Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

A.8: Читання доказів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52820

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Докази, які ви знайдете в підручниках та статтях, дуже рідко дають усі деталі, які ми досі включили в наші приклади. Автори часто не звертають уваги на те, коли вони розрізняють випадки, коли дають непрямі докази або не згадують, що вони використовують визначення. Тому, коли ви читаєте доказ у підручнику, вам часто доведеться заповнити ці деталі для себе, щоб зрозуміти докази. Робити це також є гарною практикою, щоб отримати повісити різні ходи, які ви повинні зробити в доказі. Давайте розглянемо приклад.

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\): Absorption

    Для всіх наборів\(A\)\(B\),\[A \cap (A \cup B) = A\nonumber\]

    Доказ. Якщо\(z \in A \cap (A \cup B)\), то\(z \in A\), так\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). Тепер припустимо\(z \in A\). Тоді також\(z \in A \cup B\), а значить і\(z \in A \cap (A \cup B)\). ◻

    Попереднє доказ закону поглинання дуже стиснутий. Немає жодної згадки про будь-які використовувані визначення, ні «ми повинні це довести», перш ніж ми це доведемо, і т.д., Давайте розпакуємо його. Пропозиція доведена є загальним твердженням про будь-які\(A\) множини і\(B\), і коли доказ згадує\(A\) або\(B\), це змінні для довільних множин. Загальні вимоги, які доказ встановлює, - це те, що потрібно для підтвердження ідентичності множин, тобто, що кожен елемент лівої сторони особи є елементом правого і навпаки.

    «Якщо\(z \in A \cap (A \cup B)\), то\(z \in A\), так»\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\).

    Це перша половина підтвердження особи: вона встановлює, що якщо довільна\(z\) є елементом лівої сторони, то це також елемент правої, тобто\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). Припустимо, що\(z \in A \cap (A \cup B)\). Оскільки\(z\) є елементом перетину двох множин, якщовін є елементом обох множин, то можна зробити висновок, що\(z \in A\) і також\(z \in A \cup B\). Зокрема\(z \in A\), це те, що ми хотіли показати. Оскільки це все, що потрібно зробити за першу половину, ми знаємо, що решта доказів має бути доказом другої половинки, тобто доказом того\(A \subseteq A \cap (A \cup B)\).

    «Тепер припустимо\(z \in A\). Тоді також\(z \in A \cup B\), а значить і»\(z \in A \cap (A \cup B)\).

    Ми починаємо з припущення\(z \in A\), що, оскільки ми показуємо, що для будь-якого\(z\), якщо\(z \in A\) тоді\(z \in A \cap (A \cup B)\). Щоб показати це\(z \in A \cap (A \cup B)\), ми повинні показати (за визначенням «\(\cap\)»), що (i),\(z \in A\) а також (ii)\(z \in A \cup B\). Тут (i) - це лише наше припущення, тому немає нічого далі, щоб довести, і тому доказ не згадує про це знову. Для (ii) нагадаємо, що\(z\) є елементом об'єднання множин, якщо це елемент принаймні одного з цих множин. Оскільки\(z \in A\), і\(A \cup B\) є об'єднанням\(A\) і\(B\), це справа тут. Отже\(z \in A \cup B\). Ми показали обидва (i)\(z \in A\) і (ii)\(z \in A \cup B\), отже, за визначенням «\(\cap\),»\(z \in A \cap (A \cup B)\). Доказ не згадує ці визначення; передбачається, що читач вже їх інтерналізував. Якщо ви цього не зробили, вам доведеться повернутися і нагадати собі, що вони є. Тоді вам також доведеться визнати, чому це випливає з\(z \in A\) того\(z \in A \cup B\), і від\(z \in A\) і\(z \in A \cup B\) що\(z \in A \cap (A \cup B)\).

    Ось ще одна версія доказу вище, з усім явним:

    Доказ.

    [За визначенням\(=\) для множин,\(A \cap (A \cup B) = A\) ми повинні показати (a)\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\) і (b)\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). (a): За визначенням\(\subseteq\), ми повинні показати, що якщо\(z \in A \cap (A \cup B)\), то\(z \in A\).] Якщо\(z \in A \cap (A \cup B)\), то\(z \in A\) [так як за визначенням\(\cap\),\(z \in A \cap (A \cup B)\) iff\(z \in A\) і\(z \in A \cup B\)], так\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). [(b): За визначенням\(\subseteq\), ми повинні показати, що якщо\(z \in A\), то\(z \in A \cap (A \cup B)\).] Тепер припустимо [(1)]\(z \in A\). Тоді також [(2)]\(z \in A \cup B\) [оскільки за (1)\(z \in A\) або\(z \in B\), який за визначенням\(\cup\) засобів\(z \in A \cup B\)], а отже також\(z \in A \cap (A \cup B)\) [оскільки визначення\(\cap\) вимагає, щоб \(z \in A\), тобто, (1), і\(z \in A \cup B)\), тобто (2)] . ◻

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Розгорніть наступний доказ того\(A \cup (A \cap B) = A\), де ви згадуєте всі використовувані шаблони висновків, чому кожен крок випливає з припущень або претензій, встановлених перед ним, і де ми повинні звернутися до яких визначень.

    Доказ. Якщо\(z \in A \cup (A \cap B)\) то\(z \in A\) або\(z \in A \cap B\). Якщо\(z \in A \cap B\),\(z \in A\). Будь-який\(z \in A\) теж є\(\in A \cup (A \cap B)\). ◻