11.1: Лагранж і гамільтоніан

Last updated
Save as PDF

Page ID: 29441

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо процес, який перетворює енергію з однієї форми в іншу. Нас цікавить, як якась величина розвивається в процесі перетворення енергії, і ми називаємо цю величину узагальненим шляхом,\(y(t)\). Для простоти розглянемо тільки той випадок, коли цей шлях має одну незалежну змінну\(t\) і одну залежну змінну\(y\). У цьому розділі,\(t\) представляє час, але він також може представляти позицію або іншу незалежну змінну. Ці ідеї узагальнюються безпосередньо до ситуацій з декількома незалежними та залежними змінними [163] [164], але множинна змінна задача вимагає більш активної математики. Одиниці узагальненого шляху залежать від розглянутого процесу перетворення енергії. У прикладі масової пружини розділу 11.4 він являє собою положення маси. У прикладі індуктора конденсатора з п. 11.5 він являє собою заряд, накопичений на обкладинках конденсатора. Крім розглянутого процесу перетворення енергії, припустимо, що ніяких інших процесів перетворення енергії не відбувається, хоча така ситуація малоймовірна. Система переходить від наявності всієї енергії в першій формі до того, щоб мати всю енергію в другій формі, слідуючи шляху\(y(t)\).

Визначте Лагранжа\(\mathcal{L}\) як різницю між першою і другою формою розглянутої енергії. Лагранж є функцією\(t\), і\(y\)\(\frac{dy}{dt}\), і він має одиниці джоулів.

\[\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \text{(First form of energy) - (Second form of energy)} \nonumber \]

У будь-який момент сумарна енергія системи - це сума. Визначте\(H\) гамільтоніана, також в джоулі, як загальну енергію.

\[H \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \text{(First form of energy) + (Second form of energy)} \nonumber \]

Деякі форми енергії не можуть бути описані лагранж форми\(\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right)\) і замість цього вимагають Лагранжа форми.

\[\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt}, \frac{d^2y}{dt^2}, \frac{d^3y}{dt^3}, ... \right). \nonumber \]

[163, с. 56]. Такі форми енергії тут розглядатися не будуть. Енергія зберігається в будь-якому процесі перетворення енергії. Збереження енергії може виражатися як

\[\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0. \nonumber \]

Похідні лагранжа будуть корисні в обговоренні нижче. Визначте узагальнений потенціал як часткову похідну Лагранжа по відношенню до шляху,\( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \). Одиниці узагальненого потенціалу залежать від одиниць шляху. Більш конкретно, одиницями узагальненого потенціалу є джоулі, розділені на одиниці шляху. Відзначимо, що узагальнений потенціал і потенційна енергія - це різні ідеї. Потенційна енергія має одиниці джоулів, тоді як одиниці узагальненого потенціалу змінюються. Деякі автори використовують термін потенціал як синонім напруги, але це визначення узагальненого потенціалу більш широке. Детальніше про розмежування потенціалу, узагальненого потенціалу та потенційної енергії див. Додаток С.

Визначте узагальнений імпульс\(\mathbb{M}\) як часткову похідну Лагранжа щодо часової похідної шляху.

\[ \mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{dy}{dt} \right)}. \nonumber \]

Багато авторів використовують змінну\(p\) для узагальненого імпульсу. Однак тут\(\mathbb{M}\) буде використовуватися, оскільки змінна вже\(p\) занадто перевантажена. Визначте узагальнену ємність як відношення узагальненого шляху до узагальненого потенціалу.

\[\text{Generalized capacity} = \frac{\text{Generalized path}} {\text{Generalized potential}} \nonumber \]

Ємність також обговорюється в Додатку С.