2.6: Перевірка достовірності таблиці істинності

Поки що ми навчилися перекладати певні англійські речення на нашу символічну мову, яка складається з набору констант (тобто великих літер, які ми використовуємо для представлення різних атомних пропозицій) та істинно-функціональних зв'язків. Але яка виплата за це? У цьому розділі ми дізнаємося, що таке виграш. Коротше кажучи, виграш буде полягати в тому, що у нас буде чисто формальний метод визначення обґрунтованості певного класу аргументів, а саме тих аргументів, обгрунтованість яких залежить від функціонування істинно-функціональних зв'язків. Це те, що логіки називають «логікою пропозиції» або «логікою речення».

У першому розділі ми дізналися неформальну перевірку дійсності, яка вимагала від нас спробувати уявити сценарій, в якому передумови аргументу були правдивими, а висновок помилковим. Ми побачили, що якщо ми можемо уявити собі такий сценарій, то аргумент недійсний. З іншого боку, якщо неможливо уявити сценарій, при якому приміщення є істинними, і все ж висновок помилковий, то аргумент є справедливим. Розглянемо цей аргумент:

1. Засуджений втік або проповзши по каналізаційних трубах, або сховавшись в задній частині вантажівки доставки.
2. Але засуджений не втекв, повзши по каналізаційних трубах.
3. Тому засуджений втік, сховавшись в кузові вантажівки доставки.

Використовуючи неформальний тест на валідність, ми можемо побачити, що якщо уявити, що перша передумова і друга передумова є правдивими, то висновок повинен слідувати. Однак ми також можемо довести, що цей аргумент є дійсним, не уявляючи сценаріїв і запитуючи, чи буде висновок вірним у цих сценаріях. Ми можемо зробити це шляхом а) перекладу цього речення на нашу символічну мову, а потім б) використовуючи таблицю істинності, щоб визначити, чи є аргумент дійсним. Почнемо з перекладу. Перша передумова містить дві атомні пропозиції. Ось пропозиції та константи, які я буду використовувати для них:

S = Каторжник втік по каналізаційних трубах

D = Засуджений втік, сховавшись в задній частині фургона доставки

Як ми бачимо, перша передумова - це диз'юнкція, і тому, використовуючи константи, зазначені вище, ми можемо перекласти цю першу передумову наступним чином:

С в Д

Друга передумова - це просто заперечення S:

~S

Нарешті, висновок - це просто атомне речення, D. Склавши це все разом в стандартній формі, ми маємо:

1. С в Д
2. ~S
3,0 Д

Ми будемо використовувати символ «⋅ «для позначення висновку і прочитаємо його «отже».

Наступне, що нам потрібно зробити, це побудувати таблицю істинності. Ми вже бачили деякі приклади таблиць істинності, коли я визначив істинно-функціональні зв'язки, які я ввів досі (кон'юнкція, диз'юнкція та заперечення). Таблиця істинності (як ми бачили в розділі 2.2) - це просто пристрій, який ми використовуємо для представлення того, як істинна цінність складної пропозиції залежить від істинності пропозицій, що складають її у кожному можливому сценарії. При побудові таблиці істинності перше, що потрібно запитати, це скільки атомних пропозицій потрібно представити в таблиці істинності. У цьому випадку відповідь «два», так як в цьому аргументі міститься всього два атомних пропозиції (а саме S і D). Враховуючи, що є лише дві атомні пропозиції, наша таблиця істинності буде містити лише чотири рядки - один рядок для кожного можливого сценарію. Буде один рядок, в якому і S, і D є істинними, один рядок, в якому і S і D є помилковими, один рядок, в якому S є істинним, а D - помилковим, і один рядок, в якому S є помилковим, а D - істинним.

D	S	С в Д	~S	D
Т	F
Т	F
F	Т
F	F

Два найдальші ліві стовпці - це те, що ми називаємо еталонними стовпцями таблиці істинності. Довідкові стовпці привласнюють всі можливі розташування значень істинності атомарним пропозиціям аргументу (в даному випадку просто D і S). Довідкові стовпці захоплюють кожен логічно можливий сценарій. Роблячи це, ми можемо замінити необхідність використовувати вашу уяву, щоб уявити різні сценарії (як у неформальному тесті на валідність) механічною процедурою, яка не вимагає від нас уявляти або навіть думати дуже багато. Таким чином, ви можете думати про кожен рядок таблиці істинності як вказівку одного з можливих сценаріїв. Тобто кожен рядок є одним з можливих присвоєнь істинних значень атомним пропозиціям. Наприклад, рядок 1 таблиці істини (перший рядок після рядка заголовка) - це сценарій, в якому правда, що засуджений втік, сховавшись у задній частині фургона доставки, а також вірно, що засуджений втік, повзши по каналізаційних трубах. На відміну від цього, рядок 4 - це сценарій, в якому засуджений не робив жодної з цих речей.

Наступне, що нам потрібно зробити, це з'ясувати, які істинні значення приміщень і висновок для кожного рядка таблиці істинності. Ми можемо визначити, якими є ці істинні цінності, тому що ми розуміємо, як істинна цінність складеної пропозиції залежить від істинної цінності атомних пропозицій. З огляду на значення функціональних зв'язків істинності (обговорювалися в попередніх розділах), ми можемо заповнити нашу таблицю істинності так:

D	S	С в Д	~S	D
Т	F	Т	F	Т
Т	F	Т	Т	Т
F	Т	Т	F	F
F	F	F	Т	F

Щоб визначити значення істинності для першої передумови аргументу («S v D»), ми просто повинні знати істинні значення S і D та значення істини функціональної сполучної, диз'юнкції. Таблиця істини для диз'юнкції говорить про те, що диз'юнкція вірна до тих пір, поки хоча б одна з її диз'юнктів вірна. Таким чином, кожен рядок під стовпцем «S v D» повинен бути істинним, за винятком останнього рядка, оскільки в останньому рядку обидва D і S є помилковими (тоді як у перших трьох рядках принаймні один або інший є істинним). Значення істинності для другої передумови (~S) легко визначити: ми просто дивимося на те, що ми призначили «S» у нашому довідковому стовпці, а потім заперечуємо ці значення істини - Ts стає Fs, а Fs стає Ts. Це саме те, що я зробив у четвертому стовпці таблиці істинності вище. Нарешті, висновок в останньому стовпці таблиці істинності просто повторить те, що ми присвоїли «D» в нашій довідковій колонці, оскільки останній висновок просто повторює атомне пропозицію «D».

Наведена вище таблиця істинності є повною. Тепер питання: як ми використовуємо цю заповнену таблицю істинності, щоб визначити, чи є аргумент дійсним? Для цього ми повинні застосувати те, що я буду називати «перевіркою достовірності таблиці істинності». Відповідно до перевірки достовірності таблиці істинності, аргумент є дійсним тоді і лише тоді, коли для кожного присвоєння істинних значень атомним пропозиціям, якщо передумови істинні, то висновок вірний. Аргумент є недійсним, якщо існує присвоєння істинних значень атомним пропозиціям, на яких передумови є істинними, і все ж висновок помилковий. Обов'язково ви розумієте (а не просто запам'ятовували), що означають ці визначення. Ви повинні бачити, що ці визначення дійсності та недійсності мають схожу структуру з неформальними визначеннями дійсності та недійсності (розглянуто в главі 1). Подібність полягає в тому, що ми шукаємо можливість того, що приміщення є істинними, і все ж висновок помилковий. Якщо це можливо, аргумент є недійсним; якщо це неможливо, то аргумент є дійсним. Різниця, як я вже зазначав вище, полягає в тому, що за допомогою перевірки достовірності таблиці істинності ми замінюємо необхідність використовувати вашу уяву механічною процедурою присвоєння значень істинності атомним пропозиціям, а потім визначення істинних значень приміщень та висновку для кожного з цих завдань.

Застосовуючи ці визначення до наведеної вище таблиці істинності, ми бачимо, що аргумент є дійсним, оскільки немає присвоєння значень істинності атомним пропозиціям (тобто жодному рядку нашої таблиці істинності), на яких всі передумови є істинними, і все ж висновок помилковий. Подивіться на перший ряд. Це ряд, в якому всі приміщення вірні, і все ж висновок помилковий? Ні, це не так, тому що не всі приміщення вірні в цьому ряду. Зокрема, «~S» є помилковим у цьому рядку. Подивіться на другий ряд. Це ряд, в якому всі приміщення вірні, і все ж висновок помилковий? Ні, це не так; хоча обидва приміщення вірні в цьому рядку, висновок також вірний у цьому рядку. Тепер розглянемо третій ряд. Це ряд, в якому всі приміщення вірні, і все ж висновок помилковий? Ні, тому що це не ряд, в якому обидва приміщення вірні. Нарешті, розглянемо останній ряд. Це ряд, в якому всі приміщення вірні, і все ж висновок помилковий? Знову ж таки, відповідь «ні», тому що приміщення не є істинними в цьому рядку. Таким чином, ми бачимо, що немає рядка таблиці істини, в якій всі умови є правдивими, і все ж висновок помилковий. І це означає, що аргумент є дійсним.

Оскільки перевірка достовірності таблиці істинності є формальним методом оцінки дійсності аргументу, ми можемо визначити, чи є аргумент дійсним саме в силу його форми, навіть не знаючи, про що йде аргумент! Ось приклад:

1. (А в Б) v С
2. ~A
3,0 C

Ось аргумент, написаний нашою символічною мовою. Я не знаю, що означають A, B і C (тобто, які атомні пропозиції вони виступають за), але це не має значення, тому що ми можемо визначити, чи є аргумент дійсним, не знаючи, що означають A, B і C. A, B і C можуть бути будь-якими атомними пропозиціями взагалі. Якщо ця форма аргументу є недійсною, то будь-яке значення, яке ми надаємо A, B і C, аргумент завжди буде недійсним. З іншого боку, якщо ця форма аргументу є дійсною, то яке б значення ми не дали A, B і C, аргумент завжди буде дійсним.

Перше, що потрібно визнати про цей аргумент, це те, що є три атомні пропозиції, A, B і C. І це означає, що наша таблиця істинності буде мати 8 рядків замість тільки 4 рядки, як наша остання таблиця істинності. Причина, по якій нам потрібні 8 рядків, полягає в тому, що потрібно вдвічі більше рядків, щоб представити кожен логічно можливий сценарій, коли ми працюємо з трьома різними пропозиціями. Ось проста формула, за допомогою якої можна визначити, скільки рядків потрібно вашій таблиці істинності:

2n (де n - число атомних пропозицій)

Ви читаєте цю формулу «два до n-ї степені». Отже, якщо у вас є одна атомна пропозиція (як у таблиці істинності для заперечення), ваша таблиця істинності матиме лише два рядки. Якщо у вас є два атомних пропозиції, у нього буде чотири ряди. Якщо у вас три атомні пропозиції, у нього буде 8 рядків. Кількість необхідних рядків зростає експоненціально, оскільки кількість атомних пропозицій зростає лінійно. Наведена нижче таблиця представляє той самий зв'язок, що і вищевказана формула:

Кількість атомних пропозицій	Кількість рядків у таблиці істинності
1	2
1	4
3	8
4	16
5	32

Отже, наша таблиця істинності для наведеного вище аргументу повинна мати 8 рядків. Ось як виглядає ця таблиця правди:

А	Б	C	(А в В) В С	~А	C
Т	Т	Т
Т	Т	F
Т	F	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	Т	F
F	F	Т
F	F	F

Ось важливий момент, який слід зазначити щодо налаштування таблиці істинності. Вам потрібно переконатися, що ваші опорні стовпці фіксують кожне можливе призначення значень істинності. Один із способів переконатися, що ви робите це, дотримуючись одного і того ж шаблону кожного разу, коли ви будуєте таблицю істинності. Немає жодного правильного способу зробити це, але ось як я це роблю (і рекомендую вам це зробити теж). Побудуйте опорні стовпці так, щоб атомні пропозиції розташовувалися в алфавітному порядку, зліва направо. Потім на крайньому правому стовпці посилання (стовпчик C вище) чергуйте true і false кожен рядок, аж до самого низу. У стовпці посилання зліва від цього (стовпець B вище) чергуйте два рядки true, два рядки false, аж до низу. На наступному стовпці зліва (стовпець A вище) чергуйте 4 true, 4 false, аж до самого низу.

Наступним кроком є визначення істинності значень приміщення і висновку. Зверніть увагу, що наша перша передумова - це більш складне речення, яке складається з двох диз'юнкцій. Основним оператором є друга диз'юнкція, оскільки дві основні угруповання, що позначаються дужками, - це «A v B» і «C». Однак зауважте, що ми не можемо з'ясувати значення істинності головного оператора речення, поки не з'ясуємо істинні значення лівого ди'юнкта, «A v B.» Отже, саме з чого нам потрібно почати. Таким чином, у таблиці істинності нижче я заповнив значення істини безпосередньо під частиною речення «A v B», використовуючи значення істини, які я присвоїв A та B у довідкових стовпцях. Як ви можете бачити в таблиці істинності нижче, кожен рядок є істинним, за винятком двох останніх рядків, які є помилковими, оскільки диз'юнкція є помилковою лише тоді, коли обидва диз'юнкти є хибними. (Якщо вам потрібно переглянути таблицю істинності для диз'юнкції, див. Розділ 2.3.)

А	Б	C	(А в В) В С	~А	C
Т	Т	Т	Т
Т	Т	F	Т
Т	F	Т	Т
Т	F	F	Т
F	Т	Т	F
F	Т	F	F
F	F	Т	F
F	F	F	F

Тепер, оскільки ми розібралися з істинними значеннями лівого диз'юнкта, ми можемо з'ясувати значення істинності під основним оператором (що я виділив жирним шрифтом в таблиці істинності нижче). Два стовпці, які ви дивитеся, щоб визначити значення істинності основного оператора, - це стовпець «A v B», який ми щойно розібралися вище, і стовпець посилання «C» зліва. Обов'язково потрібно розуміти, що значення істинності під «A v B» не мають значення після того, як ми розібралися з значеннями істинності під головним оператором пропозиції. Цей стовпець був лише засобом до кінця (кінець визначення головного оператора), і тому я сірим кольором, щоб підкреслити, що ми більше не звертаємо на них уваги. (Коли ви будуєте власні таблиці істинності, ви можете навіть захочете стерти ці допоміжні стовпці, як тільки ви визначили значення істинності головного оператора речення. Або ви можете просто захотіти обвести значення істини під головним оператором, щоб відрізнити їх від решти.)

А	Б	C	(А в В) В С	~А	C
Т	Т	Т	Т Т
Т	Т	F	Т Т
Т	F	Т	Т Т
Т	F	F	Т Т
F	Т	Т	Т Т
F	Т	F	Т Т
F	F	Т	Ф Т
F	F	F	Ф Ф

Нарешті, заповнимо залишилися дві колонки, що дуже просто. Все, що нам потрібно зробити для «~A», - це звести нанівець значення істини, які ми призначили нашому довідковому стовпчику «A». І все, що нам потрібно зробити для остаточного стовпця «C» це просто повторити дослівно значення істини, які ми призначили нашому довідковому стовпці «C».

А	Б	C	(А в В) В С	~А	C
Т	Т	Т	Т Т	F	Т
Т	Т	F	Т Т	F	F
Т	F	Т	Т Т	F	Т
Т	F	F	Т Т	F	F
F	Т	Т	Т Т	Т	Т
F	Т	F	Т Т	Т	F
F	F	Т	Ф Т	Т	Т
F	F	F	Ф Ф	Т	F

Наведена вище таблиця істинності тепер завершена. Наступним кроком є застосування перевірки достовірності таблиці істинності, щоб визначити, чи є аргумент дійсним чи недійсним. Пам'ятайте, що те, що ми шукаємо, - це рядок, в якому приміщення є істинними, а висновок помилковий. Якщо ми знайдемо такий рядок, аргумент недійсний. Якщо ми не знаходимо такий рядок, то аргумент дійсний. Застосовуючи це визначення до наведеної вище таблиці істинності, ми можемо побачити, що аргумент є недійсним через 6-го рядка таблиці (яку я виділив). Таким чином, пояснення того, чому цей аргумент є недійсним, полягає в тому, що шостий рядок таблиці показує сценарій, при якому передумови є істинними, і все ж висновок помилковий.

Вправа

Використовуйте перевірку достовірності таблиці істинності, щоб визначити, чи є наступні аргументи дійсними чи недійсними.

1.
1. А в Б
2. Б
3. ⋅ ~А

2.
1. A ⋅ Б
2.7 А v B

3.
1. ~С
2. ⋅ ~ (С v A)

4.
1. (А в В) ⋅ (А в С)
2. ~А
3,0 Б в С

5.
1. R ⋅ (Т в С)
2. Т
3. ⋅ ~С

6.
1. А в Б
2. ⋅ А ⋅ Б

7.
1. ~ (A ⋅ Б)
2. ⋅ ~A v ~B

8.
1. ~ (А в Б)
2. ⋅ ~А в ~Б

9.
1. (R v S) ⋅ ~Д
2. ~R
3.7 S ⋅ ~Д