11.3: Походження рівняння Ейлера-Лагранжа

У цьому розділі ми використовуємо Принцип найменшої дії для отримання диференціального співвідношення для шляху, а результатом є рівняння Ейлера-Лагранжа. Ця деривація уважно слідує [163, стор. 23-33], тому дивіться, що посилання на більш сувору деривацію. Припустимо, що ми знаємо Лагранжа, який описує різницю між двома формами енергії, і ми знаємо дію. Ми хочемо знайти диференціальний зв'язок для шляху\(y(t)\), який мінімізує дію. Цей шлях має найменший\(t\) інтеграл над різницею між двома формами енергії.

Припустимо, що шлях\(y(t)\) мінімізує дію і є шлях, знайдений в природі. Розглянемо шлях\(\tilde y(t)\), який знаходиться дуже близько до шляху\(y(t)\). \(\tilde y(t)\)Шляхом дорівнює шляху\(y(t)\) плюс невелика різниця.

\[\tilde y = y + \varepsilon \eta \label{11.3.1} \]

У Equation\ ref {11.3.1},\(\varepsilon\) є малим параметром і\(\eta = \eta(t)\) є функцією\(t\). Ми можемо оцінити Лагранжа на цьому сусідньому шляху.

\[\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}\left(t, y+\varepsilon \eta, \dot{y}+\varepsilon \frac{d \eta}{d t}\right) \nonumber \]

Лагранж сусідньої стежки\(\tilde y(t)\) може бути пов'язаний з Лагранж шляху\(y(t)\).

\[\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}(t, y, \dot{y})+\varepsilon\left(\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right) \label{11.3.3} \]

Рівняння\ ref {11.3.3} записується як розширення в малому параметрі\(\varepsilon\). Показані терміни найнижчого порядку, і\(O(\varepsilon^2)\) вказують на те, що всі додаткові терміни множаться на\(\varepsilon^2\) або вищі потужності цього невеликого параметра.

Ми також можемо висловити різницю в дії для шляхів\(\tilde y\) і\(y\) як розширення в малому параметрі\(\varepsilon\).

\[\mathbb{S}(\hat{y})- \mathbb{S}(y)= \varepsilon\left[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \nonumber \]

Термін в дужках називається першою варіацією дії, і позначається він символом\(\delta\).

\[\delta \mathbb{S}(\eta, y)=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t \nonumber \]

Шляхи\(y\) мають найменшу дію, а всі сусідні шляхи\(\tilde y(t)\) мають більшу дію. Тому невелика різниця\(\mathbb{S}(\tilde y)−\mathbb{S}(y)\) позитивна для всіх можливих варіантів вибору\(\eta(t)\). Єдиний спосіб це може статися, якщо перша варіація дорівнює нулю.

\[\delta \mathbb{S}(\eta, y)=0 \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t=0 \label{11.3.7} \]

Якщо дія є мінімальною для шляху\(y\), то Equation\ ref {11.3.7} має значення true. Однак, якщо шлях\(y\) задовольняє Equation\ ref {11.3.7}, дія може бути або не бути мінімальною.

Використовуйте інтеграцію частинами другого члена, щоб поставити Equation\ ref {11.3.7} у більш звичному вигляді.

\[u = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \nonumber \]

\[du = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}dt \nonumber \]

\[v = \eta \nonumber \]

\[dv = \frac{d \eta}{dt}dt \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t =\left[\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber \]

Припустімо кінцеві точки контуру\(y\) і\(\tilde y\) вирівняти.

\[\eta (t_0) = \eta (t_1) = 0. \nonumber \]

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t = -\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.10} \]

Об'єднати рівняння\ ref {11.3.10} з рівнянням\ ref {11.3.7}.

\[0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber \]

\[0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} - \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.12} \]

Щоб Equation\ ref {11.3.12} було істинним для всіх функцій\(\eta\), термін у дужках повинен дорівнювати нулю, а результатом буде рівняння Ейлера-Лагранжа.

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) =0 \nonumber \]

Ми завершили деривацію. Використовуючи принцип найменшої дії, ми вивели рівняння Ейлера-Лагранжа. Якщо ми знаємо Лагранжа для процесу перетворення енергії, ми можемо використовувати рівняння Ейлера-Лагранжа, щоб знайти шлях, що описує, як система розвивається, коли вона переходить від енергії в першій формі до енергії в другій формі.

Рівняння Ейлера-Лагранжа є диференціальним рівнянням другого порядку. Взаємозв'язок може бути записаний замість пари диференціальних рівнянь першого порядку,

\[\frac{d\mathbb{M}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \nonumber \]

і

\[ \mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}. \nonumber \]

Гамільтоніан може бути виражений як функція узагальненого імпульсу, [167, гл. 3].

\[H(t, y, \mathbb{M}) =|\mathbb{M} \dot{y} -\mathcal{L}| \nonumber \]

Використовуючи гамільтоніан, рівняння Ейлера-Лагранжа можна записати як [167]

\[\frac{d\mathbb{M}}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial y} \nonumber \]

і

\[\frac{dy}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbb{M}}. \nonumber \]

Ця пара диференціальних рівнянь першого порядку називається рівняннями Гамільтона, і вони містять ту ж інформацію, що і рівняння Ейлера-Лагранжа другого порядку. Вони можуть бути використані для вирішення тих же типів задач, що і рівняння Ейлера-Лагранжа, наприклад знаходження шляху від Лагранжа.