11.7: Проблеми

11.1. У наведених нижче прикладах визначте, чи\(f\) є функція чи функціонал.

• А парабола описується\(f(x) = x^2\).
• З огляду на дві форми енергії і шлях\(y(t)\),\(f\) є Лагранж системи\(\mathcal{L} \left( t, y, \frac{dy}{dt} \right)\).
• Враховуючи величину швидкості\(|\overrightarrow{v}(t)|\) об'єкта,\(f\) представляє відстань, яку об'єкт проходить від часу 0 до часу 3600 секунд.
• Враховуючи положення\((x, y, z)\) в просторі,\(f(x, y, z)\) представляє відстань від цієї точки до початку.

11.2. А система має Лагранж\(\mathcal{L} \left( t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \left(\frac{dy}{dt}\right)^3 + e^{3y}\). Знайдіть рівняння для шляху\(y(t)\), яке мінімізує дію\(\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{L}\left(t, y, \frac{d y}{d t}\right) d t\). (Результат нелінійний, тому не намагайтеся його вирішити.)

11.3. Система має Лагранж\(\mathcal{L} \left( t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot y^{-2}\). Знайдіть відповідне рівняння руху. (Результат нелінійний, тому не намагайтеся його вирішити.)

11.4. Малюнок 11.4.2 ілюструє три можливі шляхи для системи масових пружин та відповідні їм дії. Розглянуті шляхи:

\[x_{1}(t) = 2 t-1\nonumber \]

\[x_{2}(t) = 2 t^2-1\nonumber \]

\[x_{3}(t) =-\cos (\pi t)\nonumber \]

Для кожного шляху обчисліть дію за допомогою Рівняння 11.4.10 для перевірки значень, показаних на малюнку. Припустимо, що маса\(m\) = 1 кг і постійна пружина\(K = \pi^2 \frac{J}{m^2}\).

11.5. На малюнку зображена пружина кручення. Він може зберігати потенційну енергію\(\frac{1}{2} \mathbb{K} \theta^{2}\), і він може перетворювати потенційну енергію в кінетичну енергію\(\frac{1}{2} \mathbb{I}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}\). У цих виразах\(\theta(t)\) - це величина кута повороту пружини в радіанах, і\(\omega=\frac{d \theta}{d t}\) це величина кутової швидкості в радіанах в секунду. \(\mathbb{K}\)є постійною пружини кручення, і\(I\) є (постійним) моментом інерції.

(а) Знайдіть Лагранжа.

(b) Використовуйте рівняння Ейлера-Лагранжа, щоб знайти диференціальне рівняння, що описує\(\theta(t)\).

(c) Покажіть, що енергія зберігається в цій системі, показавши це\(\frac{dH}{dt} = 0\).

(d) Налаштуйте рівняння Гамільтона.

11.6. Мета цієї проблеми полягає в тому, щоб вивести найкоротший шлях\(y(x)\) між точками\((x_0, y_0)\) і\((x_1, y_1)\). Розглянемо довільний шлях між цими точками, як показано на малюнку. Ми можемо розбити шлях на диференціальні елементи\(d\overrightarrow{l}=d x \hat{a}_{x}+d y \hat{a}_{y}\). Величина кожного диференціального елемента дорівнює

\[|d \overrightarrow{l}|=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}=d x \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}.\nonumber \]

Відстань між точками можна описати дією

\[\mathbb{S}=\int_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x.\nonumber \]

Щоб знайти шлях,\(y(x)\) який мінімізує дію, ми можемо вирішити рівняння Ейлера-Лагранжа, з\(\mathcal{L}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}\) як Лагранжа, для цього найкоротшого шляху\(y(x)\). Цей підхід може бути використаний, оскільки ми хочемо мінімізувати інтеграл деякого функціоналу,\(\mathcal{L}\) хоча цей функціонал не представляє різниці енергії [163, с. 33].

Налаштуйте рівняння Ейлера-Лагранжа та вирішіть його для найкоротшого шляху\(y(x)\).

Підказка 1: Відповідь на цю проблему полягає в тому, що найкоротший шлях між двома точками - пряма лінія. Тут ви виведете цей результат.

Підказка 2: У прикладах цієї глави Лагранж мав форму\(\mathcal{L} \left( t, y, \frac{dy}{dt} \right)\) з незалежною змінною\(t\) та шляхом\(y(t)\). Тут Лагранж має вигляд,\(\mathcal{L} \left( x, y, \frac{dy}{dx} \right)\) де незалежна змінна -\(x\) position, а шлях -\(y(x)\).

Підказка 3: Якщо\(\frac{d} {dx} (something) = 0\), то ви знаєте, що\((something)\) є постійною.

11.7. Світло рухається по найшвидшому шляху між двома точками. Ця ідея відома як принцип Ферма. У матеріалі з відносною діелектричною проникністю\(\epsilon_r\) і проникністю світло\(c\) рухається з постійною швидкістю\(\mu_0\),\(\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r}}}\) де швидкість світла у вільному просторі. У проб. 11.6 ми показали, що найкоротший шлях між двома точками - пряма, тому в однорідному матеріалі світло буде проходити по прямій лінії між двома точками. Однак що робити, якщо світло рухається через стик між двома матеріалами? У цій проблемі ми відповімо на це питання і виведемо відомий результат, відомий як закон Снелла.

Розглянемо малюнок нижче. Припустимо, що промінь світла рухається від\((x_0, y_0)\) до\((x_1, y_1)\) уздовж шляху, який займає найкоротший час. Матеріал 1 має відносну діелектричну проникність\(\epsilon_{r1}\), тому світло рухається в цьому матеріалі з постійною швидкістю\(\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r1}}}\). Матеріал 2 має відносну діелектричну проникність\(\epsilon_{r2}\), тому світло рухається в цьому матеріалі з постійною швидкістю\(\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r2}}}\). Як ми вивели в Prob. 11.6, світло рухається по прямій лінії в матеріалі 1, і він рухається по прямій лінії в матеріалі 2. Однак лінії мають різні нахили, як показано на малюнку. Припустимо, що стик двох матеріалів відбувається за адресою\(x = 0\).

(а) Знайдіть рівняння для загального часу, який займає світло для подорожі як функція вертикальної відстані\(h\), на якій шлях перетинає\(y\) вісь. Зверніть увагу, що ви знаходите тут функцію\(F(h)\), а не функціонал. Ви можете використовувати той факт, що ви знаєте, що світло слідує прямій лінії всередині кожного матеріалу, щоб знайти цю функцію.

(б) Шляхи, за якими слідує світло, займає мінімальний час, тому похідна\(\frac{dF}{dh} = 0\). Скористайтеся цією ідеєю, щоб знайти рівняння для невідомої висоти вертикалі\(h\). Ваша відповідь може бути записана як функція відомих констант\(\epsilon_{r1}\),\(\epsilon_{r2}\)\(x_0\),\(y_0\),\(x_1\),\(y_1\), і\(c\). Вам не потрібно вирішувати для\(h\) тут, а замість цього просто оцінити похідну і встановити її на нуль.

(c) Використовуйте свій результат у частині b вище, щоб вивести закон Снелла:

\[\sqrt{\epsilon_{r 1}} \sin \theta_{1}=\sqrt{\epsilon_{r 2}} \sin \theta_{2}.\nonumber \]

11.8. Маятник перетворює кінетичну енергію в та від гравітаційної потенційної енергії. Як показано на малюнку, куля масою m підвішується струною довжиною 1 м. Маятник монтується на підставу висотою 3 м. Як показано на малюнку,\(\theta(t)\) це кут маятника. Кінетична енергія кулі задається\(E_{kinetic} = \frac{1}{2}m \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\), а гравітаційна потенційна енергія задається\(E_{p.e.} = mg (3 − \cos \theta)\). Величина\(g\) - гравітаційна константа,\(g = 9.8 \frac{m}{s^2}\).

(а) Знайти\(\mathcal{L}\), Лагранж системи.

(б) Знайти\(H\), гамільтоніан системи.

(c) Встановіть рівняння Ейлера-Лагранжа і використовуйте його\(\theta(t)\), щоб знайти рівняння руху для кута маятника як функція часу.

(d) Показати, що енергія зберігається в цій системі, показуючи це\(\frac{dH}{dt} = 0\).

Рівняння руху, знайдене в частині c, є нелінійним, тому не намагайтеся його вирішити. Цікаво, що він має закриту форму розчину [164, гл. 6]. (Ця проблема є модифікованою версією прикладу у посиланні [163].)

11.9. Як показано на малюнку, об'єкт заряду\(Q_1\) і маси\(m\) рухається поблизу нерухомого об'єкта з зарядом\(Q_2\). Припустимо, що маса і заряди є константами, і припустимо, що об'єкти оточені вільним простором. Кінетична енергія рухомого об'єкта перетворюється в енергію, що зберігається в електричному полі між об'єктами або з неї. Кінетична енергія рухомого об'єкта задається за допомогою\(\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\). Енергія електричного поля задається тим,\(\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0x}\) де\(\epsilon_0\) діелектрична проникність вільного простору. Відстань між об'єктами задається за допомогою\(x(t)\).

(а) Знайдіть Лагранжа системи.

(б) Знайти узагальнений імпульс.

(c) Знайти узагальнений потенціал.

(г) Знайти рівняння руху для шляху\(x(t)\) системи. (Не намагайтеся вирішити це нелінійне рівняння.)

(е) Знайти загальну енергію системи.

(f) Показати, що енергія зберігається в цій системі.