2.9: Еквівалентність матеріалу

Як ми бачили в останньому розділі, два різних символічних речення можуть перекладати одне і те ж англійське речення. В останньому розділі я стверджував, що «~S aCL R» і «S v R» еквівалентні. Точніше, вони є рівнозначними способами захоплення істинно-функціонального зв'язку між пропозиціями. Дві пропозиції матеріально еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони мають однакову істинну цінність для кожного присвоєння істинних цінностей атомним пропозиціям. Тобто вони мають однакові значення істини в кожному рядку таблиці істинності. Наведена нижче таблиця істини демонструє, що «~S», «S v R» і «S v R» матеріально еквівалентні.

R	S	~S | R	С в Р
Т	Т	Ф Т	Т
Т	F	Т Т	Т
F	Т	Ф Т	Т
F	F	Т Ф	F

Якщо подивитися на значення істинності під основними операторами кожного речення, то можна побачити, що їх значення істинності однакові в кожному рядку. Це означає, що два твердження матеріально еквівалентні і можуть бути використані взаємозамінно, наскільки логіка пропозиції йде.

Продемонструємо матеріальну еквівалентність на іншому прикладі. Ми бачили, що ми можемо перекладати твердження «ні ні» як поєднання двох заперечень. Отже, заяву виду «ні р, ні q» можна перекласти:

~p ⋅ ~q

Але ще один спосіб перекладу тверджень такої форми - це заперечення диз'юнкції, як це:

~ (р v q)

Ми можемо довести, що ці два твердження суттєво еквівалентні таблиці істинності (нижче).

р	q	~p ⋅ ~q	~ (р v q)
Т	Т	Ф Ф Ф	Ф Т
Т	F	Ф Ф Т	Ф Т
F	Т	Т Ф Ф	Ф Т
F	F	Т Т Т	Т Ф

Знову ж таки, як видно з таблиці істинності, значення істинності під основними операторами кожного речення однакові в кожному рядку (тобто для кожного присвоєння значень істинності атомним пропозиціям). Насправді існує п'ята істина функціональна сполучна, яка називається «матеріальною еквівалентністю» або «бізастережною», яка визначається як істинна, коли атомні пропозиції мають однакову істинну цінність, і хибну, коли значення істини різні. Хоча ми не будемо покладатися на бізастережні, я наводжу таблицю істини для нього нижче. Біумова представлена за допомогою символу «≡», який називається «трибар».

р	q	p ≡ q
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	Т

Деякі поширені способи вираження біумовного в англійській мові - це фрази «якщо і тільки якщо» і «про всяк випадок». Якщо ви приділяли пильну увагу (або робите відтепер), ви побачите, як я часто використовую фразу «якщо і тільки тоді». Найчастіше він використовується, коли дається визначення, наприклад визначення дійсності, а також у визначенні «матеріальної еквівалентності» у цьому самому розділі. Має сенс, що біумовне буде використовуватися таким чином, оскільки, коли ми визначаємо щось, ми закладаємо еквівалентний спосіб сказати це.

Вправа

Побудувати таблицю істинності, щоб визначити, чи є наступні пари тверджень матеріально еквівалентними.

1. A, Це B і ~A v B
2. ~ (A ⋅ B) і ~A v ~B
3. A: B і ~B, Це ~ A
4. A v ~B і B, Це A
5. B, це A та A | B
6. ~ (A - В) і A ⋅ ~B
7. A v B і ~A ⋅ ~B
8. А v (B ⋅ C) і (A v B) ⋅ (А в С)
9. (A v B) ⋅ C і A v (B ⋅ C)
10. ~ (А в Б) і ~А в Б