A.6: Інший приклад

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52804

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

Якщо\(A \subseteq C\), то\(A \cup (C \setminus A) = C\).

Доказ. Припустимо, що\(A \subseteq C\). Ми хочемо це показати\(A \cup (C \setminus A) = C\).

Почнемо з того, що спостерігаємо, що це умовний оператор. Це мовчазно універсально кількісно: пропозиція тримається для всіх наборів\(A\) і\(C\). Так\(A\) і\(C\) є змінними для довільних множин. Щоб довести таке твердження, ми припускаємо попереднє і доведемо наслідок.

Продовжуємо, використовуючи припущення, що\(A \subseteq C\). Розпакуємо визначення\(\subseteq\): припущення означає, що всі елементи також\(A\) є елементами\(C\). Давайте запишемо це - це важливий факт, який ми будемо використовувати протягом усього доказу.

За визначенням\(\subseteq\), так як\(A \subseteq C\), для всіх\(z\), якщо\(z \in A\), то\(z \in C\).

Ми розпакували всі визначення, які даються нам у припущенні. Тепер можна переходити до висновку. Ми хочемо показати\(A \cup (C \setminus A) = C\), що, і тому ми створили доказ аналогічно останньому прикладі: ми показуємо, що кожен елемент також\(A \cup (C \setminus A)\) є елементом\(C\) і, навпаки, кожен елемент\(C\) є елементом\(A \cup (C \setminus A)\). Ми можемо скоротити це до:\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\) і\(C \subseteq A \cup (C \setminus A)\). (Тут ми робимо протилежне розпакування визначення, але це робить доказ трохи легше читати.) Оскільки це кон'юнкція, ми повинні довести обидві частини. Щоб показати першу частину, тобто, що кожен елемент також\(A \cup (C \setminus A)\) є елементом\(C\), ми припускаємо, що\(z \in A \cup (C \setminus A)\) для довільного\(z\) і показати, що\(z \in C\). За визначенням\(\cup\), можна зробити висновок, що\(z \in A\) або\(z \in C \setminus A\) з\(z \in A \cup (C \setminus A)\). Тепер ви повинні отримати повісити це.

\(A \cup (C \setminus A) = C\)іфф\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\) і\(C \subseteq (A \cup (C \setminus A)\). Спочатку доведемо це\(A \cup (C \setminus A) \subseteq C\). Нехай\(z \in A \cup (C \setminus A)\). Отже, або\(z \in A\) або\(z \in (C \setminus A)\).

Ми дійшли до диз'юнкції, і з неї ми хочемо це довести\(z \in C\). Робимо це, використовуючи докази випадками.

Випадок 1:\(z \in A\). Оскільки для всіх\(z\), якщо\(z \in A\)\(z \in C\), ми маємо це\(z \in C\).

Тут ми використали факт, записаний раніше, який випливав з гіпотези про те, що\(A \subseteq C\). Перший випадок завершений, і переходимо до другого випадку,\(z \in (C \setminus A)\). Нагадаємо, що\(C \setminus A\) позначає різницю двох множин, тобто безліч всіх елементів\(C\) яких не є елементами\(A\). Але будь-який елемент\(C\) не в\(A\) є особливим елементом\(C\).

Випадок 2:\(z \in (C \setminus A)\). Це означає, що\(z \in C\) і\(z \notin A\). Так, зокрема,\(z \in C\).

Чудово, ми довели перший напрямок. Тепер до другого напрямку. Тут ми це доведемо\(C \subseteq A \cup (C \setminus A)\). Таким чином, ми припускаємо, що\(z \in C\) і довести це\(z \in A \cup (C \setminus A)\).

Тепер давайте\(z \in C\). Ми хочемо показати, що\(z \in A\) або\(z \in C \setminus A\).

Оскільки всі елементи також\(A\) є елементами\(C\), і\(C \setminus A\) є сукупністю всіх речей, які є елементами,\(C\) але ні\(A\), випливає, що\(z\) є\(A\) або в \(C \setminus A\). Це може бути трохи незрозуміло, якщо ви ще не знаєте, чому результат вірний. Краще було б довести це поетапно. Це допоможе використовувати простий факт, який ми можемо заявити без доказів:\(z \in A\) або\(z \notin A\). Це називається «принципом виключеної середини:» для будь-якого твердження або\(p\) істинно\(p\), або його заперечення вірно. (Ось твердження,\(p\) що\(z \in A\).) Оскільки це диз'юнкція, ми можемо знову використовувати proof-by-cases.

Або\(z \in A\) або\(z \notin A\). У першому випадку,\(z \in A \cup (C \setminus A)\). В останньому випадку\(z \in C\) і\(z \notin A\), так\(z \in C \setminus A\). Але потім\(z \in A \cup (C \setminus A)\).

Наш доказ повний: ми це показали\(A \cup (C \setminus A) = C\).

◻