11.6: Рівняння Шредінгера

Квантова механіка - це вивчення мікроскопічних систем, таких як електрони або атоми. Варіаційне обчислення та ідея гамільтоніана є фундаментальними ідеями квантової механіки [136]. У главі 13 ми застосовуємо ідеї обчислення варіацій до окремого атома напівкласичним способом.

Ніколи не можна з упевненістю сказати, де знаходиться електрон або інша мікроскопічна частинка або її енергія. Однак можна обговорити ймовірність знаходження його з певною енергією. Імовірність знаходження електрона, наприклад, в конкретному енергетичному стані задається тим,$|\psi|^2$ де$\psi$ називається хвильова функція [136]. Як і з будь-якою ймовірністю$0 \leq |\psi|^2 \leq 1$.

Наприклад, припустимо, що в міру руху електрона кінетична енергія перетворюється в потенційну енергію. Квантово-механічний гамільтоніан$H_{QM}$ - це сума кінетичної енергії$E_{kinetic}$ та потенційної енергії$E_{potential\, energy}$.

$$H_{Q M}=E_{k i n e t i c}+E_{potential\, energy} \nonumber$$

Кінетична енергія виражається у вигляді

$$E_{kinetic}=\frac{1}{2 m}\left(M_{Q M}\right)^{2} \nonumber$$

де$m$ - маса електрона. У виразі вище квантовий механічний оператор імпульсу, і$M_{QM}$

$$\left(M_{Q M}\right)^{2}=M_{Q M} \cdot M_{Q M}. \nonumber$$

Квантовий механічний оператор імпульсу визначається

$$M_{Q M}=j \hbar \overrightarrow{\nabla} \label{11.6.4}$$

де величина$\hbar$ - постійна Планка, поділена на$2\pi$. Оператор del$\overrightarrow{\nabla}$, був введений в п. 1.6.1, і він являє собою просторову похідну функції. Кількість$H_{QM}$$M_{QM}$, і$\overrightarrow{\nabla}$ всі оператори, а не тільки значення. Оператор, такий як оператор похідної d dt, діє на функцію. Вона сама по собі не є функцією або значенням.

Використовуючи визначення імпульсу рівняння\ ref {11.6.4} та векторну ідентичність рівняння 1.6.8, ми можемо переписати гамільтоніан.

$$H_{Q M}=\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy} \nonumber$$

У квантовій механіці гамільтоніан пов'язаний із загальною енергією.

$$H_{Q M} \psi=E_{t o t a l} \psi \nonumber$$

Перераховані вище два рівняння можуть бути об'єднані алгебраїчно.

$$\left(\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy}\right) \psi=E_{total} \psi \label{11.6.7}$$

За допомогою ще деякої алгебри Equation\ ref {11.6.7} можна переписати.

$$\nabla^{2} \psi+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{total}-E_{potential\, energy}\right) \psi=0 \label{11.6.8}$$

Рівняння\ ref {11.6.8} є незалежним від часу рівнянням Шредінгера і є одним з найбільш фундаментальних рівнянь квантової механіки. Діаграми рівня енергії були введені в Розділі 6.2. Дозволені енергії, проілюстровані діаграмами енергетичного рівня, задовольняють рівнянню Шредінгера. Принаймні для простих атомів і енергій наземного стану діаграми рівня енергії можуть бути отримані шляхом вирішення рівняння Шредінгера.