2.5: «Не обидва» і «Ні Ні»

Дві поширені англійські фрази, які іноді можуть викликати плутанину, - це «не обидва» і «ні ні». Ці дві фрази мають різне значення і, таким чином, перекладаються різними символічними логічними реченнями. Давайте розглянемо на прикладі кожного.

У Карли не буде і торта, і морозива.

У Карли не буде ні торта, ні морозива.

У першому реченні використовується словосполучення «не обидва», а друге «ні ні». Один із способів з'ясувати, що означає речення (і, отже, як його перевести), - це поставити запитання: Які сценарії виключає це речення? Давайте застосуємо це до заяви «не обидва» (який ми вперше побачили ще на початку розділу 2.4). Існує чотири можливі сценарії, і твердження буде вірним у кожному з них, крім першого сценарію:

Карла має торт	У Карли є морозиво	Помилковий
Карла має торт	У Карли немає морозива	Правда
У Карли немає торта	У Карли є морозиво	Правда
У Карли немає торта	У Карли немає морозива	Правда

Сказати, що у Карли не буде і торта, і морозива, дозволяє їй мати той чи інший (тільки не обидва). Це також дозволяє, що вона не може мати жодного (як у четвертому сценарії). Тож спосіб думати про «не обидва» locution - це заперечення сполучника, оскільки кон'юнкція є єдиним сценарієм, який не може бути істинним, якщо твердження істинне. Якщо ми використовуємо константу «C» для представлення атомного речення «Карла має торт» та «Я» для представлення «Карла має морозиво», то отриманий символічний переклад буде таким:

~ (C ⋅ I)

Таким чином, в загальному випадку твердження виду «не обидва p і q» будуть переведені як заперечення сполучника:

~ (р ⋅ q)

Зверніть увагу, що основним оператором оператора є заперечення. Заперечення стосується всього, що знаходиться в дужках, тобто до сполучника. Це сильно відрізняється від наступного речення (без дужок):

~p ⋅ q

Основним оператором цього твердження є кон'юнкція, а лівий кон'юнкт сполучника - заперечення. На відміну від форми «не обидва», це твердження стверджує, що p не відповідає дійсності, тоді як q істинно. Наприклад, використовуючи наш попередній приклад Карла та торт, речення

~C ⋅ I

стверджує, що Карла не матиме торта і матиме морозиво. Це зовсім інше твердження від ~ (C ⋅ I), яке, як ми бачили, дозволяє можливість того, що Карла матиме торт, але не морозиво. Таким чином, знову ми бачимо важливість дужок в нашій символічній мові.

Раніше (у розділі 2.3) ми зробили різницю між тим, що я називав «ексклюзивним або» та «включним або», і я стверджував, що хоча ми інтерпретуємо клин (v) як інклюзивний або, ми можемо також представляти ексклюзивне або символічно. Оскільки ми тепер знаємо, як перевести «не обидва», я можу показати вам, як перевести твердження, яке містить ексклюзивне або. Згадаймо наш приклад:

Боб поміщається або першим, або другим у гонці.

Як ми бачили, ця диз'юнкція містить два диз'юнкти: «Боб поміщений першим у гонці» (F) і «Боб помістив друге місце в гонці» (S). Використовуючи клин, отримуємо:

Ф в С

Однак, оскільки клин трактується як інклюзивний або, це твердження дозволило б, щоб Боб отримав і перше, і друге в гонці, що неможливо. Так що потрібно вміти сказати, що хоча Боб ставив або перше, або друге, він не ставив і перше, і друге. Але це просто локація «не обидва». Отже, щоб бути абсолютно зрозумілим, ми стверджуємо дві речі:

Боб ставиться або першим, або другим.

і

Боб не ставив і перше, і друге.

Ми вже бачили, що перше речення перекладається: «F v S.» Друге речення - це просто твердження «не обидва F і S»:

~ (F ⋅ С)

Тепер все, що нам потрібно зробити, це об'єднати два речення за допомогою крапки:

(F v S) ⋅ ~ (F ⋅ S)

Тобто правильний переклад ексклюзивного або. Зверніть увагу, що при з'єднанні «F v S» до «~ (F ⋅ S)» мені потрібно було поставити дужки навколо «F v S», щоб показати, що він був згрупований разом. Таким чином, було б некоректно писати:

Ф v S ⋅ ~ (F ⋅ S)

оскільки це не є добре сформованою формулою. Проблема, як і раніше, полягає в тому, що це речення неоднозначне між двома реченнями, які мають різне значення:

F v (S ⋅ ~ (F ⋅ S)

(F v S) ⋅ ~ (F ⋅ S)

Хоча обидва ці речення добре сформовані, тільки останнє є правильним перекладом виключного або.

Перейдемо до англійської locution «nother... nor», як у:

Карла не буде їсти ні торта, ні морозива.

Це твердження може бути правдою, якщо, наприклад, Карла була на дієті (і дотримувалася своєї дієти). Використовуючи той же метод, який я ввів раніше, ми можемо запитати, за яких умов твердження буде true або false. Як і раніше, є лише чотири можливості, які я символічно представляю цього разу:

C	Я	Помилковий
C	~I	Помилковий
~C	Я	Помилковий
~C	~I	Правда

Є лише одна обставина, при якій це твердження є правдивим, і це та, в якій помилково, що Карла їсть торт, а помилкова, що Карла їсть морозиво. Це повинно бути очевидним зі значення слова «ні ні». Таким чином, правильний переклад висловлювання «ні ні» є як сполучник двох заперечень:

~C ⋅ ~I

Основним оператором цього твердження є точка, яка з'єднує ~C з ~I. Таким чином, форма будь-якого оператора «nother nor» завжди може бути переведена як сполучник двох заперечень:

~p ⋅ ~q

Як ми побачимо в наступному розділі (де ми це доведемо), це твердження також еквівалентно запереченню диз'юнкції:

~ (р v q)

Таким чином, англійська локація «nother nor» також може бути переведена за допомогою цієї форми заяви.

Вправа

Для кожного з наступних випишіть, яке атомне пропозицію означає кожна константа. Потім перекладіть речення, використовуючи константи, які ви визначили. Нарешті, після того, як ви перевели речення, визначте, який істинно-функціональний сполучний є головним оператором речення.

1. Корал - це не одночасно рослина і тварина. (П, А)
2. Хоча найпростіші та шимпанзе є одночасно еукаріотами, вони не обидва тварини. (Тут є чотири атомні пропозиції; просто використовуйте A, B, C і D для кожної іншої пропозиції.)
3. Ні шимпанзе, ні найпростіші не є прокаріотами. (С, П)
4. Китай не підписав Кіотський протокол, а також Сполучені Штати. (С, У)
5. Або Chevrolet, або McDonald's підтримають олімпійську збірну, але вони обидва не підтримають її. (С, М)
6. Пітер Дженнінгс або брехун, або має дійсно погану пам'ять. (Л, М)
7. Пітер Дженнінгс не є ні брехуном, ні має дійсно погану пам'ять. (Л, М)
8. Пітер Дженнінгс є і брехуном, і має дуже погану пам'ять. (Л, М)
9. Пітер Дженнінгс - не і брехун, і людина з дійсно поганою пам'яттю. (Л, М)
10. Chevrolet не підтримає олімпійську збірну цього року, і McDonald's теж не буде. (С, М)
11. Мати Тереза може бути святою. Незважаючи на це, вона ще не була канонізована католицькою церквою. (С, С)
12. Найкращий бігун на відстані останніх двох десятиліть - це або Пол Тергат, або Хайле Гебрселассі, але це, звичайно, не Джим Рюн. (Т, Г, Р)
13. Джим Рюн був кращим середньою школою всіх часів, але він біг повільніше, ніж Алан Уебб. (Р, Ш)
14. Ні Пол Тергат, ні Хайле Гебрселассі не вміють грати в хокей, але вони обидва вміють грати у футбол. (А, В, С, Г)
15. Ефіопи не є ні хорошими бобслейдерами, ні тенісистами, але вони відмінні бігуни на дистанції. (Б, Т, Д)
16. До того, як Хелен Келлер познайомилася з Енні Салліван, вона не могла ні говорити, ні читати, ні спілкуватися. (С, Р, С)
17. Хоча Хелен Келлер навчилася спілкуватися, вона так і не навчилася грати в футбол або бейсбол. (С, С, Б)
18. Тому дозволено грати у футбол чи футбол, але не обидва. (Ф, С)
19. Том буде спеціалізуватися на техніці та фізиці, або бізнесі та соціології. (Е, П, Б, С)
20. Картман є ксенофобним і расистом, але він не вбивця або злодій. (Х, Р, М, Т)