A.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52806

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Виходячи з вашого досвіду вступної логіки, вам може бути комфортно з системою доказів - ймовірно, природною системою відрахування або доказом стилю Fitch, або, можливо, системою доказів дерева. Ви, напевно, пам'ятаєте, як робити докази в цих системах, або доводячи формулу, або показати, що даний аргумент є дійсним. Для того щоб це зробити, ви застосовували правила системи до тих пір, поки не отримали бажаний кінцевий результат. Міркуючи про логіку, ми також доводимо речі, але в більшості випадків ми не використовуємо систему доказів. Насправді більшість доказів, які ми розглядаємо, зроблені англійською мовою (можливо, з якоюсь символічною мовою), а не повністю мовою логіки першого порядку. При побудові таких доказів ви можете спочатку втратити - як мені щось довести без доказової системи? Як почати? Як дізнатися, чи вірний мій доказ?

Перш ніж спробувати доказ, важливо знати, що таке доказ і як його побудувати. Як мається на увазі під назвою, доказ покликаний показати, що щось є правдою. Ви можете подумати про це з точки зору діалогу - хтось запитує вас, якщо щось правда, скажімо, якщо кожне просте, крім двох, є непарним числом. Відповісти «так» недостатньо; вони можуть захотіти знати, чому. У цьому випадку ви б дали їм доказ.

У повсякденному дискурсі може бути достатньо жестикулювати відповіддю або дати неповну відповідь. Однак у логіці та математиці ми хочемо суворого доказу - ми хочемо показати, що щось істинне поза всякими сумнівами. Це означає, що кожен крок у нашому доказуванні повинен бути виправданим, а обґрунтування повинно бути переконливим (тобто припущення, яке ви використовуєте, насправді передбачається у твердженні теореми, яку ви доводите, визначення, які ви застосовуєте, повинні бути правильно застосовані, обґрунтування, до яких звертаються, повинні бути правильними висновками, і т.д.).

Зазвичай ми доводимо деяке твердження. Ми називаємо твердження, які ми доводимо різними назвами: пропозиціями, теоремами, лемами або наслідками. Пропозиція є основним доказовим твердженням: достатньо важливим для запису, але, можливо, не особливо глибоким і часто застосовується. Теорема є значущим, важливим судженням. Його доказ часто розбивається на кілька кроків, а іноді його називають на честь людини, яка вперше це довела (наприклад, Теорема Кантора, теорема Ловенгейма-Сколема) або після того, як це стосується (наприклад, теорема повноти). Лема - це пропозиція або теорема, яка використовується для доведення більш важливого результату. Як не дивно, іноді леми є важливими результатами самі по собі, а також названі на честь людини, яка їх ввела (наприклад, Лемма Зорна). Наслідком є результат, який легко випливає з іншого.

Заява, яка буде доведена, часто містить деяке припущення, яке уточнює, які речі ми щось доводимо. Це може починатися з «\(A\)Дозволяти бути формулою форми\(B \lif C\)» або «Припустимо\(\Gamma \Proves A\)» або щось подібне. Це гіпотези пропозиції, теореми чи леми, і ви можете припустити, що це вірно у вашому доказі. Вони обмежують те, що ми доказуємо, а також вводять деякі назви для об'єктів, про які ми говоримо. Наприклад, якщо ваша пропозиція починається з «Дозвольте\(A\) бути формулою форми»\(B \lif C\), ви доводите щось лише про всі формули певного роду (а саме, умовні), і зрозуміло, що\(B \lif C\) це довільна умова, що ваш доказ поговоримо про.