5.1: Правила постійної, ідентичності та влади
- Page ID
- 54326
Правило влади є фантастичним «ярликом» для знаходження похідних основних поліномів. Між силовим правилом і основним визначенням похідної константи можна виділити велику кількість поліноміальних похідних з невеликими зусиллями - часто в голові!
Постійні похідні та правило влади
На цьому уроці ми розробимо формули та теореми, які будуть обчислювати похідні більш ефективними та швидкими способами. Шукайте ці теореми в коробках протягом усього уроку.
Похідна константи
Теорема
Якщо\[f(x)=c \nonumber\] де c - константа, то\[f'(x)=0 \nonumber\]
- Доказ
-
\[f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0 \nonumber\]
Теорема
Якщо c - константа, а f диференціюється взагалі x, то
- Доказ
-
\[ \frac{d}{dx}[cf(x)]=c \frac{d}{dx}[f(x)] \nonumber\]У простіших позначеннях\[(cf)'=c(f)'=cf' \nonumber\]
Правило влади
Теорема
(Правило потужності) Якщо n є натуральним числом, то для всіх дійсних значень x\[ \frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1} \nonumber\]
Приклади
Приклад 1
Знайти f′ (x) для f (x) =16.
Якщо f (x) = 16 для всіх x, то f′ (x) = 0 для всіх х.
Ми також можемо написати\[ \frac{d}{dx}16=0 \nonumber\]
Приклад 2
Знайти похідну f (x) =4x 3.
\[\frac{d}{dx} 4x^3 \nonumber\]... Повторення функції
\[4 \frac{d}{dx} x^3 \nonumber\]... Застосовуйте комутативний закон
\[4[3x^2] \nonumber\]... Застосувати правило харчування
\[12x^2 \nonumber\]... Спростити
Приклад 3
Знайдіть похідну від\[f(x)= \frac{-2}{x^4} \nonumber\].
\[ \frac{d}{dx}[\frac{-2}{x^4}] \nonumber\]... Відновлюйте
\[ \frac{d}{dx}[-2x^{-4}] \nonumber\]... Правила показників
\[ -2 \frac{d}{dx}[x^{-4}] \nonumber\]... За комутативним законом
\[ -2 [-4x^{-4-1}] \nonumber\]... Застосуйте правило харчування
\[ -2 [-4x^{-5}] \nonumber\]... Спростити
\[8x^{-5} \nonumber\]... Спростити ще раз
\[ \frac{8}{x^5} \nonumber\]... Використання правил експонентів
Приклад 4
Знайти похідну f (x) =x.
Особливе застосування правила харчування:
\[\frac{d}{dx}[x]=1x^{1−1}=x^0=1 \nonumber\]
Приклад 5
Знайти похідну f (x) = x 0.5.
Повторіть функцію:\[\frac{d}{dx}[x^{0.5}] \nonumber\]
Використання правил показників (з алгебри):\[\frac{d}{dx}[x^{1/2}] \nonumber\]
Застосовуємо правило харчування:\[\frac{1}{2} x^{1/2−1} \nonumber\]
Спростити:\[\frac{1}{2} x^{-1/2} \nonumber\]
Правила показників:\[\frac{1}{2x^{1/2}} \nonumber\]
Приклад 6
Знайдіть похідну від\[f(x)= \frac{1}{x^3} \nonumber\].
Повторіть функцію:\[\frac{d}{dx}[\frac{1}{x^3}] \nonumber\]
Правила показників:\[\frac{d}{dx} x^{-3}] \nonumber\]
Правило харчування:\[−3x^{-3−1} \nonumber\]
Спростити:\[−3x^{-4} \nonumber\]
Правила показників:\[\frac{-3}{x^4} \nonumber\]
Рецензія
- Викладіть правило влади.
Знайдіть похідну:
2. \[y=5 x^{7}\]
3. \[y=-3 x\]
4. \[f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\]
5. \[y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\]
6. \[y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\]
7. Дано\[y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\] знайти похідну, коли\[x=1\]
8. \[y(x)=5\]
9. Дано $\[u(x)=x^{-5 \pi^{3}},\], що таке\[u^{\prime}(2) ?\]
10. \[y=\frac{1}{5}\]коли\[x=4\]
11. З огляду на\[d(x)=x^{-0.37}\] те, що дорівнює\[d^{\prime}(1) ?\]
12. \[g(x)=x^{-3}\]
13. \[u(x)=x^{0.096}\]
\[k(x)=x-0.49\]
\[y=x^{-5 \pi^{3}}\]
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| похідний | Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), dydx, y′, dfdx і\ frac {df (x)} {dx}. |
| доказ | Доказом є низка правдивих тверджень, що призводять до прийняття істини більш складного твердження. |
| теорема | Теорема - це твердження, яке можна довести правдивим за допомогою постулатів, визначень та інших теорем, які вже доведені. |
Додаткові ресурси
PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - калькулятор похідних: Правила харчування
Відео: Обчислення - похідні
Практика: Правила постійної, ідентичності та влади
Реальний світ: Твіст і крик