11.3: Походження рівняння Ейлера-Лагранжа

У цьому розділі ми використовуємо Принцип найменшої дії для отримання диференціального співвідношення для шляху, а результатом є рівняння Ейлера-Лагранжа. Ця деривація уважно слідує [163, стор. 23-33], тому дивіться, що посилання на більш сувору деривацію. Припустимо, що ми знаємо Лагранжа, який описує різницю між двома формами енергії, і ми знаємо дію. Ми хочемо знайти диференціальний зв'язок для шляху$y(t)$, який мінімізує дію. Цей шлях має найменший$t$ інтеграл над різницею між двома формами енергії.

Припустимо, що шлях$y(t)$ мінімізує дію і є шлях, знайдений в природі. Розглянемо шлях$\tilde y(t)$, який знаходиться дуже близько до шляху$y(t)$. $\tilde y(t)$Шляхом дорівнює шляху$y(t)$ плюс невелика різниця.

$$\tilde y = y + \varepsilon \eta \label{11.3.1}$$

У Equation\ ref {11.3.1},$\varepsilon$ є малим параметром і$\eta = \eta(t)$ є функцією$t$. Ми можемо оцінити Лагранжа на цьому сусідньому шляху.

$$\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}\left(t, y+\varepsilon \eta, \dot{y}+\varepsilon \frac{d \eta}{d t}\right) \nonumber$$

Лагранж сусідньої стежки$\tilde y(t)$ може бути пов'язаний з Лагранж шляху$y(t)$.

$$\mathcal{L}\left(t, \tilde{y}, \frac{d \tilde{y}}{d t}\right)=\mathcal{L}(t, y, \dot{y})+\varepsilon\left(\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right)+O\left(\varepsilon^{2}\right) \label{11.3.3}$$

Рівняння\ ref {11.3.3} записується як розширення в малому параметрі$\varepsilon$. Показані терміни найнижчого порядку, і$O(\varepsilon^2)$ вказують на те, що всі додаткові терміни множаться на$\varepsilon^2$ або вищі потужності цього невеликого параметра.

Ми також можемо висловити різницю в дії для шляхів$\tilde y$ і$y$ як розширення в малому параметрі$\varepsilon$.

$$\mathbb{S}(\hat{y})- \mathbb{S}(y)= \varepsilon\left[\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \nonumber$$

Термін в дужках називається першою варіацією дії, і позначається він символом$\delta$.

$$\delta \mathbb{S}(\eta, y)=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t \nonumber$$

Шляхи$y$ мають найменшу дію, а всі сусідні шляхи$\tilde y(t)$ мають більшу дію. Тому невелика різниця$\mathbb{S}(\tilde y)−\mathbb{S}(y)$ позитивна для всіх можливих варіантів вибору$\eta(t)$. Єдиний спосіб це може статися, якщо перша варіація дорівнює нулю.

$$\delta \mathbb{S}(\eta, y)=0 \nonumber$$

$$\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}+\frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t=0 \label{11.3.7}$$

Якщо дія є мінімальною для шляху$y$, то Equation\ ref {11.3.7} має значення true. Однак, якщо шлях$y$ задовольняє Equation\ ref {11.3.7}, дія може бути або не бути мінімальною.

Використовуйте інтеграцію частинами другого члена, щоб поставити Equation\ ref {11.3.7} у більш звичному вигляді.

$$u = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} \nonumber$$

$$du = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}dt \nonumber$$

$$v = \eta \nonumber$$

$$dv = \frac{d \eta}{dt}dt \nonumber$$

$$\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t =\left[\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber$$

Припустімо кінцеві точки контуру$y$ і$\tilde y$ вирівняти.

$$\eta (t_0) = \eta (t_1) = 0. \nonumber$$

$$\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d \eta}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}} d t = -\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.10}$$

Об'єднати рівняння\ ref {11.3.10} з рівнянням\ ref {11.3.7}.

$$0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\eta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \nonumber$$

$$0 =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} - \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) d t \label{11.3.12}$$

Щоб Equation\ ref {11.3.12} було істинним для всіх функцій$\eta$, термін у дужках повинен дорівнювати нулю, а результатом буде рівняння Ейлера-Лагранжа.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} -\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}\right) =0 \nonumber$$

Ми завершили деривацію. Використовуючи принцип найменшої дії, ми вивели рівняння Ейлера-Лагранжа. Якщо ми знаємо Лагранжа для процесу перетворення енергії, ми можемо використовувати рівняння Ейлера-Лагранжа, щоб знайти шлях, що описує, як система розвивається, коли вона переходить від енергії в першій формі до енергії в другій формі.

Рівняння Ейлера-Лагранжа є диференціальним рівнянням другого порядку. Взаємозв'язок може бути записаний замість пари диференціальних рівнянь першого порядку,

$$\frac{d\mathbb{M}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \nonumber$$

і

$$\mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{y}}. \nonumber$$

Гамільтоніан може бути виражений як функція узагальненого імпульсу, [167, гл. 3].

$$H(t, y, \mathbb{M}) =|\mathbb{M} \dot{y} -\mathcal{L}| \nonumber$$

Використовуючи гамільтоніан, рівняння Ейлера-Лагранжа можна записати як [167]

$$\frac{d\mathbb{M}}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial y} \nonumber$$

і

$$\frac{dy}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbb{M}}. \nonumber$$

Ця пара диференціальних рівнянь першого порядку називається рівняннями Гамільтона, і вони містять ту ж інформацію, що і рівняння Ейлера-Лагранжа другого порядку. Вони можуть бути використані для вирішення тих же типів задач, що і рівняння Ейлера-Лагранжа, наприклад знаходження шляху від Лагранжа.