11.2: Принцип найменшої дії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 29442

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначте дію\(\mathbb{S}\) як величину інтеграла Лагранжа по шляху.

\[\mathbb{S}= \left| \int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathcal{L}\left(t, y, \frac{d y}{d t}\right) dt \right| \nonumber \]

Якщо припустити, що незалежна змінна\(t\) представляє час у секундах, дія матиме одиниці джоулю секунд. Для процесів перетворення енергії шлях, знайдений в природі експериментально, - це шлях, який мінімізує дію. Ця ідея відома як Принцип найменшої дії або іноді як принцип Гамільтона [163, с. 11]. Ідея збереження енергії міститься в цьому принципі.

Щоб знайти мінімум або максимум функції, знайдіть, де похідна функції дорівнює нулю. Тут\(\mathcal{L}\) і\(H\) знаходяться не зовсім функції. Натомість вони є функціоналами. Функція приймає скалярну величину як вхід і повертає скалярну величину. Функціонал приймає функцію як вхід і повертає скалярну величину. Обидва\(\mathcal{L}\) і\(H\) прийняти функцію\(y(t)\) як вхід і повернути скалярну величину в джоулі. Ідея взяти похідну і встановити її на нуль, щоб знайти мінімум, все ще корисна, але ми повинні взяти похідну по відношенню до функції\(y(t)\). Процес знаходження максимуму або мінімуму функціоналу, описаного інтегральним співвідношенням, відомий як обчислення варіацій.

Часто легше працювати з диференціальними відносинами, ніж інтегральні відносини. Ми можемо висловити Принцип найменшої дії як диференціальне рівняння, і воно називається рівнянням Ейлера-Лагранжа.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d y}{d t}\right)}=0 \label{11.2.2} \]

Якщо Лагранж\(\mathcal{L}\) відомий, ми можемо спростити рівняння Ейлера-Лагранжа до рівняння, що включає лише невідомий шлях. Отримане рівняння через шлях\(y(t)\) називається рівнянням руху.

Лагранж надає масу інформації про процес перетворення енергії. Якщо ми можемо описати різницю між двома формами енергії Лагранжа\(\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right)\), ми можемо встановити рівняння Ейлера-Лагранжа. З рівняння Ейлера-Лагранжа ми можемо знайти рівняння руху та вирішити його. Отриманий шлях мінімізує дію і описує, як розвивається процес перетворення енергії з часом. Ми також можемо знайти узагальнений потенціал системи як функцію часу. Рівняння Ейлера-Лагранжа є законом збереження узагальненого потенціалу. Симетрії рівняння руху можуть призвести до подальших законів збереження та інваріантів. Ці дві останні ідеї та математика, що стоять за ними, часто відомі як теорема Нетера. Теорема Нетера говорить про те, що існує дуже тісний зв'язок між симетріями або шляху, або рівнянням руху і законами збереження [165] [166]. Ці ідеї обговорюються далі в п. 14.5.

Зверніть увагу на поєднання частинок та повних похідних символів у Equation\ ref {11.2.2}. Оскільки\(y(t)\) залежить тільки від однієї незалежної змінної, немає необхідності використовувати часткові похідні при вираженні\(\frac{dy}{dt}\). Похідна\(\frac{dy}{dt}\) пишеться в скороченому позначенні як\(\dot y\), і\(\ddot y\) може бути використана замість\(\frac{d^2y}{dt^2}\). Лагранж\(\mathcal{L}\) залежить від трьох незалежних змінних:\(t\),\(y\), і\(\frac{dy}{dt}\). Таким чином, часткові похідні символи використовуються для позначення того, яка часткова похідна\(\mathcal{L}\) розглядається.

Перший член рівняння Ейлера-Лагранжа - це узагальнений потенціал\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}\), визначений вище. Одиницями узагальненого потенціалу є джоулі над одиницями шляху,\(\frac{J}{\text{units of path}}\). Кожен член рівняння Ейлера-Лагранжа має ці одиниці. Наприклад, якщо\(y(t)\) знаходиться в одиницях метрів, то узагальнений потенціал знаходиться в\(\frac{J}{m}\) або ньютонах. Кожен член рівняння Ейлера-Лагранжа представляє силу, а рівняння Ейлера-Лагранжа - збереження відносин про сили. Як інший приклад, якщо шлях\(y(t)\) представляє заряд в кулоні, то узагальнений потенціал має одиниці,\(\frac{J}{C}\) які є вольтами. Рівняння Ейлера-Лагранжа в даному випадку являє собою збережну залежність про напругах.