11.4: Приклад масової весни

Приклади в цьому розділі та наступному розділі проілюструють, як ми можемо використовувати рівняння Ейлера-Лагранжа для пошуку рівняння руху, що описує процес перетворення енергії. Розглянемо систему, що складається з маси та пружини, де енергія передається між потенційною енергією пружини, що зберігається в стиснутій пружині, та кінетичною енергією маси. Маса вказана$m$ в кг. Він кріпиться до пружини з постійною пружиною$K$ в$\frac{J}{m^2}$. Положення маси задається тим,$x(t)$ де$x$ знаходиться залежна змінна в метрах і$t$ є незалежною змінною часу в секундах. Припустимо, що ця маса і пружина або закріплені на рівній площині, або якимось іншим способом не впливають сили тяжіння. Ця масова пружинна система проілюстрована на лівій стороні рис. $\PageIndex{1}$. Коли пружина стискається, система отримує потенційну енергію пружини. Коли пружина звільняється, енергія перетворюється з потенційної енергії пружини в кінетичну енергію. Припустимо, ніяких інших процесів перетворення енергії, таких як нагрівання через тертя, не відбувається.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Масова пружинна система.

Права сторона рис. $\PageIndex{1}$показує стиснуту пружину, утримувану на місці обмежувачем. $t < 0$Бо система не має кінетичної енергії, оскільки маса не рухається, а система має потенційну енергію в стиснутій пружині. В цей час маса знаходиться в положенні$x$ де$x < 0$. Пружина чинить силу на масу,

$$\overrightarrow{F}_{spring}=-K x \hat{a}_{x} \nonumber$$

який знаходиться в$\hat{a}_{x}$ напрямку.

При$t = 0$, стриманість знімається, а потенційна енергія пружини перетворюється в кінетичну енергію. Перша форма - це пружинна потенційна енергія.

$$E_{potential\,energy} = \frac{1}{2}Kx^2 \nonumber$$

Друга форма - кінетична енергія маси.

$$E_{kinetic} = \frac{1}{2} m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 \nonumber$$

У будь-який момент часу, коли маса знаходиться на місці$x(t)$, загальна енергія представлена гамільтоном.

$$H = E_{total} = E_{potential\,energy} + E_{kinetic} \nonumber$$

$$H=\frac{1}{2} K x^{2}+\frac{1}{2} m\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \label{11.4.5}$$

Лагранж являє собою різницю між формами енергії.

$$\mathcal{L}=E_{potential\,energy} -E_{kinetic} \nonumber$$
$$\mathcal{L}\left(t, x, \frac{d x}{d t}\right)=\frac{1}{2} K x^{2}-\frac{1}{2} m\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \nonumber$$

І гамільтоніан, і лагранж мають одиниці джоулів. Узагальнений потенціал

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = Kx \nonumber$$

в одиницях ньютонів. Зауважте, що$Kx = − \overrightarrow{F}_{spring}$. Узагальнений імпульс

$$\mathbb{M}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d x}{d t}\right)}=-m \frac{d x}{d t} \nonumber$$

в одиницях$\frac{kg \cdot m}{s}$ якого є одиниці імпульсу.

При$t = 0$, стриманість знімається. Маса йде по шляху$x(t)$. Якщо ми знаємо Лагранжа, ми можемо знайти шлях методом проб і помилок. Щоб знайти шлях таким чином, вгадайте шлях, за яким слідує маса$x(t)$, і обчисліть дію.

$$\mathbb{S}=\left|\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{1}{2} m\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}-\frac{1}{2} K x^{2}\right| d t \label{11.4.10}$$

Неодноразово вгадайте інший шлях, і прорахуйте дію. Шляхом з найменшою дією всіх можливих шляхів є шлях, яким слідує маса. Цей шлях має найменшу різницю між потенційною енергією та кінетичною енергією, інтегрованою з часом.

Ми можемо придумати багато можливих, але не фізичних шляхів,$x(t)$ якими може слідувати маса. Малюнок$\PageIndex{2}$ ілюструє два нефізичні шляхи, а також фізичний шлях, отриманий нижче. Шляхи розглядаються через часовий проміжок$0 < t < 1$. Всі три шляхи припускають, що спочатку$t = 0$, в, пружина стискається так, щоб маса перебувала в місці розташування$x(0) = -1$. Також вони припускають, що в кінці інтервалу, в$t = 1$, пружина розширилася так, щоб маса опинилася на місці$x(1) = 1$. Можливі шляхи, проілюстровані на малюнку:

$$x_{1}(t)=2 t-1 \quad(\text { not physical })\nonumber$$

$$x_{2}(t)=2 t^{2}-1 \quad(\text { not physical })\nonumber$$

і

$$x_{3}(t)=-\cos (\pi t) \quad(\text { physical })\nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Можливі шляхи, прийняті масою і відповідна їм дія.

$x_1(t)$Шляхом описується випадок, коли маса рухається з постійною швидкістю. Шляхом$x_2(t)$ описується випадок, коли маса прискорюється, коли обмеження знімається, а шлях$x_3(t)$ описує випадок, коли маса спочатку прискорюється, а потім сповільнюється. Дія кожного шляху можна обчислити за допомогою Equation\ ref {11.4.10}. Для прикладу$K = \pi^2 \frac{J}{m^2}$ використовуються значення$m = 1 kg$ і. $x_1(t)$Шляхом є$\mathbb{S} = 0.355$, шлях$x_2(t)$ має$\mathbb{S} = 0.364$, а фізичний шлях$x_3(t)$ має нульову дію$\mathbb{S} = 0$. Ми можемо вивести шлях, який мінімізує дію і який знаходиться в природі за допомогою рівняння Ейлера-Лагранжа.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\frac{d x}{d t}\right)}=0 \nonumber$$

Перший член - це узагальнений потенціал. Другий член - похідна за часом узагальненого імпульсу. Рівняння руху знаходять шляхом складання цих частин разом.

$$Kx+m\frac{d^2x}{dt^2} = 0 \label{11.4.12}$$

Перший член рівняння руху -$- \left| \overrightarrow{F}_{spring} \right|$. Другий член являє собою прискорення маси. Ми щойно знайшли рівняння руху, і це твердження другого закону Ньютона, сила - це прискорення маси разів. Це також заява про збереження сили на масі.

Рівняння\ ref {11.4.12} - лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Це відоме хвильове рівняння, і його рішення добре відоме

$$x(t)=c_{0} \cos \left(\sqrt{\frac{K}{m}} t\right)+c_{1} \sin \left(\sqrt{\frac{K}{m}} t\right) \nonumber$$

де$c_0$ і$c_1$ є константами, визначеними початковими умовами. Якщо ми надійно прикріпимо масу до пружини, на відміну від того, щоб дати масі вигнатися, вона буде коливатися, як описано шляхом$x(t)$. Енергія зберігається в цій системі. Щоб перевірити збереження енергії, ми можемо показати, що загальна енергія не змінюється з часом. Загальна енергія задана гамільтоном рівняння\ ref {11.4.5}. У цьому прикладі і гамільтоніан, і лагранж явно не залежать від часу,$\frac{\partial H}{\partial t} =0$ і$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} = 0$. Натомість вони залежать лише від змін у часі. З цієї причини ми говоримо, що і загальна енергія, і Лагранж мають час трансляції симетрії, або ми говоримо, що вони є часом інваріантними. Весна і маса поводяться однаково сьогодні, тиждень з сьогоднішнього дня, а рік з сьогоднішнього дня.

Ми також можемо перевірити збереження енергії алгебраїчно, показавши це$\frac{dH}{dt} = 0$.

$$\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial H}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial H}{\partial\left(\frac{d x}{d t}\right)} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber$$

$$\frac{d H}{d t}=0+K x \frac{d x}{d t}+m \frac{d x}{d t} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber$$

$$\frac{d H}{d t}=\frac{d x}{d t}\left(K x+m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)=0 \nonumber$$

Зверніть увагу, що кількість в дужках у рядку вище повинна дорівнювати нулю від рівняння руху. Рівняння Ейлера-Лагранжа можна розділити на пару диференціальних рівнянь першого порядку, які називаються рівняннями Гамільтона.

$$\frac{d \mathbb{M}}{d t} =-\frac{\partial H}{\partial x} \quad \text { and } \frac{d x}{d t} =\frac{\partial H}{\partial \mathbb{M}} \nonumber$$

Цей приклад узагальнено в табл$\PageIndex{1}$. За аналогією з мовою, що використовується для опису схем та електромагнітів, зв'язок між узагальненим шляхом і узагальненим потенціалом називається конститутивною залежністю. Після рівняння 11.1.6 відношення узагальненого шляху до узагальненого потенціалу є узагальненою ємністю, а в даному прикладі - оберненою постійною пружини. Хоча зміщення$x$ вважається скалярним, вектор$\overrightarrow{x}$ використовується в таблиці для узагальненості.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Короткий зміст масової пружинної системи мовою обчислення варіацій.

Пристрій накопичувача енергії	Лінійна пружина
Узагальнений шлях	Водотоннажність$\overrightarrow{x}$ в м
Узагальнений потенціал	$\overrightarrow{F}$Сила в$\frac{J}{m} = N$
Узагальнена ємність	$\frac{1}{K}$в$\frac{m^2}{J}$
Конститутивні відносини	$\overrightarrow{x} = \frac{1}{K}\overrightarrow{F}$
Енергія	$\frac{1}{2}\frac{1}{K}|\overrightarrow{x}|^2 = \frac{1}{2}K|\overrightarrow{F}|^2$
Закон для потенціалу	Другий закон Ньютона$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$