11.5: Приклад індуктора конденсатора

Ідеї обчислення варіацій стосуються і процесів перетворення енергії в електричних системах. Розглянемо схему з конденсатором і індуктором, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$. Струм$i_L$, струм$i_c$, напруга$v$ визначаються на малюнку. Припустимо, що дроти і комплектуючі не мають опору. Хоча це не зовсім фізично, це дозволить нам спростити проблему. Припустимо, що конденсатор заряджений для$t < 0$, а вимикач відкритий. При$t = 0$, вимикач замкнутий, і конденсатор починає розряджатися. В даному прикладі узагальненим шляхом буде заряд, накопичений на обкладинках конденсатора. Ми можемо вивести рівняння руху, яке описує цей шлях.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Конденсаторна система індуктивності.

Енергія перетворюється між двома формами. Перша форма енергії в цій системі - це електрична енергія, що зберігається в конденсаторі. Напруга$v$ в вольтах на конденсаторі пропорційна заряду$Q$ в кулоні на обкладинках конденсатора. Ємність$C$, виміряна в фарадах, є постійною пропорційності між двома заходами.

$$Q = Cv \nonumber$$

Співвідношення струм-напруга на конденсаторі можна знайти, взявши похідну по відношенню до часу.

$$\frac{dQ}{dt} = C\frac{dv}{dt} \label{11.5.2}$$

Зміна заряду нарощування по відношенню до часу - це струм. Більш конкретно,

$$\frac{dQ}{dt} = i_c = -i_L. \label{11.5.3}$$

Рівняння\ ref {11.5.2} і\ ref {11.5.3} можуть бути об'єднані.

$$-i_L = C\frac{dv}{dt}. \nonumber$$

Енергія, що зберігається в конденсаторі

$$E_{c a p}=\frac{1}{2} C v^{2}. \nonumber$$

Друга форма енергії в цій системі - енергія, що зберігається в магнітному полі індуктора. Струм$i_L$ через індуктор, вимірюваний в амперах, пропорційний магнітному потоку$\Psi$, вимірюваному в Веберах, навколо індуктора. Індуктивність$L$, виміряна в Генрі, є постійною пропорційності між струмом і магнітним потоком.

$$\Psi = Li_L \nonumber$$

Співвідношення напруги струму на цьому індукторі можна знайти, взявши похідну щодо часу.

$$\frac{d \Psi}{d t}=v=L \frac{d i_{L}}{d t} \nonumber$$

Енергія, що зберігається в індукторі, задається

$$E_{ind}=\frac{1}{2} L i_{L}^{2} \nonumber$$

Ми описуємо процес перетворення енергії шляхом відстеження узагальненого шляху$Q(t)$, заряду, що зберігається на конденсаторі. Змінна$t$ представляє незалежну змінну час у секундах і$Q$ є залежною змінною заряд в кулоні. Гамільтонова і Лагранжева,$H$ і$L$, будуть розглянуті функції трьох незалежних змінних:$t$,$Q$, і$\frac{dQ}{dt}$.

Гамільтоніан - це сума енергії в конденсаторі і енергії в індукторі. Лагранж - це різниця між цими енергіями.

$$H = E_{total} = E_{cap} + E_{ind} \nonumber$$

$$\mathcal{L} = E_{cap} - E_{ind} \nonumber$$

Інженери-електрики зазвичай описують фізичні схеми, використовуючи найбільш легко вимірювані величини: струм і напруга. Однак тут, щоб проілюструвати використання числення варіаційного формалізму, ми пишемо вирази як для загальної енергії, так і для Лагранжа в терміні заданих змінних:$t$,$Q$, і$\frac{dQ}{dt}$.

$$H\left(t, Q, \frac{d Q}{d t}\right)=\frac{1}{2 C} Q^{2}+\frac{1}{2} L\left(\frac{d Q}{d t}\right)^{2} \nonumber$$

$$\mathcal{L}\left(t, Q, \frac{d Q}{d t}\right)=\frac{1}{2 C} Q^{2}-\frac{1}{2} L\left(\frac{d Q}{d t}\right)^{2} \nonumber$$

Ми можемо знайти шлях, заряд на конденсаторі як функція часу, вирішивши для найменшого дії

$$\delta\left|\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{L}\left(t, x, \frac{d x}{d t}\right) d t\right|=0 \label{11.5.13}$$

або шляхом розв'язання рівняння Ейлера-Лагранжа,

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d Q}{d t}\right)}=0. \label{11.5.14}$$

У Equation\ ref {11.5.13}$\delta$ вказує першу варіацію, визначену рівнянням 11.3.5. Розчини залежать від початкових умов, таких як заряд, що зберігається в конденсаторі, і струм в індукторі в початковий час. Ми можемо використовувати рівняння Ейлера-Лагранжа, щоб знайти рівняння руху. Перший член Рівняння\ ref {11.5.14} є узагальненим потенціалом,

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} = \frac{Q}{C} \nonumber$$

яка є напругою$v$ в вольтах. Наступний член - похідна від узагальненого імпульсу.

$$\mathbb{M}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d Q}{d t}\right)}=-L \frac{d Q}{d t} \nonumber$$

Ми можемо зібрати шматки разом, щоб знайти вираз збереження узагальненого потенціалу.

$$\frac{Q}{C}+L \frac{d^{2} Q}{d t^{2}}=0 \label{11.5.17}$$

Це твердження закону Кірхгофа про напругу. Виглядає більш звично, якщо написано в плані напруги$v = \frac{Q}{C}$ і струму$i_L = -\frac{dQ}{dt}$.

$$v-L \frac{d i_{L}}{d t}=0 \nonumber$$

Ми можемо вирішити рівняння руху, Equation\ ref {11.5.17}, використовуючи відповідні початкові умови, щоб знайти шлях. Як і в прикладі масової пружини, Equation\ ref {11.5.17} є хвильовим рівнянням, а його розв'язками є синусоїди. Як і очікувалося, схема, виготовлена лише з конденсатора та індуктора, є генератором.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Короткий зміст конденсаторної системи індуктивності мовою обчислення варіацій.

Пристрій накопичувача енергії	Конденсатор	Лінійна пружина
Узагальнений шлях	Зарядка$Q$ в С	Водотоннажність$\overrightarrow{x}$ в м
Узагальнений потенціал	Напруга$v$ в$\frac{J}{C} = V$	$\overrightarrow{F}$Сила в$\frac{J}{m} = N$
Узагальнена ємність	Ємність$C$ в F =$\frac{C^2}{J}$	$\frac{1}{K}$в$\frac{m^2}{J}$
Конститутивні відносини	$Q=Cv$	$\overrightarrow{x} = \frac{1}{K}\overrightarrow{F}$
Енергетика	$\frac{1}{2}Cv^2$	$\frac{1}{2}\frac{1}{K}|\overrightarrow{x}|^2 = \frac{1}{2}K|\overrightarrow{F}|^2$
Закон для потенціалу	КВЛ	Другий закон Ньютона$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$

Крім того, ми можемо показати, що енергія зберігається в цьому процесі перетворення енергії, оскільки часткова похідна як загальної енергії, так і Лагранжа щодо часу дорівнює нулю.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}=0 \nonumber$$

$$\frac{d \mathcal{L}}{d t}=\frac{d H}{d t}=0 \nonumber$$

Таблиця$\PageIndex{2}$ підсумовує цей приклад. Він також ілюструє взаємозв'язок між параметрами цього прикладу та параметрами прикладу пружини маси.