Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.6: Рівняння Шредінгера

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    29447

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Квантова механіка - це вивчення мікроскопічних систем, таких як електрони або атоми. Варіаційне обчислення та ідея гамільтоніана є фундаментальними ідеями квантової механіки [136]. У главі 13 ми застосовуємо ідеї обчислення варіацій до окремого атома напівкласичним способом.

    Ніколи не можна з упевненістю сказати, де знаходиться електрон або інша мікроскопічна частинка або її енергія. Однак можна обговорити ймовірність знаходження його з певною енергією. Імовірність знаходження електрона, наприклад, в конкретному енергетичному стані задається тим,\(|\psi|^2\) де\(\psi\) називається хвильова функція [136]. Як і з будь-якою ймовірністю\(0 \leq |\psi|^2 \leq 1\).

    Наприклад, припустимо, що в міру руху електрона кінетична енергія перетворюється в потенційну енергію. Квантово-механічний гамільтоніан\(H_{QM}\) - це сума кінетичної енергії\(E_{kinetic}\) та потенційної енергії\(E_{potential\, energy}\).

    \[H_{Q M}=E_{k i n e t i c}+E_{potential\, energy} \nonumber \]

    Кінетична енергія виражається у вигляді

    \[E_{kinetic}=\frac{1}{2 m}\left(M_{Q M}\right)^{2} \nonumber \]

    де\(m\) - маса електрона. У виразі вище квантовий механічний оператор імпульсу, і\(M_{QM}\)

    \[\left(M_{Q M}\right)^{2}=M_{Q M} \cdot M_{Q M}. \nonumber \]

    Квантовий механічний оператор імпульсу визначається

    \[M_{Q M}=j \hbar \overrightarrow{\nabla} \label{11.6.4} \]

    де величина\(\hbar\) - постійна Планка, поділена на\(2\pi\). Оператор del\(\overrightarrow{\nabla}\), був введений в п. 1.6.1, і він являє собою просторову похідну функції. Кількість\(H_{QM}\)\(M_{QM}\), і\(\overrightarrow{\nabla}\) всі оператори, а не тільки значення. Оператор, такий як оператор похідної d dt, діє на функцію. Вона сама по собі не є функцією або значенням.

    Використовуючи визначення імпульсу рівняння\ ref {11.6.4} та векторну ідентичність рівняння 1.6.8, ми можемо переписати гамільтоніан.

    \[H_{Q M}=\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy} \nonumber \]

    У квантовій механіці гамільтоніан пов'язаний із загальною енергією.

    \[H_{Q M} \psi=E_{t o t a l} \psi \nonumber \]

    Перераховані вище два рівняння можуть бути об'єднані алгебраїчно.

    \[\left(\frac{-\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+E_{potential\, energy}\right) \psi=E_{total} \psi \label{11.6.7} \]

    За допомогою ще деякої алгебри Equation\ ref {11.6.7} можна переписати.

    \[\nabla^{2} \psi+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{total}-E_{potential\, energy}\right) \psi=0 \label{11.6.8} \]

    Рівняння\ ref {11.6.8} є незалежним від часу рівнянням Шредінгера і є одним з найбільш фундаментальних рівнянь квантової механіки. Діаграми рівня енергії були введені в Розділі 6.2. Дозволені енергії, проілюстровані діаграмами енергетичного рівня, задовольняють рівнянню Шредінгера. Принаймні для простих атомів і енергій наземного стану діаграми рівня енергії можуть бути отримані шляхом вирішення рівняння Шредінгера.