) всі представляють одне і те ж число.

Кроки для перетворення

Щоб перетворити від полярної до прямокутної форми, відстань, яку точка (2, 2) знаходиться від початку, можна знайти за допомогою

\(\ d=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \text { or } \sqrt{2^{2}+2^{2}} d=\sqrt{8} \text { or } 2 \sqrt{2}\)

Опорний кут (тобто відповідний кут у першому квадранті), за яким відрізок лінії між точкою та початком може бути знайдений

\(\ \tan \theta_{r e f}=\left|\frac{y}{x}\right|\)

для\(\ z=2+2 i\),

\(\ \tan \theta_{r e f}=\frac{2}{2}\)

\(\ \tan \theta_{r e f}=1\).

Оскільки ця точка знаходиться в першому квадранті (координати x і y позитивні), кут повинен бути 45 ^o або\(\ \frac{\pi}{4}\) радіани.

Можливо також, що при tan θ = 1 кут може бути в третьому квадранті або\(\ \frac{5 \pi}{4}\) радіанах. Але цей кут не задовольнить умовам задачі, так як кут третього квадранта повинен мати і x, і y як негативи.

Примітка

При використанні\(\ \tan \theta=\frac{y}{x}\) слід спочатку розглянути, частка\(\ \mid \frac{y}{x}\mid\) і знайти перший кут квадранта, який задовольняє цій умові. Цей кут буде називатися опорним кутом, позначається\(\ \theta_{\text {ref }}\). Знайдіть фактичний кут, аналізуючи, в якому квадранті кут повинен бути заданий знаками x і y.

Комплексне число 2 + 2 i або (2, 2) у прямокутній формі має полярні координати\(\ \left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)

Ф-Д_0БК82ЕФБФ 67А 17Д08Ф623Ф74С1А3С03911079Б84404А2А5С486ФЦ408+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклади

Приклад 1

Графік в полярній формі:\(\ z=-1-i \sqrt{3}\).

Рішення

Ось як це виглядає в прямокутній системі координат:

Ф-Д_1де 83КС3489А 3А1Ф5 Ди 75Е8А7А6Ф93740С08Е7С1Д6ЕФФ035772Ф403+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

У полярній формі знаходимо r з

\ (\\ почати {масив} {л}
r=\ sqrt {a^ {2} +b^ {2}}\\
=\ sqrt {(-1) ^ {2} + (-\ sqrt {3}) ^ {2}}\
=\ sqrt {1+3}\
=\ sqrt {4}\\
=2
\ кінець {масив}\)

і знайти θ,

\ (\\ почати {масив} {л}
\ тан\ тета_ {r е е ф} =\ ліворуч |\ frac {-\ sqrt {3}} {-1}\ праворуч |\
\ tan\ theta_ {r e f} =\ sqrt {3}\
\ theta_ {r e f} =\ тан ^ {-1}\ sqrt {3}\
\ тета_ _ {r e f} =\ frac {\ pi} {3}
\ end {масив}\)

Так як цей кут знаходиться в ^4-му квадранті,\(\ \theta=\frac{4 \pi}{3}\).

Приклад 2

Знайдіть полярні координати, які представляють комплексне число\(\ z=3-3 \sqrt{3} i\).

Рішення

\(\ a=3\)і\(\ b=-3 \sqrt{3}\): прямокутні координати точки є\(\ (3,-3 \sqrt{3})\).

Тепер намалюйте прямокутний трикутник в стандартному вигляді. Знайдіть відстань, яку точка знаходиться від початку, і кут відрізка лінії, який представляє цю відстань, складає з віссю +x:

Ф-Д_ФКБКК 5ДД 606Б835Е 97Д5Б4Б3Ф61Ф244СБ264ФБ7059 Додати 58290C10F1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Ми знаємо\(\ a=3, b=-3 \sqrt{3}\)

\ (\\ почати {масив} {л}
r=\ sqrt {3^ {2} + (-3\ sqrt {3}) ^ {2}}\\
=\ sqrt {9+27}\
=\ sqrt {36}\\
=6
\ end {масив}\)

І за кутом,

\ (\\ почати {масив} {л}
\ тан\ тета_ {r е е ф} =\ ліворуч |\ frac {(-3\ sqrt {3})} {3}\ праворуч |\
\ tan\ theta_ {r e f} =\ sqrt {3}\
\ theta_ {r e f} =\ frac {\ pi} {3}
\ кінець {масив}\)

Але, так як це ^4-й кут квадранта

\(\ \theta=\frac{5 \pi}{3}\)

\(\ (3,-3 \sqrt{3} i)\)Прямокутна точка еквівалентна полярній точці\(\ \left(6, \frac{5 \pi}{3}\right)\).

У формі rcisθ,\(\ (3,-3 \sqrt{3} i) \text { is } 6\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\).

Приклад 3

Перетворіть наступні комплексні числа в полярну форму, використовуйте еквівалентний графічний калькулятор TI-84:

\(\ \sqrt{3}-i\)
\(\ 9 \sqrt{3}+9 i\)

Рішення

На TI-84: перейдіть до [КУТ] (або [2-я] функція) [APPS]. Прокрутіть вниз до 5 або «R-Pr («і натисніть [Enter]. Далі введіть прямокутні координати і закрийте дужки. Натисніть [Enter], з'явиться значення «r». Прокрутіть вниз до 6R-Pθ, і полярний кут з'явиться в десятковій формі радіана.

Примітка: Також у меню [КУТ] команди 7 і 8 дозволяють перетворити полярну форму на прямокутну форму.

Приклад 4

Ділянка комплексного числа\(\ z=12+9 i\).

Що потрібно для того, щоб намітити цю точку на полярній площині?
Як можна визначити r-значення?
Що таке r для цього моменту?
Як можна визначити θ?
Що таке θ для цієї точки?
Як би\(\ z=12+9i\) виглядало на полярній площині?

Рішення

По-перше, нам потрібно буде знати r і θ.
Значення r - гіпотенуза трикутника з двома іншими сторонами, A=12 і B=9. Його можна визначити за допомогою теореми Піфагора: A ^2+B ² = C ².
Значення r для цієї точки дорівнює\(\ \sqrt{144+81} \rightarrow \sqrt{225}=15\).
\(\ \theta\)можна обчислити за допомогою\(\ \sin \theta=\frac{9}{15}\) або\(\ \cos \theta=\frac{12}{15}\).
Для цього пункту,\(\ \sin \theta=\frac{3}{5} \rightarrow 37^{\circ}\) або\(\ \cos \theta=\frac{4}{5} \rightarrow 37^{\circ}\).
\(\ z=12+9 i\)виглядає як зображення нижче при нанесенні на полярній площині.

F-д_Б8да 6034772С28ФД1 Баа 37958Е5Е5Ф369ФД18064Ба 75668ДД0СБА 1D3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 5

Який квадрант\(\ z=-3+2 i\) відбувається при графіку?

Рішення

Точка\(\ z=-3+2 i\) відбувається на 3 одиниці зліва і 2 одиниці вгору, помістивши її в квадрант II.

Приклад 6

Які координати\(\ z=-3+2 i\) в полярній формі і тригонометричній формі?

Рішення

Для ідентифікації координат\(\ z=-3+2 i\) в полярній формі і тригонометричній формі:

\(\ r=\sqrt{\left(-3^{2}\right)+\left(2^{2}\right)} \rightarrow \sqrt{13}\)Спочатку знайдіть r

\(\ \sin \theta=\frac{2}{\sqrt{13}} \rightarrow 33.7^{\circ}\)По-друге, знайдіть\(\ \theta\)

\(\ \therefore\left[\sqrt{13}, 33.7^{\circ}\right]\)координати в полярній формі.

\ отже\ ім'я оператора {rcis}\ sqrt {13}\ left (\ frac {\ pi} {5}\ право) - координати у вигляді rcis

Приклад 7

Якими були б полярні координати точки, зображеної нижче?

F-д_Б22 Дада 3327Е93281 ЕБ9ФКД 619А15771 Ф930ДА4А3814БК6Б51Ф839С4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Рішення

\(\ (4.5, 3i)\)Тому прямокутні координати є комплексним числом\(\ z=4.5+3 i\)

r=5.4 Використання теореми Піфагора, як у Q #3

\(\ \theta=33.75^{\circ}\)Використання\(\ \sin =\frac{o p p}{h y p}\) як у Q #3

∴ [5.4,33.65 ^o] це точка в полярній формі\(\ \therefore \operatorname{rcis} 5.4\left(\frac{\pi}{5}\right)\) координати за\(\ r c i s\) формою

Рецензія

Покладіть кожне комплексне число в комплексній площині. Знайдіть його полярну форму,\(\ [r, \theta]\) і дайте аргумент\(\ \theta\) в градусах.

1. \(\ 1+i\)
2. \(\ i\)
3. \(\ (1+i) i\)
1. \(\ −2\)
2. \(\ 3i\)
3. \(\ (−2)(3i)\)
1. \(\ 1+i\)
2. \(\ 1−i\)
3. \(\ (1+i)(1−i)\)
1. \(\ 1+i \sqrt{3}\)
2. \(\ \sqrt{3}-i\)
3. \(\ (1+i \sqrt{3})(\sqrt{3}-i)\)
Які прямокутні координати для точки, зображеної нижче?

Обчислити і перетворити в\(\ r c i s\) форму.

\(\ \frac{-2-2 i}{1-i}\)
\(\ 1+i^{6}\)
\(\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i^{10}\)

Зміна полярної форми.

\(\ -3-2 i\)
\(\ 2 \sqrt{3}-2 i\)

Змінити на прямокутну форму.

\(\ 15\left(\cos 120^{\circ}+i \sin 120^{\circ}\right)\)
\(\ 12\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
Для комплексного числа в стандартному вигляді\(\ x+i y\) знайти:
1. Полярна форма
2. Тригонометрична форма
  (Підказка: нагадаємо, що\(\ x=\operatorname{rcos} \theta\) і\(\ y=r \sin \theta\))

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.8.

Лексика

Термін	Визначення
rcisθ	rcisθ є скороченням для виразу rcosθ + risinθ.
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді a+bi.
полярна система координат	Полярна система координат - це спеціальна система координат, в якій розташування кожної точки визначається її відстанню від полюса і кутом по відношенню до полярної осі.
полярна форма	Полярна форма точки або кривої задається через r і θ і графікується на полярній площині.
квадрант	Квадрант - це одна четверта координатної площини. Чотири квадранти нумеруються за допомогою римських цифр I, II, III та IV, починаючи у верхньому правому куті та збільшуючись проти годинникової стрілки.
Посилання Кут	Опорний кут - це кут, утворений між кінцевою стороною кута і найближчою від позитивної або негативної осі x.
тригонометрична форма	Написати комплексне число в тригонометричній формі означає записати його у вигляді rcosθ + risinθ. rcisθ є скороченням для цього виразу.
тригонометрична полярна форма	Написати комплексне число в тригонометричній формі означає записати його у вигляді rcosθ + risinθ. rcisθ є скороченням для цього виразу.